拓扑/切空间

简单来说，切线是曲线的导数。转化为拓扑学，这意味着您可以有效地从图像中删除一个维度。通常，在处理时空时，我们可以执行以下两种操作之一：要么删除时间以查看冻结的 3D 图像，要么删除一个空间维度，从而将时空表示为弯曲的表面（网格状图，通常用来表示拓扑表面，例如黑洞，它们通常被描绘为收缩的圆锥体）。

因此，切空间只是我们所理解的比拓扑问题简单一维的表示。它是可视化时空参数和位置的有用工具。

欧几里得序幕

到目前为止，我们通过要求欧几里得空间上的相应映射是光滑的，来定义光滑流形上的光滑映射。在本节中，我们将把欧几里得空间上的导数概念推广到流形之间函数的导数概念。

回顾我们在欧几里得空间上的导数定义

定义 1： 令 $f\,:\,\mathbb {R} ^{m}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$。那么 $f$ 在 $p$ 处的导数，如果存在，是一个线性映射 $Df(p)\,:\,\mathbb {R} ^{m}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$，使得

$\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(p+h)-f(p)-Df(p)h}{||h||}}=0$

注记 2： $Df(p)$ 如果存在，则唯一，并且可以与雅可比矩阵 $\left[{\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}\right]_{n\times m}$ 相对应。读者可以将此作为练习。不幸的是，这种定义导数的方式不适合推广到流形级别。相反，我们将构建欧几里得空间上另一种导数定义。

定义 3： $\mathbb {R} ^{m}$ 上的光滑曲线 是一个光滑函数 $\gamma \,:\,\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ^{m}$。令 $\gamma ,\delta$ 是 $\mathbb {R} ^{m}$ 上的光滑曲线，使得 $\gamma (0)=\delta (0)$。定义等价关系 $\gamma \sim \delta \,\Leftrightarrow \,\gamma ^{\prime }(0)=\delta ^{\prime }(0)$。定义 $\mathbb {R} ^{m}$ 在 $p$ 处的切空间 为所有等价类 $[\gamma ]$ 的空间 $T_{p}\mathbb {R} ^{m}$，其中 $\gamma$ 是 $\mathbb {R} ^{m}$ 上的光滑曲线，使得 $\gamma (0)=p$。

备注 4： 请注意，我们只需要光滑曲线在包含 $0$ 的 $\mathbb {R}$ 的开子集上定义。

引理 5： 对于任何 $p\in \mathbb {R} ^{m}$，$T_{p}\mathbb {R} ^{m}$ 与 $\mathbb {R} ^{m}$ 作为向量空间是同构的。

证明：对于 $\mathbb {R} ^{m}$ 上的任意光滑曲线 $\gamma$，$\gamma ^{\prime }(0)$ 是 $\mathbb {R} ^{m}$ 中的一个向量，存在一个自然的双射 $[\gamma ]\mapsto \gamma ^{\prime }(0)$。设 $\mu$ 为此双射，并赋予 $T_{p}\mathbb {R} ^{m}$ 向量空间结构 $a[\gamma ]+b[\delta ]=\mu ^{-1}\left(a\mu ([\gamma ])+b\mu ([\delta ])\right)$，则 $\mu$ 变成了向量空间的同构。∎

注 6：与 $\mathbb {R} ^{m}$ 不同，$T_{p}\mathbb {R} ^{m}$ 没有自然的基。

引理 7：设 $\gamma$ 是 $\mathbb {R} ^{m}$ 上的光滑曲线，满足 $\gamma (0)=p$ 且 $\gamma ^{\prime }(0)=v$。则 $\gamma \sim \delta$，其中 $\delta (t)=p+vt$。

证明：首先，请注意 $\gamma (0)=p=\delta (0)$，因此比较它们是有意义的。其次，$\delta ^{\prime }(0)=v=\gamma ^{\prime }(0)$，所以 $\gamma \sim \delta$。 ∎

定义 8：令 $f\,:\,\mathbb {R} ^{m}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$ 为一个光滑函数。那么 $f$ 在 $p$ 处的微分 是映射 $d_{p}f\,:\,T_{p}\mathbb {R} ^{m}\rightarrow T_{f(p)}\mathbb {R} ^{n}$，由 $d_{p}f([\gamma ])=[f\circ \gamma ]$ 给出。

引理 9：$d_{p}f$ 是定义良好的。

证明：令 $\gamma \sim \delta$，其中 $\gamma (0)=p=\delta (0)$。那么 $(f\circ \gamma )^{\prime }(0)=Df(\gamma (0))\gamma ^{\prime }(0)=Df(\delta (0))\delta ^{\prime }(0)=(f\circ \delta )^{\prime }(0)$，根据链式法则和使用通常的导数，因此 $[f\circ \gamma ]=[f\circ \delta ]$，因此 $d_{p}f$ 是定义良好的。 ∎

引理 10：令 $f(p)=g(p)$。那么，如果 $Df(p)=D(g)(p)$，那么 $d_{p}f=d_{p}g$。

证明： 令 $\gamma$ 为 $p$ 点的任意曲线。然后如果 $Df(p)=Dg(p)$，我们有 $d_{p}f([\gamma ])=[f\circ \gamma ]=[f(p)+Df(p)\gamma ^{\prime }(0)t]=[g(p)+Dg(p)\gamma ^{\prime }(0)t]=[g\circ \gamma ]=d_{p}g([\gamma ])$。 ∎

因此，微分编码了关于导数的信息。但是，它也编码了关于 $f(p)$ 的信息。与之前对导数的定义不同，微分可以通过一些细微的修改，推广到流形上。这是下一小节的主题。

切空间

定义 11：流形 $M$ 上在点 $p$ 的 光滑曲线 是一个函数 $\gamma \,:\,\mathbb {R} \rightarrow M$，满足 $\gamma (0)=p$。如果 $\gamma ,\delta$ 是 $M$ 上在点 $p$ 的光滑曲线，我们定义等价关系 $\gamma \sim \delta$ 当且仅当存在一个图 $(U,\phi )$，满足 $p\in U$，使得 $(\phi \circ \gamma )^{\prime }(0)=(\phi \circ \delta )^{\prime }(0)$。

备注 12：我们可以对 $(\phi \circ \gamma )$ 进行微分，因为它是在欧几里得空间之间的函数，我们已经对其微分进行了研究。此外，等价关系是定义良好的，因为如果它对一个图成立，那么它对所有兼容图也成立。

定义 13： $M$ 在点 $p$ 的 切空间 是 $M$ 上在点 $p$ 的所有曲线等价类的空间。