拓扑/序列

空间 $X$ 中的序列定义为从自然数集到该空间的函数，即 $f:\mathbb {N} \to X$。序列的定义域的成员是 $f(1),f(2),\ldots$，并表示为 $f(n)=a_{n}$。序列本身，或更具体地说是它的定义域，通常表示为 $\left\langle a_{i}\right\rangle$。

其思想是，你有一个来自该空间的无限元素列表；序列的第一个元素是 $f(1)$，下一个是 $f(2)$，等等。例如，考虑 $\mathbb {R}$ 中由 $f(n)=1/n$ 给出的序列。这仅仅是点 $1,1/2,1/3,1/4,...$。此外，考虑常数序列 $f(n)=1$。你可以将其视为数字 1，一遍又一遍地重复。

收敛性

设 $X$ 为一个集合，并设 ${\mathcal {T}}$ 为 $X$ 上的拓扑。
设 $\left\langle x_{i}\right\rangle$ 为 $X$ 中的一个序列，并设 $x\in X$

我们说“$\left\langle x_{i}\right\rangle$ 收敛到 $x$”如果对于 $x$ 的任何邻域 $U$，都存在 $N\in \mathbb {N}$ 使得 $n\in \mathbb {N}$ 且 $n>N$ 共同蕴含 $x_{n}\in U$。

这写成 $\lim _{n\to \infty }x_{n}=x$。

练习

1. 给出以下自然数序列的严格描述
   (i) $1,2,3,4,5\dots$
   (ii) $2,-4,6,-8,10,\ldots$
   
2. 设 $X$ 为一个集合，并设 ${\mathcal {T}}$ 为 $X$ 上的一个拓扑。设 $x\in X$ 且 $U$ 为 $x$ 的一个邻域。
   
   令$U_{1}\subset U$ 且 $x\in U_{1}$。类似地，构造邻域$U_{i}\subset U_{i-1}$，其中$x\in U_{i}\forall i$。令$\left\langle x_{i}\right\rangle$ 为一个序列，使得每个 $x_{i}\in U_{i}$。
   
   证明$\lim _{n\to \infty }x_{n}=x$