拓扑/乘积空间

开始之前

我们在这里快速回顾一下集合论中的笛卡尔积概念。这个定义可能比你习惯的稍微更广义一点。

笛卡尔积

定义

令 $\Lambda$ 为一个索引集，并令 $X_{\lambda }$ 为每个 $\lambda \in \Lambda$ 的一个集合。每个 $X_{\lambda }$ 的笛卡尔积是

$\prod _{\lambda \in \Lambda }X_{\lambda }=\{x:\Lambda \rightarrow \bigcup _{\lambda \in \Lambda }X_{\lambda }|x(\lambda )\in X_{\lambda }\}$.

示例

令 $\Lambda =\mathbb {N}$ 且 $X_{\lambda }=\mathbb {R}$ 对于每个 $n\in \mathbb {N}$。然后

$\prod _{\lambda \in \Lambda }X_{\lambda }=\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }=\{x:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {R} \mid x(n)\in \mathbb {R} \,\forall \,n\in \mathbb {N} \}=\{(x_{1},x_{2},\ldots )\mid x_{n}\in \mathbb {R} \,\forall \,n\in \mathbb {N} \}$.

乘积拓扑

利用笛卡尔积，我们可以定义拓扑空间的乘积。

定义

令 $X_{\lambda }$ 为一个拓扑空间。 $\prod _{\lambda \in \Lambda }X_{\lambda }$ 的乘积拓扑，是具有以下形式的基元素的拓扑： $\prod _{\lambda \in \Lambda }U_{\lambda }$，其中 $U_{\lambda }=X_{\lambda }$ 除有限个 $\lambda$ 外，每个 $U_{\lambda }$ 都是开集。

示例

• 令 $\Lambda =\{1,2\}$ 且 $X_{\lambda }=\mathbb {R}$ 具有通常的拓扑。 那么 $\mathbb {R} ^{2}$ 的基本开集具有以下形式： $(a,b)\times (c,d)$

• 令 $\Lambda =\{1,2\}$ 且 $X_{\lambda }=R_{l}$ （索根弗里拓扑）。 那么 $\mathbb {R} ^{2}$ 的基本开集具有以下形式： $[a,b)\times [a,b)$