拓扑/子空间

简而言之，子空间类似于拓扑空间的子集。子空间在拓扑学中有着强大的应用。

定义

设 $(X,{\mathcal {T}})$ 是一个拓扑空间，设 $X_{1}$ 是 $X$ 的一个子集。定义开集如下

一个集合 $U_{1}\subseteq X_{1}$ 在 $X_{1}$ 中是开集，如果存在一个集合 $U\in {\mathcal {T}}$，使得 $U_{1}=U\bigcap X_{1}$

从上面的定义中需要注意一个重要概念，即一个集合不是开集或闭集并不妨碍它在一个子空间中是开集或闭集。例如，$(0,1)$ 作为它本身的一个子空间，既是开集又是闭集。