传统算盘与珠算/附录：简化运算

简介

本章的内容与传统算盘方法没有直接关系，但它是一种有趣的资源，可以缩短算盘和书面计算中的算术运算。我们把它列入本书，因为我们在整本书中零星地使用了这些简化运算。

一些计算机时代前的算术书籍包括一个关于简化运算的章节。其动机如下。假设我们测量一个正方形的边长，得到 ${\textstyle l=864\,{\text{mm}}}$，我们想要计算它的面积 ${\textstyle S}$

$$S={l}^{2}=l\cdot l=864\cdot 864=746496\,{\text{mm}}^{2}$$

结果为 6 位数，但如果我们用只能精确到毫米的卷尺测量正方形的边长，那么我们可以说边长的值介于 ${\textstyle 863.5}$ 和 ${\textstyle 864.5}$ 之间，即

$$l=864.0\pm 0.5\,{\text{mm}}$$

因此 ${\textstyle S}$ 将是一个介于 ${863.5}^{2}=745632.25$ 和 ${864.5}^{2}=747360.25$ 之间的值。这意味着我们只确定结果 S 的前两位数字 (74)，第三位数字可能是 6；乘法的其余数字是无意义的（我们说它们不显著），我们不应该将它们包含在我们的结果中。我们应该写

$$S=746\cdot {10}^{3}\,{\text{mm}}^{2}=7.46\cdot {10}^{5}\,{\text{mm}}^{2}$$

其中 ${\textstyle 746}$ 是我们结果的有效数字。所以如果乘积 ${\textstyle 864\cdot 864}$  中只有三个中的六个数字是有效的，为什么要计算所有六个数字呢？这就是简化运算的用处。

在本章中，我们将遵循安东尼诺·戈德·穆尔 的数学中出现的例子，以下简称数学，这本西班牙小手册，并看看这些计算如何在算盘上完成。

乘法

用被乘数乘以乘数的第一位数，再在下面用被乘数去掉最后一位数乘以乘数的第二位数，再在下面用被乘数去掉最后两位数乘以乘数的第三位数，以此类推。

——翻译自数学

数学中的示例

6665   x 1375  ———————    33325   46655  19995      6665    ———————  9164375	6665 x 1375   ————   6665   1999    466     33   ————   9163
普通 运算	简化 运算

在算盘上，这个问题可以用多种方法解决，例如，使用小岛的从乘数和被乘数最高位开始的乘法，在他的第二本书 中解释，他写道

由于运算从乘数和被乘数的第一位数相乘开始，因此它对于近似值很方便。

我们也可以尝试多因子乘法 等等；例如

6666x1375

算盘	评论
ABCDEFGHIJKLM
6665     1375	设置问题
.        .	单位杆
-1	清除 J
+6665	将 1✕6665 加到 G-J
6665  6665375
+18	将 3✕6 加到 GH
+18	将 3✕6 加到 HI
+18	将 3✕6 加到 IJ
-3	清除 K
+15	将 3✕5 加到 JK
6665  8664575
666   8664575	清除 D
+42	将 7✕6 加到 HI
+42	将 7✕6 加到 IJ
+42	将 7✕6 加到 JK
-7	清除 L
666   91307 5
66    91307 5	清除 C
+30	将 5✕6 加到 IJ
+30	将 5✕6 加到 JK
-5	清除 M
66    91637	结果
.        .	单位杆
9164	四位数舍入后的结果

但我们也可以使用从最后一个被乘数数字开始的乘法方法，就像现代乘法一样

6666x1375 现代乘法

算盘	评论
ABCDEFGHIJKLM
6665  1375	设置问题
+330	将 5✕66 加到 K-M
-5	清除 J
6665  137 330
+4662	将 7✕666=4662 加到 J-M
-7	清除 I
6665  13 4992
+19995	将 3✕6665=19995 加到 I-M
-3	清除 H
6665  1 24987
+6665	将 1✕6665=6665 加到 H-L
-1	清除 G
6665    91637	结果
6665    9164	四位数舍入后的结果

甚至传统的乘法，先清除，然后将部分积向左移一位

6666x1375 传统乘法

算盘	评论
ABCDEFGHIJKL
6665  1375	设置问题
-5	清除 J
+330	将 5✕66 加到 J-L
6665  137330
-7	清除 I
+4662	将 7✕666=4662 加到 I-L
6665  134992
-3	清除 H
+19995	将 3✕6665=19995 加到 H-L
6665  124987
-1	清除 G
+6665	将 1✕6665=6665 加到 G-K
6665   91637	结果
6665   9164	四位数舍入后的结果

除法

商的第一个数字照常找到，余数除以除数去掉其最后一个数字，新的余数除以除数去掉其最后两个数字，依此类推。

——翻译自数学

数学中的示例

4567.8     |95.62  743.00    ——————   73.660    47.77    6.7250             .0326	4567.8   |95.62                    743.0   ——————   |95.6             73.8    4       —————  |95        7.3             7     ———   |9     .1                    7    ——                                 8
正常操作	简化操作

可以看出，原本无限长的长除法步骤序列，其中得到商的新数字，被有限长度的除以缩减除数的序列取代，我们只得到商的一个数字。这可以使用我们最喜欢的除法方法来完成；例如，使用传统除法和传统除法排列

4567.8/95.62

算盘	评论
ABCDEFGHIJ
9562 45678
.      .	单位杆
-4	规则：4/9>4+4
+44
9562 49678
-20	从 GH 减去 4x5
-24	从 HI 减去 4x6
-8	从 IJ 减去 4x2
9562 47430
-7	规则：7/9>7+7
+77
9562 47130
-35	从 HI 减去 7x5
-42	从 IJ 减去 7x6
9562 47738
-7	规则：7/9>7+7
+77
9562 47708
-35	从 IJ 减去 7x5
9562 47773
-7	规则：7/9>7+7
+77
9562 47770
+1	向上修正
-7
9562 47783
.    .	单位杆

平方根

当前方法一直执行到根的数字的一半被超过，然后通过用找到的根的两倍除以余数，后面跟着未使用的位数，再跟着与位数相同的零，得到下一个数字。

——翻译自数学

😖 很难读，对吧？西班牙语也是……

来自 Matemáticas 的例子

123456789 的平方根

__________       \/123456789| 11111            |-------  -1        |                --        |         023      | 21x1     -21      |         ---      |          0245    | 221x1    -221    |          ----    |           02467  | 2221x1     -2221  |           -----  |            024689| 22221x1      -22221|              ------|               02468|	______ \/12345 |111         |---  -1     |                --     |   023   |21x1   -21   |   ---   |    0245 |221x1    -221 |    ---- |     024 |  -->   246789|22200                        ------                   24789 11                    2589          _________  ==>   \/123456789 = 11111
正常操作	简化操作
${\textstyle {\sqrt {123456789}}=11111.11106\cdots }$

不详细说明，这种简化平方根获取的方法可以用几种方法来证明，例如使用泰勒级数展开 或牛顿法，也许不是最简单的方法，但值得一提，尤其是对于下面关于立方根的内容。

以下将使用半九九法 (半九九法) 来演示这个过程，如平方根 章节中所述，这需要将余数改为半余数，将根的两倍改为 Matemáticas 段落中的根。请注意，第二阶段，即除法，可以以简化除法的形式进行，因为从其商中只得到有限数量的数字是有意义的。因此，从根中获得最后几位数字的工作量和时间成本会逐渐降低；所以我们可以将这种除法称为根提取的加速阶段。

123456789 的平方根 半九九法 (hankukuhou)

算盘	评论
ABCDEFGHIJ
123456789	按常规设置问题
23456789	从第一组中减去 1 的平方
117283945	将余数减半
1 117283945	将 1 作为第一个根数字输入 A
11 17283945	B 中的新根数字 1（向上修正）
-1
-5	从 D 中减去 1 平方的一半
11 12283945
111 2283945	C 中的新根数字 1（向上修正）
-11
-5	从 F 中减去 1 平方的一半
111 1233945	现在第二阶段或加速阶段开始
+1	将 111 除以 123
-111
1111 123945
+1	将 11 除以 12
-11
11111 13945	完成，我们现在有 5 个根数字！

立方根

当前方法一直执行到根的数字的一半被超过，然后通过用根的平方的三倍除以余数，后面跟着未使用的位数，再跟着与位数相同的零，得到下一个数字。

——翻译自数学

😖😖

来自 Matemáticas 的例子

3_____________ \/1234567890123|10727               ------	3_____________ \/1234567890123|107       9524      ----     9524890123 |3434700           -------- 2655490      27 2512001
正常操作	简化操作

这种简化也可以用几种方法来证明，包括牛顿法，顺便说一下，它也是使用算盘获得立方根的最佳近似值，虽然这不是传统技术，但它比任何传统方法都高效得多，如果我们使用它，可以说，在某种意义上，我们从一开始就在使用简化方法。尽管如此，这里有一个使用传统方法的例子：666 的立方根。我们将遵循 Cargill G. Knott 解释的方法（参见：立方根）。

显然，666 的立方根在 8 和 9 之间，因为这个数字在 512-728 的范围内。

666 的立方根

算盘	评论
ABCDEFG
666	在 BCD 中输入 666
+	(单位杆)
-512	从 BCD 中减去 83=512
154
8154	在 A 中输入 8。将 B-F 除以 8（A）
8192500	将 B-F 除以 3
8641662	将 B 除以 8（A）
8781662	从 CD 中减去 B2=49
8732662	将 C-F 乘以 3，得到 C-G
87 9800	将 C-F 乘以 8（A），得到 C-G
87 7840	从 EFG 中减去 B3=343
87 7497	根 8.7，余数 7.497

所以我们已经得到了 8.7 作为目前的根，余数为 7.497。为了应用快捷方式，我们需要形成除数$3\times 8.7^{2}$；我们将使用牛顿二项式展开来形成平方，并将通过添加两次获得的值来将其乘以三。

标题文本

算盘	评论
ABCDEFGHIJKLM
87 7497	8.7 的平方
+49
-112
+64
87 7497  7569	乘以 3
+14
+10
+12
+18
87 7497 22707	继续将 7.497 除以 227.07（可以简化！）
8733----22707	只获取商的两位数

或者，您也可以分别用 8.7 和 3 除两次，得到相同的结果。比较结果 8.733 和 3666=8,7328917

其他有用的缩写

下面介绍一种完全不同的简化计算方法，在实际应用中可能会有用。这些方法都是泰勒定理的推论。

对于 $a,b\ll 1$ ${\displaystyle }$

• $(1\pm a)(1\pm b)\approx 1\pm a\pm b$ 
  • 例如： $1.005\times 0.996\approx 1.001$
• $(1\pm a)/(1\pm b)\approx 1\pm a\mp b$
• $(1\pm a)^{n}\approx 1+n\cdot a$
  • 例如： $1.005^{3}\approx 1.015,\,0.995^{3}\approx 0.985$
• ${\sqrt[{n}]{1\pm a}}\approx 1\pm a/n$
  • 例如： ${\sqrt[{3}]{1.006}}\approx 1.002$
• $1/(1\pm a)\approx 1\mp a$
  • 例如：$1/1.003\approx 0.997,\,1/0.997\approx 1.003$
• $1/(1\pm a)^{n}\approx 1\mp n\cdot a$
• ...