传统算盘和珠算/乘法

有多少种乘法方法？

让我们举个例子: $345\times 6789=2342205$ . 我们通过将展开式中产生的12个部分积相加来进行乘法

$345\times 6789=(300+40+5)\times (6000+700+80+9)=300\times 6000+300\times 700+\cdots +5\times 9$

也就是说，此表中列出的所有乘积

345✕6789的部分积
✕	6000	700	80	9
300	1800000	210000	24000	2700
40	240000	28000	3200	360
5	30000	3500	400	45

但这些乘积可以以 ${\textstyle 12!}$ (12阶乘) ${\textstyle =1\times 2\times 3\times \cdots \times 12=479\,001\,600}$ 种排序方式，所以我们可以说，至少有近5亿种方法可以计算出这两个给定数字的乘积。

但很明显，在这数量庞大的按顺序添加部分积的方法中，只有少数方法才能由人脑有效、安全地生成和跟踪。但这些少数方法仍然很多……尤其是当我们考虑到我们也可以选择是否将被乘数和乘数输入算盘，以及相对于这些操作数从哪里开始添加部分积。在下面，我们将重点关注最后一个方面。

逆运算

加法和减法是逆运算，因为它们互相抵消，将结果还原为第一个操作数；例如: $422+313=735$ 现在减去 $735-313=422$ . 在算盘上

通过减法逆转加法
算盘	评论
ABC
422
+3	将313加到ABC
+1
+3
735	结果
-3	将313减去ABC
-1
-3
422	结果还原

我们可以看到，我们不仅得到了起始值，而且还得到了它在原始位置的值。反过来，乘法和除法也是逆运算；即: 如果 $a/b=q,r$ 其中 $q$ 是 $a$ 除以 $b$ 的商，而 $r$ 是余数，我们可以以以下形式逆转操作: $a=q\times b+r$ 例如: $4727/72=65,47$ 其中65是商，47是余数，我们可以以以下形式逆转操作 $4727=65\times 72+47$ . 在算盘上，使用现代除法和乘法方法

4727÷72，现代方法
算盘	评论
ABCDEFGHI	4727÷72
72 4727	被除数:F-I，除数:AB
72 64727	尝试6作为中间商
-42	将6✕7=42从FG中减去
-12	将6✕2=12从GH中减去
72 6 407
72 65407	尝试5作为中间商
-35	将5✕7=35从GH中减去
-10	从 HI 中减去 5✕2=10
72 65 47	停止：商 = 65，余数 = 47
72 65 47	通过乘法恢复
+35	将 5✕7=35 加到 GH
+10	将 5✕2=10 加到 HI
72 65407
72 6 407	清除 F
+42	将 6✕7=42 加到 FG
+12	将 6✕2=12 加到 GH
72 64727	清除 E
72 4727	完成！

我们已经逆转了操作，并将算盘恢复到其原始状态。请注意操作数和结果使用现代方法的相对位置

操作数和结果的相对位置（现代方法）
算盘	评论
ABCDEFGHI	4727÷72
72 4727	除数和被除数
72 65 47	除数：AB，商：EF 和余数：HI

现在让我们尝试使用传统的除法方法（TD）和传统的除法排列（TDA）进行相同的操作。

4727÷72，传统方法
算盘	评论
ABCDEFGHI	4727÷72
72 4727	被除数:F-I，除数:AB
72 5227	规则：4/7>5+5（溢出！)
-10	从 GH 中减去 5✕2=10
72 5127
+1	向上修改 F
-72	从 GH 中减去 72
72 6407
72 6557	规则：4/7>5+5
-10	从 HI 中减去 5✕2=10
72 6547	停止：商 = 65，余数 = 47

现在，操作数和结果使用传统方法的相对位置不同

操作数和结果的相对位置（传统方法）
算盘	评论
ABCDEFGHI	4727÷72
72 4727	除数和被除数
72 6547	除数：AB，商：FG 和余数：HI

如果我们想通过乘法逆转操作，我们可以首先通过记住要使用的被乘数的数字并将其清除来进行，然后我们将继续添加部分积

使用 TDA 逆转传统除法
算盘	评论
ABCDEFGHI
72 6547	通过乘法恢复
72 6 47	清除 G 并记住 5
+35	将 5✕7=35 加到 GH
+10	将 5✕2=10 加到 HI
72 6407
72 407	清除 F 并记住 6
+42	将 6✕7=42 加到 FG
+12	将 6✕2=12 加到 GH
72 4727	完成！

我们也已经逆转了操作，并将算盘恢复到其原始状态。通过这种方式，我们与现代乘法完全相同地进行操作，之前释放并重复使用被乘数中正在使用的数字所占用的空间。但是，在使用算盘时记住并保存一些东西在内存中会为错误打开大门，并且希望通过尝试将数字在内存中保留尽可能短的时间来最大限度地减少这种可能性。通过更改添加部分积的顺序可以实现这一点

介绍传统乘法
算盘	评论
ABCDEFGHI
72 6547	通过乘法恢复
+10	将 5✕2=10 加到 HI
+35	清除 G 并将 5✕7=35 加到 GH
72 6407
72 407	清除 F 并记住 6
+12	将 6✕2=12 加到 GH
+42	清除 F 并将 6✕7=42 加到 FG
72 4727	完成！

正如我们所见，我们已经将清除正在使用的数字推迟到最后时刻。这是传统乘法方法的基础。

传统乘法方法

传统乘法方法首先使用算筹^[1]引入，向现代算盘使用者介绍它的最佳方法是考虑一个多位乘数由一个头部（最左边的第一个数字）和一个主体（其余数字）组成；例如：4567✕23，将 4567 视为乘数，其头部为 4，主体为 567。因此，对于被乘数的每个数字（从右到左）

按照现代乘法中的步骤，计算被乘数数字与乘数主体相乘的积
然后清除当前被乘数的数字，并将它与乘数头部相乘的积加到刚刚清除的列和它右侧相邻的列中

4567✕23 传统方法
算盘	评论
ABCDEFGHIJKL	被乘数：FG，乘数：A-D
4567 23	头部：A (4)，主体：BCD (567)
+15	将 3✕5=15 加到 IJ
+18	将 3✕6=18 加到 JK
+21	将 3✕5=21 加到 KL
+12	清除 H 并将 3✕4=12 加到 HI
4567 213701
+10	将 2✕5=10 加到 HI
+12	将 2✕6=12 加到 IJ
+14	将 2✕7=14 加到 JK
+08	清除 G 并将 3✕4=12 加到 GH
4567 10F041	完成！^a

注意：^a 如果使用第五个下珠，结果为 10F041；否则为 105041。

但是事情并不总是像前面的例子那样简单；如果被乘数和乘数都包含高位数字（7、8、9），我们可能会遇到溢出问题，需要处理它们（参见章节：处理溢出），例如 999✕999=998001

999✕999 传统方法
算盘	评论
ABCDEFGHIJK	被乘数：A-C，乘数：I-K
999 999	头部：I (9)，主体：JK (99)
+81	将 9✕9=81 加到 DE
+81	将 9✕9=81 加到 EF
+81	清除 C 并将 9✕9=81 加到 CD
998991 999
+81	将 9✕9=81 加到 CD
+81	将 9✕9=81 加到 DE
+81	清除 B 并将 9✕9=81 加到 BC
988901 999	(溢出！)
+81	将 9✕9=81 加到 BC
+81	将 9✕9=81 加到 CD
+81	清除 A 并将 9✕9=81 加到 AB
888001 999	(双重溢出！)
998001 999	归一化结果，完成！

最方便的方法，与除法一样，是使用额外的上珠，即 5+2 型算盘，或者如果我们足够幸运的话，可以使用 5+3 型算盘。对于 4+1 和 5+1 型算盘，最好使用以下方法回退到上一节中概述的方法，在开始时（或必要时）清除被乘数的当前数字，以便有空间保存部分结果；例如

999✕999 传统方法（4+1 和 5+1 型算盘的回退方法）
算盘	评论
ABCDEFGHIJK	被乘数：A-C，乘数：I-K
999 999
+81	清除 C，记住 9 并将 9✕9=81 加到 CD
+81	将 9✕9=81 加到 DE
+81	将 9✕9=81 加到 EF
998991 999
+81	清除 B，记住 9 并将 9✕9=81 加到 BC
+81	将 9✕9=81 加到 CD
+81	将 9✕9=81 加到 DE
998901 999
+81	清除 A，记住 9 并将 9✕9=81 加到 AB
+81	将 9✕9=81 加到 BC
+81	将 9✕9=81 加到 CD
998001 999

如果你练习前面的例子以及两个传统的练习：898✕989，使用 898 作为乘数和被乘数，你将为任何传统的乘法问题做好准备。

乘法中的 123456789 练习

参考资料

↑ Volkov, Alexei (2018), "Visual Representations of Arithmetical Operations Performed with Counting Instruments in Chinese Mathematical Treatises", Researching the History of Mathematics Education - An International Overview, Springer Publishing, ISBN 978-3-319-68293-8 {{citation}}: Unknown parameter |editor1first= ignored (|editor-first1= suggested) (help); Unknown parameter |editor1last= ignored (|editor-last1= suggested) (help); Unknown parameter |editor2first= ignored (|editor-first2= suggested) (help); Unknown parameter |editor2last= ignored (|editor-last2= suggested) (help)

进一步阅读

Kojima, Takashi (1963), "III Other multiplication methods", Advanced Abacus: Theory and Practice, Tokyo: Charles E. Tuttle Co., Inc., ISBN 978-0-8048-0003-7

Totton Heffelfinger (2004). "Traditional Multiplication techniques for Chinese Suan Pan - The Extra Bead and the Suspended Bead". 算盤 Abacus: Mystery of the Bead. Archived from the original on August 1, 2021. {{cite web}}: Unknown parameter |accesdate= ignored (|access-date= suggested) (help)

Totton Heffelfinger (2013). "算盘与单位杆 - 乘法". 算盘 Abacus: 珠算之谜. 存档于原始位置于 2021 年 8 月 1 日. {{cite web}}: 未知参数 |accesdate= 被忽略 (|access-date= 建议) (帮助)

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[1] Volkov, Alexei (2018), "Visual Representations of Arithmetical Operations Performed with Counting Instruments in Chinese Mathematical Treatises", Researching the History of Mathematics Education - An International Overview, Springer Publishing, ISBN 978-3-319-68293-8 {{citation}}: Unknown parameter |editor1first= ignored (|editor-first1= suggested) (help); Unknown parameter |editor1last= ignored (|editor-last1= suggested) (help); Unknown parameter |editor2first= ignored (|editor-first2= suggested) (help); Unknown parameter |editor2last= ignored (|editor-last2= suggested) (help)

[1]

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