传统算盘珠算/除法/处理溢出
除了所谓的“特殊方法”之外，还有两种基本的方法来安排一般的除法问题。由于没有标准的名称来称呼它们，我们在本章中将它们称为：传统除法指南
- 现代除法排列 (MDA)，正如小岛解释的那样[1],
| 算盘 | 评论 |
|---|---|
| ABCDEF | |
| 5 25 | 被除数从 E 开始 |
| 5 5 | 除法后商从 D 开始 |
| 算盘 | 评论 |
|---|---|
| ABCDEF | |
| 5 25 | 25÷5=5 被除数从 E 开始 |
| 5 5 | 除法后商从 E 开始 |
MDA 似乎适用于任何除法方法；不仅是现代和传统方法，而且还适用于任何可以想象到的方法，阅读类似于：整数长除法的终极高等数学指南[4]的页面，并仅使用 4+1 (现代) 算盘的珠子。相反，TDA 在任何除法方法中都存在问题，因为除数和被除数/余数之间经常会发生冲突，也就是说，两者都需要同时使用同一列，而原则上这是不可能的，例如，在现代除法的情况下，我们将被迫将中间商数字的输入推迟到算盘上，直到相应的列通过减法清除。结果，需要特殊的技巧或算盘来应对这种冲突。即使如此，TDA 几个世纪以来一直与传统的除法方法结合使用，而 MDA 似乎直到现代才被废弃，直到现代算盘的采用，即使 MDA 是我们尝试将用计数杆使用的老除法方法 (矛盾的是 MD!) 适应到单行而不是通常的三行时首先想到的想法。为什么？这可能永远成为一个谜。然而，TDA 的某些优点必须得到承认。
- 它使用少一根杆
- 结果不会像 MDA 那样向左移动太多，这对于链式操作来说很有用。这一点和上面提到的几点使得 TDA 更适合于小杆数算盘，比如传统的 13 杆算盘/算盘。
- 它可以节省一些手指的动作；例如，在操作 6231÷93=67 时使用传统 (中文) 除法，使用 TDA 可以计算出 14 个手指的动作，而使用 MDA 则需要 24 个。
- 手部位移较短。
- 由于跳过的杆子较少，因此不容易出错。
这些足以证明它在历史上被使用吗？
关于使用 TDA 的传统除法 (Guī chúfǎ, Kijohou 帰除法)，避免上述冲突的方法是接受，在应用中国除法规则后，被除数/余数的第一列可以溢出，并暂时接受大于 9 的值 (最大为 18)，同时提供一些机制来处理这种溢出。对于传统的 5+2 或 5+3 算盘来说，这不是问题；正如已经解释过的，额外的上珠可以用在算盘的一列中存储高达 20 的值。问题出现在我们认为 5+1 型算盘在江户时代很流行于日本，而且似乎没有古代日本文本解释如何处理溢出。这就是问题：在 5+1 或 4+1 算盘上能做些什么呢？
在算盘和算盘小组的一个帖子中，一位成员展示了两个使用撇号 (‘) 来标记暂时接收大于 9 的值 (溢出) 的列或杆的传统除法示例[5]。
| 算盘 | 评论 |
|---|---|
| ABC abcdef | |
| 898 888122 | 見八無頭作九八（Div. table）... |
| 898 9'68122 | 九九八十一引（Mul. table）... |
| ... | ... |
撇号对算盘的列在过程表中的垂直对齐造成了障碍，但让我们把这个撇号想象成一个小 1 (¹) 的排版表示，这个珠子应该被推到、设置或激活到某个地方，无论是在真实的还是想象的列上。请注意，如果我们可以在撇号的位置打开或插入一列新的列（正如在任何电子表格中通常所做的那样），我们所有的问题都会通过使用新的列来接收珠子而消失，但这样做我们将使用 MDA。经过短暂的离题，下面将描述三种选择以保持在 TDA 上。
我们将使用经典的练习 998001÷999=999 作为例子来说明上述三个备选方案。这个练习在中文中叫做：孤雁归队 (孤雁歸隊 Gūyàn guīduì)。如果你在算盘上输入这个除法，例如
| 算盘 |
|---|
| ABCDEFGHIJK |
| 999 998001 |
如果你有强大的想象力，毫无疑问，你会将 K 上设置的单个珠子识别为一只孤雁，它刚刚离开她的鹅群 FGH（你可以看到她在 H 列下方的位置）。要让她回到鹅群，你只需要完成除法，得到 999 就好了！
原则上，我们可以将小“1”添加到任何未使用的列中，例如最右边的一列；但这可能会令人讨厌和不方便，因为手和注意力都必须在算盘上从一个地方跳到另一个地方，有可能最终在错误的列上操作。这里，无需进一步考虑，我们将简单地将小 "1" 添加到刚输入的中间商数字的列中。这听起来可能很奇怪或很暴力 (事实上确实如此)，但如果我们能够记住中间数字的值，我们就可以像往常一样操作，任何异常都会在瞬间从算盘中消失。让我们用 998001999=999 的例子在 4+1 算盘上看看它
| 算盘 | 评论 |
|---|---|
| ABCDEFGHIJK | |
| 999 998001 | 中国规则：9/9->9+9，记住商数字 9! |
| 999 1088001 | （向左“进位”！不要惊慌！） |
| -81 | -9*9 |
| 999 1007001 | |
| -81 | -9*9 |
| 999 998901 | 中国规则：9/9->9+9，记住商数字 9! |
| 999 1007901 | （向左“进位”！不要惊慌！） |
| -81 | -9*9 |
| 999 999801 | |
| -81 | -9*9 |
| 999 998991 | 中国规则：8/9->8+8，记住商数字 8! |
| 999 999791 | |
| -72 | -8*9 |
| 999 999071 | |
| -72 | -8*9 |
| 999 998999 | 最后，向上修正 |
| 999 999 | 完成！ |
在 5+1 算盘上，事情就简单多了。我们可以使用第 5 个珠子来避免进位。
| 算盘 | 评论 |
|---|---|
| ABCDEFGHIJK | |
| ... | |
| 999 998901 | 中国规则：9/9->9+9，记住商数字 9! |
| 999 9T7901 | |
| -81 | -9*9 |
| 999 999801 | |
| ... | ...等等。 |
正如我们所看到的，我们可以用这种方法来做，但这似乎不是一个非常吸引人的方法，因为我们需要记忆和高度集中注意力以避免出错。因此，除了作为一种专注练习之外，人们不应该尝试这种方法。
如果我们使用 5+1，而不是将珠子一直向上推，实际上将小“1”添加到中间商数字，就像上一个案例那样，将它只推到一半，留下一个悬挂的下珠，如右图顶部所示，似乎更合理。这个悬挂的珠子将代表溢出，同时保持商数字的完整性。
这似乎是一个处理溢出（无论是除法还是乘法）的完美方法，一切都在我们的眼前，无需记忆。事实上，当使用悬挂的下珠时，不需要额外的上珠，5+1 算盘的功能就和 5+2 或 5+3 的算盘一样强大。这也许可以解释为什么 5+1 算盘在过去如此流行，以及为什么第五个下珠能存活如此之久。注意图的下半部分，这个方法也可以，尽管有些复杂，推广到 4+1 算盘。从这里开始，我们将在图中使用下划线数字来表示溢出，因为下划线会提醒我们悬挂珠子的样子，而且它们不会像撇号那样弄乱用等宽字体打字的算盘过程表。
让我们用这种技术重复上述练习。除数不再表示，还有一些细节被介绍，以进一步说明第五个下珠如何在减法中被使用，从而在一定程度上简化操作（像往常一样，T 是 10，1 个上珠 + 5 个下珠被激活）。
| 算盘 | 评论 |
|---|---|
| ABCDEF | |
| 998001 | |
| 988001 | 中国规则：9:9 > 9+9 |
| -8 | 从 BC 中减去 81 |
| 9T8001 | |
| -1 | |
| 9T7001 | |
| -8 | 从 CD 中减去 81 |
| 999001 | |
| -1 | |
| 998901 | |
| 997901 | 中国规则：9:9 > 9+9 |
| -8 | 从 CD 中减去 81 |
| 999901 | |
| -1 | |
| 999801 | |
| -8 | 从 DE 中减去 81 |
| 998T01 | |
| -1 | |
| 998991 | |
| 998791 | 中国规则：8:9 > 8+8 |
| -7 | 从 DE 中减去 72 |
| 998T91 | |
| -2 | |
| 998T71 | |
| -7 | 从 EF 中减去 72 |
| 9989T1 | |
| -2 | |
| 998999 | 向上修正 |
| -9 | (从右到左以节省一只手移动) |
| 998990 | |
| -9 | |
| 998900 | |
| -9 | |
| 998000 | |
| +1 | |
| 999000 | 完成！ |
另请参见 除法示例，以说明 5+1、5+2 和 5+3 型算盘上的这种除法。
现在在一个 4+1 算盘上。我们需要使用悬挂的四个下珠群作为9的代码。
| 算盘 | 评论 |
|---|---|
| ABCDEF | |
| 998001 | |
| 988001 | 中国规则：9:9 > 9+9 |
| -81 | 从 BC 中减去 81 |
| 987001 | |
| -81 | 从 CD 中减去 81 |
| 998901 | |
| 997901 | 中国规则：9:9 > 9+9 |
| -81 | 从 CD 中减去 81 |
| 999801 | |
| -81 | 从 DE 中减去 81 |
| 998991 | |
| 998791 | 中国规则：8:9 > 8+8 |
| -72 | 从 DE 中减去 72 |
| 998071 | |
| -72 | 从 EF 中减去 72 |
| 998999 | 向上修正 |
| 999000 | 完成！ |
如果你尝试过，你可能已经注意到，四个悬挂珠子的群组的行为与 5+2 算盘上使用的悬挂上珠相同；也就是说，用“反向算术”，如果你将悬挂珠子向算盘豆移动，你是在减法而不是加法！。
上面说过，使用悬挂的下珠似乎是一种完美的方法……但实际上它有点烦人，因为它本身很慢。悬挂珠子总是很困难，尤其是现代算盘上那些小而留有很少空余空间的珠子，尽管有捏住珠子用两个手指然后像摘花一样缩回手的愚蠢技巧。没错，使用 5+1 算盘不需要额外的上珠，但毫无疑问，如果你有很多乘法或除法要做，你会更喜欢额外的珠子提供的速度，因为很少需要在 5+2 上悬挂珠子，而在 5+3 上就永远不需要悬挂珠子。
与其物理地移动/悬挂溢出珠子，不如想一下，珠子已经被悬挂在商数杆上了，或者被推到一个在你算盘周围飞行的想象杆上，或者就在你周围……，或者仅仅记住“溢出状态”已经被设置为ON，并且需要尽快将其重置为OFF。这种方法类似于在旧电子计算器编程中设置ON/OFF标志的过程。显然，不移动任何珠子比移动任何珠子都快，所以没有什么比这种替代方法更快了。不过，我们应该预期需要一些练习才能适应这种方法，并准备好由于记忆而犯更多错误。然而，像在暴力法中那样记忆一个数字，比仅仅记忆一个警报条件要糟糕，因为这里需要的是警报条件。
不需要新的例子。之前的例子可以在这个新视角下被理解，只需要将下划线解释成类似于溢出标志：ON的东西。
我们在这里看到了三种处理 4+1 和 5+1 算盘上溢出的技术，这些技术将小的“1”推到中间商数列上。
- 所有方法都将它有效地作为进位加到商数中。
- 只有一半，留下一个悬挂的下珠。
- 什么都没有（但都在我们脑海里）。
这些方法为我们在任何类型的算盘上使用传统技术和安排提供了可能性，只需将机制适应额外珠子的存在与否。如果你最终被传统技术说服，这是一个优势。
有人提到，没有古代日本文本解释如何处理 5+1 算盘上的溢出。最有可能的形式是这里介绍的最后两种方法之一。请考虑，第二种方法可以在几秒钟内向其他人展示，而且一旦看到，它就不会被遗忘，也不需要进一步解释；它是如此显而易见。因此，没有必要写长篇大论来传达这种知识。
- ↑ Kojima, Takashi (1954), The Japanese Abacus: its Use and Theory, Tokyo: Charles E. Tuttle Co., Inc., ISBN 978-0-8048-0278-9
- ↑ Yoshida, Mitsuyoshi (吉田光由) (1634). Jinkoki (塵劫記) (in Japanese).
{{cite book}}: Unknown parameter|trans_title=ignored (|trans-title=suggested) (help) - ↑ Xú Xīnlǔ (徐心魯) (1993) [1573]. Pánzhū Suànfǎ (盤珠算法) (in Chinese). Zhōngguó kēxué jìshù diǎnjí tōng huì (中國科學技術典籍通彙).
{{cite book}}: Unknown parameter|trans_title=ignored (|trans-title=suggested) (help) - ↑ "The Definitive Higher Math Guide on Integer Long Division (and Its Variants)". Math Vault. Archived from the original on May 14, 2021. Retrieved August 4, 2021.
- ↑ Murakami, Masaaki (2020-06-29). "The 5th lower bead". (Web link). Retrieved on 2021-08-13.