传统算盘与珠算/除法/除以2的幂

引言

分母仅包含2和5作为因数的分数具有有限的小数表示形式。如果我们有分数$1/n,2/n,\cdots 9/n$列表（或记忆），其中$n$是2或5的幂之一，这使得除以2或5的幂变得容易。

例如，给定

$$137=1\cdot 10^{2}+3\cdot 10^{1}+7\cdot 10^{0}$$

那么

$${\frac {137}{8}}={\frac {1\cdot 10^{2}+3\cdot 10^{1}+7\cdot 10^{0}}{8}}={\frac {1}{8}}\cdot 10^{2}+{\frac {3}{8}}\cdot 10^{1}+{\frac {7}{8}}\cdot 10^{0}=$$

$$=(0.125)\cdot 10^{2}+(0.375)\cdot 10^{1}+(0.875)10^{0}=12.5+3.75+0.875=17.125$$

这可以通过从右到左在算盘上轻松完成。对于分子中的每个数字

1. 清除该数字
2. 从它所在的列开始，将对应于工作数字的分数添加到算盘上

使用分数进行除法137/8

算盘	注释
ABCDEF
--+---	个位数杆
137	在A-C上输入137作为参考
7	清除C中的7
+0875	将7/8添加到C-F
130875
3	清除B中的3
+0375	将3/8添加到B-E
104625
1	清除A中的1
+0125	将1/8添加到A-D
17125	完成！
--+---	个位数杆

我们只需要将相应的分数列出或记住，如下表所示。

2的幂

过去，在中国和日本，使用的货币和计量单位都与16有关，这是一个以1开头的因子，这使得正常的除法变得不方便。因此，使用此处介绍的方法进行此类除法很流行。

分数表

2的幂分数

D	D/2	D/4	D/8	D/16	D/32	D/64
1	05	025	0125	0625	03125	015625
2	10	050	0250	1250	06250	031250
3	15	075	0375	1875	09375	046875
4	20	100	0500	2500	12500	062500
5	25	125	0625	3125	15625	078125
6	30	150	0750	3750	18750	093750
7	35	175	0875	4375	21875	109375
8	40	200	1000	5000	25000	125000
9	45	225	1125	5625	28125	140625
				1	1	1
				个位数杆左移

^a 个位数杆左移。

使用示例

137/2

ABCD
--+-
137
7
+35
3
+15
1
+05
--+-
0685
68.5

137/4

ABCDE
--+--
137
7
+175
3
+075
1
+025
--+--
03425
34.25

137/8

ABCDEF
--+---
137
7
+0875
3
+0375
1
+0125
--+---
017125
17.125

137/16

ABCDEF
--+---
137
7
+4375
3
+1875
1
+0625
-+----
085625
8.5625

137/32

ABCDEFG
--+----
137
7
+21875
3
+09375
1
+03125
-+-----
0428125
4.28125

137/64

ABCDEFGH
--+-----
137
7	清除C中的7
+109375
3	清除B中的3
+046875
1	清除A中的1
+015625
-+------
02140625
2.140625

^b "+"表示个位数杆的位置。

原地除以2

除以2的算珠分数很容易记忆，这种方法对应于Siqueira解释的“就地”或“原位”除以二，作为利用“半九九法”（日语：hankukuho，中文：Bàn jiǔjiǔ fǎ，参见章节：平方根）求平方根的辅助方法，它无疑是一种非常有效且快速的除以二的方法。其他分母的分数更难记忆。

作为上述引言中所解释内容的特例，要“就地”除以二，我们从右到左一位一位地进行以下操作：

1. 清零该位数
2. 从它所占据的列开始，加上它的一半

例如，123456789/2

123456789÷2 “就地”

算盘	注释
ABCDEFGHIJ
123456789
9	清零I位上的9
+45	将它的一半加到IJ位上
1234567845
8	清零H位上的8
+40	将它的一半加到HI位上
1234567445
7	清零G位上的7
+35	将它的一半加到GH位上
1234563945
6	清零F位上的6
+3	将它的一半加到FG位上
1234533945
5	清零E位上的5
+25	将它的一半加到EF位上
1234283945
4	清零D位上的4
+2	将它的一半加到DE位上
1232283945
3	清零C位上的3
+15	将它的一半加到CD位上
1217283945
2	清零B位上的2
+1	将它的一半加到BC位上
1117283945
1	清除A中的1
+05	将它的一半加到AB位上。
617283945	完成！

在这次除法中，个位算珠没有变化。

五的幂

分数表

五的幂分数

D	D/5	D/25	D/125	D/625
1	0.2	0.04	0.008	0.0016
2	0.4	0.08	0.016	0.0032
3	0.6	0.12	0.024	0.0048
4	0.8	0.16	0.032	0.0064
5	1	0.2	0.04	0.008
6	1.2	0.24	0.048	0.0096
7	1.4	0.28	0.056	0.0112
8	1.6	0.32	0.064	0.0128
9	1.8	0.36	0.072	0.0144