三角学/三角形面积

三角形的面积
是底乘以高的一半

面积公式

蓝色框中的陈述为我们提供了一种获取任何三角形面积的方法。三角形的“底”是您选择的任何边作为底，即您选择放在图表底部的任何边。然后高度是垂直于该底到顶点的距离，顶点是三角形上不在底上的点。下面的图表显示了高度和底部的测量方法。

特别注意第二个三角形的高度和底部是如何测量的。

直角三角形

在我们展示为什么该公式适用于所有三角形之前，我们将看看直角三角形的简单情况。

对于直角三角形，我们可以很容易地证明该公式是正确的，前提是“底”是较短的边之一。因为我们可以用两个直角三角形的副本构成一个矩形，所以直角三角形的面积只是由此形成的矩形面积的一半，即直角三角形的两个较短边的长度乘积的一半。以下是一些展示此的图表

将其他三角形分成直角三角形

现在我们已经确定了如何计算直角三角形的面积，我们可以通过将任何三角形分成直角三角形来确定任何三角形的面积公式。在这里，我们表明三角形可以分成两个直角三角形。我们有“h”是三角形的高度，a 和 b 是两个较小三角形的边，a+b 一起是底的长度。

两个较小三角形的面积是 ${\frac {ah}{2}}$ 和 ${\frac {bh}{2}}$ 。整个三角形的面积是它们的总和，即

${\frac {ah}{2}}+{\frac {bh}{2}}={\frac {ah+bh}{2}}={\frac {(a+b)h}{2}}={\frac {(a+b)}{2}}h$

是底乘以高的一半。

然而，我们需要小心，因为我们可能有一个钝角三角形。处理此问题的一种方法是允许长度 a 或 b 为负数。但是，为了安全起见，最好为钝角三角形绘制一个图表并单独检查它。

在这个图中，我们现在有底的长度是 a-b，三角形的面积是通过从最大的直角三角形中减去最小的直角三角形的面积得到的。

${\frac {ah}{2}}-{\frac {bh}{2}}={\frac {ah-bh}{2}}={\frac {(a-b)h}{2}}={\frac {(a-b)}{2}}h$

由于底的长度为 a-b，我们再次得到面积是底乘以高的一半。

三角形的面积
是底乘以高的一半