三角学/证明：角之和为 180

在任何三角形中，角
总和为 $180^{\circ }\,$

两个证明

我们给出了毕达哥拉斯定理的两个证明。第一个证明很简短，我们希望它能让你相信毕达哥拉斯定理是正确的。第二个证明遵循欧几里得的思路，更加技术性。

我们将用完全相同的方法来证明三角形内角和为 180 度。

你需要学习这些证明吗？

如果你正在学习三角学，你需要知道三角形内角和为 $180^{\circ }\,$.

如果你正在学习三角学以备考，请咨询你的老师，看看你是否需要学习证明角之和为 $180^{\circ }\,$。如果你需要学习证明，你可能需要学习第二个证明。这完全取决于你的教学大纲。第一个证明不是你通常在考试中想要的证明，但它确实更清晰地解释了为什么角之和为 $180^{\circ }\,$。阅读和理解它将有助于你更多地了解数学证明的概念。证明的概念在你数学水平不断提高的过程中变得越来越重要，所以提前了解证明是一个好主意。如果你想在这一阶段跳过这两个证明，那也没问题。你可以随时回来查看它们。但是，不要跳过本书中的所有证明。其中一些对于理解三角学至关重要。如果你也懂得如何证明三角学公式，你会发现学习它们更容易。做“更多”实际上意味着更少的工作，也更有乐趣。

更多关于证明

我们之前看到了三角形的例子，其中角之和为 $180^{\circ }\,$。就像毕达哥拉斯定理一样，数学家想知道为什么它会这样，并证明它总是这样。仅仅证明它在许多例子中都是正确的还不够。

在本页我们将给出两个证明。

• 第一个证明展示了它为何成立的原因。不幸的是，第一个证明依赖于关于三角形的一些其他事实，这些事实似乎很合理，但我们没有证明它们是正确的。

实际上，当你试图证明某些东西时，你总是会依赖于其他“事实”，这些事实可能非常合理，但你还没有证明它们。在毕达哥拉斯证明中，我们依赖于这样一个概念，即如果你移动形状，它们会保持相同的面积。这很合理，但我们没有证明它。

如果你没有证明你所依赖的事实，你是否证明了定理？你需要走多远才能证明某件事？哪些“事实”是可以作为你信任的“事实”来选择的？这些问题不容易回答。但确实有一个前进的方向。那就是就允许使用哪些事实达成一致。

在介绍页中，我们提到了大约 2300 年前生活的数学家欧几里得。他选择了一些在几何和三角学中可以合理假设的事实。在他的体系中，几何和三角学中的所有东西都应该从这些被允许的原理推导出来。

• 本页上的第二个证明直接或间接地只使用了欧几里得所允许的原理。

第一个关于角之和为 180 度的证明

更传统的证明将在后面给出。

一个任意三角形

三角形被分成 4 个全等的三角形。必须相等的角用相同的方式标记。

1. 首先，我们画一个三角形。虽然右边的图显示了一个特定的例子，但我们可以证明我们的证明无论我们画什么三角形都会有效。
2. 接下来，找到每条边的中点，将每条边分成两半。将这些中点用线连接起来，如下一张图所示，得到四个更小的三角形。
3. 四个较小的三角形彼此全等，每个三角形是大正三角形的四分之一。四个较小的三角形都相似于大正三角形。角是相同的，但边的长度减半。
4. 现在看一下任何一条边的中点。那里汇聚了三个“角”，三个角中包含了三种尺寸的角各一个。
5. 这三个角之和构成一条直线，即它们之和为 $180^{o}\,$

这就是我们要证明的。我们完成了！

虽然步骤 3 非常合理，但实际上我们需要做更多工作才能完全证明这一步骤。一位数学家可能会说：

“我很高兴在中间的三角形中，边恰好是原三角形边的一半，但你还没有证明这个三角形与大三角形相似。”

这仅仅表明我们需要多么谨慎。对我们来说，这就可以了。我们希望这个证明向你展示这个定理为何成立。如果需要，如果数学家更精确地告诉我们允许做哪些假设，我们可以完全证明中间三角形与其他小三角形全等。

欧几里得证明角之和为 180 度的变体

用 $\displaystyle >>$ 标记的两条线是平行的。

• $\angle 1=\angle A$。欧几里得有一个关于直线与平行线相交的命题——它们以相同的角度相交，这是该命题的结果。
• $\angle 2=\angle C$。这也是出于同样的原因。

在最上面一行，我们有

$\angle 1+\angle B+\angle 2=180^{\circ }$

但由于 $\angle 1=\angle A$ 并且因为 $\angle 2=\angle C$，这与以下陈述相同

$\angle A+\angle B+\angle C=180^{\circ }$

这就是我们想要证明的。