三角学/海伦公式

海伦公式指出，一个三角形的面积A，其边长分别为a，b，c，计算公式如下：

$A={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}$

其中$\displaystyle s$ 是三角形的半周长

$s={\frac {a+b+c}{2}}$

这里有证明 here.

练习 我们用 3-4-5 三角形来尝试一下，我们知道这是一个直角三角形。我们知道它的面积。它是 3x4 长方形面积的一半。所以面积 $A$ 是 ${\frac {3\times 4}{2}}=6$ 。 让我们看看海伦公式是否也适用。 $s={\frac {3+4+5}{2}}=6$ 使用海伦公式 $A={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}={\sqrt {6(6-3)(6-4)(6-5)}}={\sqrt {6\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}={\sqrt {36}}=6$ 它成功了。

亚历山大的海伦

这个公式被认为是由于亚历山大的希罗（或海伦）（公元 10-70 年），一位希腊数学家。

实例 现在轮到你了。我们有一个等边三角形，每边长为 1。三角形的底边为 1，高度可以用勾股定理算出来。它是 ${\sqrt {1^{2}-{\frac {1}{2^{2}}}}}={\frac {\sqrt {3}}{2}}$ 所以我们等边三角形的面积 $A$ 是 ${\frac {\sqrt {3}}{4}}$ 。 计算这个三角形的半周长 S，并将 S 和边长的值代入海伦公式，计算面积 A。 $s=$ 使用海伦公式 $A={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}=$ 答案是否正确？