三角学/圆和三角形/外接圆

三角形的外接圆是一个圆，它以三角形的一边和另外两边延伸作为切线。三角形有三条这样的圆，每条对应三角形的一边。

每个这样的圆的中心，即三角形的外心，位于与圆相切的边的对角的角平分线和三角形另外两个角的外角平分线的交点。证明类似于内心的位置。

设三角形的边长分别为 a，b，c，对角分别为 A，B，C。用 Δ 表示三角形的面积。写 s = ¹⁄₂(a+b+c)。

如果与边 a 相切的外接圆的半径为 r_a，那么 $r_{a}={\frac {\Delta }{s-a}}$，其他两个外接圆有类似的表达式。如果 r 是内切圆的半径，我们有

${\frac {1}{r_{a}}}+{\frac {1}{r_{b}}}+{\frac {1}{r_{c}}}={\frac {s-a}{\Delta }}+{\frac {s-b}{\Delta }}+{\frac {s-c}{\Delta }}={\frac {s}{\Delta }}={\frac {1}{r}}$

如果三角形的顶点是 ABC，且与边 BC 相切的外接圆在点 D 处相切，那么 AB+BD = AC+CD。（这很容易用从一点到圆的两条切线长度相等的定理证明）这两个表达式都是 s，即半周长。

与边 a 相对应的外心到外接圆心的距离的平方为 R(R+2r_a)，其他两个外心有类似的表达式。另外，

$\displaystyle r_{a}+r_{b}+r_{c}=r+4R.$

三角形的面积是

$\displaystyle {\sqrt {r_{a}r_{b}r_{c}r}}.$

r_a 的另外三个表达式是

$r_{a}=a{{\cos({\frac {B}{2}})\cos({\frac {C}{2}})} \over {\cos({\frac {A}{2}})}}$

$r_{a}=4R\sin({\frac {A}{2}})\cos({\frac {B}{2}})\cos({\frac {C}{2}})$

$r_{a}=s\tan({\frac {A}{2}})$

r_b 和 r_c 有类似的表达式。

从这些表达式中的第二个可以很容易地证明，如果 r_a = r + r_b + r_c，那么 A 是直角。

I_a 到三个顶点 A，B，C 的距离分别为

$4R\cos \left({\frac {B}{2}}\right)\cos \left({\frac {C}{2}}\right){\text{, }}4R\sin \left({\frac {A}{2}}\right)\cos \left({\frac {C}{2}}\right){\text{, }}4R\sin \left({\frac {A}{2}}\right)\cos \left({\frac {B}{2}}\right)$

分别为其他外心点的类似表达式。

$\displaystyle r.II_{a}.II_{b}.II_{c}=4R.IA.IB.IC$