三角函数/余弦和正弦

两种方法

余弦和正弦函数将直角三角形中的角度与对应边的比率联系起来。例如，余弦函数（$\cos$）将角度θ，$\theta$，与直角三角形上相邻边（即直角的对边）的长度比率联系起来（即$\cos \theta$ 是该角的相邻边与直角三角形的斜边之比）。

介绍余弦和正弦函数通常有两种方法。

• 其中一种方法是根据直角三角形定义正弦和余弦函数。这对于$0^{\circ }$ 和$90^{\circ }$ 之间的角度很有效。后来，定义必须扩展到该范围之外的角度。
• 另一种方法是根据“单位圆”介绍正弦和余弦。这种方法稍微复杂一些，但适用于所有角度。

这两种方法最终是完全相同的。但是，我们更喜欢从一开始就处理所有角度，这就是为什么在之前的练习中，我们让你绘制${\big (}\cos(t),\sin(t){\big )}$ 以获得一个“单位圆”。

单位圆定义

如果在$x$ 轴（角度是相对于$x$ 轴逆时针方向）绘制了一条长度为$1$ 的半径线，该线与角度$\theta$ 相交，那么$x$ 坐标由下式给出

$x=\cos \left(\theta \right)$,

而$y$ 坐标由下式给出

$y=\sin \left(\theta \right)$.

符号和读音 $\cos$ 当然只是“余弦”的缩写，而$\sin$ 只是正弦的缩写。 令人困惑的是，$\cos$ 可以发音为 "cos" 或 "coz"，始终以 "o" 发音，如 "bottle" 中的 "o"，而不是 "code" 中的 "o"，而 $\sin$ 通常发音为 "sine" 而不是 "sin"。 这并不十分合乎逻辑，但就是这样。

边比率定义

下图显示了我们正在考虑的内容

在这里，我们将用 $A,B,C$ 来表示角度。

• 我们已经知道最长的边称为 **斜边**。
• 与我们选择的角度相邻的边称为 **三角形的底**。
• 剩下的与角度相对的边称为 **三角形的垂线或纬度**。

角度决定了边的比率。一旦选择角度，我们就可以使整个三角形变大或变小，但所有长度都按相同的比例变化。我们不能改变一条边的长度而不按相同的比例改变所有边的长度，否则我们将改变角度。因此，一旦我们知道角度，我们就知道了边的比率。给出这些比率的函数定义为

$\sin(A)={\frac {a}{c}}$ 和 $\cos(A)={\frac {b}{c}}$

'单位斜边' 定义

正弦和余弦的这个定义通常不会给出，但它也是有效的。

从原点画一条单位长度线 $1$ 到一个点 $\left(x,y\right)$，该点与水平轴逆时针成 $\theta ^{\circ }$ 角。然后，从点 $\left(x,y\right)$ 画一条平行于纵轴的线和一条平行于横轴的线。

如果单位长度线 $1$ 是直角三角形的斜边，那么对于宽度为 $x$，长度为 $y$ 的直角三角形，以下函数成立

• $\cos \left(\theta \right)={\frac {x}{1}}$.
• $\sin \left(\theta \right)={\frac {y}{1}}$.

因为任何有理数除以 1 等于它本身

• $\cos \left(\theta \right)=x$.
• $\sin \left(\theta \right)=y$.

另一个定义如下。令 $y={\text{opposite}}$ 和 $x={\text{adjacent}}$

${\text{opposite}}=\sin \left(\theta \right)$

${\text{adjacent}}=\cos \left(\theta \right)$

练习

练习：这些定义是一样的 使用第三个定义来说服自己，三种不同的定义正弦和余弦的方法是一样的，至少对于 $0^{\circ }$ 和 $90^{\circ }$ 之间的角度。

练习：单位圆 你在上一页 绘制 (cos(t), sin(t)) 上做了练习吗？真正重要的是尝试一下并观察余弦和正弦与单位圆的关系。 至少你必须能够在计算器上使用 $\cos$ 和 $\sin$，否则你将无法在三角学中取得很大进步。

练习：思考 三角函数的单位圆定义表明我们可以处理大于 $90^{\circ }$ 的角度。 $90^{\circ }$ 代表四分之一圆。 $360^{\circ }$ 代表一个完整的圆。如果我们有大于 $360^{\circ }$ 的角度，$\cos$ 和 $\sin$ 会发生什么或应该发生什么？

正切

在这一页上我们想介绍另一个三角函数。它是正切函数，或者简称为 $\tan$ 。

对于单位圆定义，我们将 θ 的正切定义为

$\tan(\theta )={\frac {\sin(\theta )}{\cos(\theta )}}$

对于边比定义，我们将 θ 的正切定义为

$\tan(\theta )={\frac {\text{opposite}}{\text{adjacent}}}$

根据单位斜边三角形的正弦和余弦定义，很明显它们是相同的。

这些正切定义的结果是一样的。 如果我们没有根据单位斜边三角形的正弦和余弦定义，我们需要做更多的工作来证明正切的两个定义是等价的。我们会做类似这样的事情。 $\tan(\theta )={\frac {\sin(\theta )}{\cos(\theta )}}=\overbrace {{\frac {\sin(\theta )}{1}}\times {\frac {1}{\cos(\theta )}}={\frac {\text{opposite}}{\text{hypotenuse}}}\times {\frac {\text{hypotenuse}}{\text{adjacent}}}} ^{{\text{Using definitions of}}\sin {\text{and}}\cos {\text{as ratios}}}={\frac {\text{opposite}}{\text{adjacent}}}$ 值得检查每一步。

正切还是切线？ 谈到正切函数$\tan$时，最好始终说“正切”而不是“切线”。 原因是“切线”在数学中还有另一个含义。一个圆的“切线”是一条与圆相切但不与圆相交的直线——一个圆的切线，即使在两个方向上无限延伸，也只与圆相交于一点。从与圆相交的点到圆心的直线总是与切线垂直。