三角学/圆内接四边形和托勒密定理
一个圆内接四边形是指所有四个顶点都位于同一个圆上的四边形。
一个四边形是圆内接四边形当且仅当它的两组对角之和分别为 180º。
证明概述
从两个相对顶点画出到圆心的半径；它们构成两个角度，这两个角度必须加起来为 360º。由于圆周角是圆心角的一半，因此对角之和必须为 180º。为了证明逆命题，考虑任意三个顶点的外接圆；如果第四个顶点不在此圆上，那么对角之和将不会为 180º。
用上面的符号，如果 AB 表示线段 AB 的长度，以此类推，那么
- AB·CD + BC·DA = AC·BD
证明
画出 AC 和 BD。在 AC 上找到一点 X，使得 ∠ABX = ∠CBD。由于 ∠ABX + ∠CBX = ∠ABC = ∠CBD + ∠ABD，因此 ∠CBX = ∠ABD。
△ABX 与 △DBC 相似，△ABD 与 △XBC 相似。因此 AX/AB = CD/BD，CX/BC = DA/BD，所以
- AX·BD = AB·CD，CX·BD = BC·DA
将这两个等式相加，得到
- AX·BD + CX·BD = AB·CD + BC·DA
因此
- (AX+CX)·BD = AB·CD + BC·DA;
由于 AX+CX = AC，因此结果成立。
假设 ABCD 是一个圆内接四边形，并且 ABC 是一个等边三角形。那么无论 D 在 AC 弧上的哪个位置，都有 DB = DA + DC。
四边形的中垂线是指经过对边中点并垂直于该边的直线。
对于一个圆内接四边形，它的四条中垂线是共点的。如果这个点是 X，四边形外接圆的圆心是 O，那么顶点的重心平分 OX。
如果按顺时针方向排列的顶点是 A、B、C 和 D，这意味着三角形 ABC、BCD、CDA 和 DAB 都有相同的外接圆，因此具有相同的半径。这四个三角形的内心始终位于一个矩形的四个顶点上；这四个点加上十二个外心形成了一个 4x4 的矩形网格。如果 P、Q、R 和 S 分别是外接圆上弧 AB、BC、CD 和 DA 的圆心，那么直线 PR 和 QS 是矩形边的垂直平分线。
四个垂心形成一个与原四边形全等的四边形；重心和九点圆的圆心各自形成一个与原四边形相似的四边形。