三角函数的几何定义

几何定义正切

在上一节中，我们代数定义了正切为 $\displaystyle \tan \theta ={\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}$，这是我们将来最常用的定义。然而，从几何角度理解正切函数可能会有所帮助。

几何定义正切

在单位圆上画一条切线：（即 $x=1$）。从圆的半径上与给定角度相交的点开始，穿过圆心（O），到切线上的一点（Q），画一条线。这条线的纵坐标（QP）被称为该角度的正切。

直线OQ的斜率 = ${\frac {KC}{OC}}$，正如我们之前提到的

KC = sin(θ) , OC = cos(θ)

因此，直线OQ的斜率 = ${\frac {\sin(\theta )}{\cos(\theta )}}$

并且直线OQ的斜率 = ${\frac {QP}{OP}}$ = ${\frac {QP}{1}}$ = ${\frac {\tan(\theta )}{1}}$ = tan(θ)

因此，我们可以推导出 tan(θ) = ${\frac {KC}{OC}}$ = ${\frac {\sin(\theta )}{\cos(\theta )}}$ = QP = 点 Q 的纵坐标 = OQ 的斜率

圆函数的定义域和值域

任何大小的角度，无论是正的还是负的，都可以作为正弦或余弦的输入——结果将如同从该角度减去或加上 2π（或 360°）的 最大倍数。这两个函数的输出受单位圆半径的绝对值 $|1|$ 的限制。

${\begin{matrix}&\mathrm {domain} &\mathrm {range} \\\mathrm {sine} &\mathbb {R} &[-1,1]\\\mathrm {cosine} &\mathbb {R} &[-1,1]\\\end{matrix}}$

R 代表所有实数的集合。

然而，正切不受此类限制，如上一节的图表所示。正切定义域的唯一限制是 ${\frac {\pi }{2}}$ 的奇数倍是不确定的，因为与切线平行的线永远不会与它相交。

${\begin{matrix}&\mathrm {domain} &\mathrm {range} \\\mathrm {tangent} &\mathbb {R} \setminus \left\{\cdots ,-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}},{\frac {3\pi }{2}},{\frac {5\pi }{2}},\cdots \right\}&\mathbb {R} \\\end{matrix}}$

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将三角函数应用于直角三角形

如果您将变量重新定义如下，以对应于直角三角形的边
• x = a（邻边）
• y = o（对边）
• a = h（斜边）

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