直角三角形的构造

直角三角形很容易构造。回顾一下，直径是一条从圆上的一个点开始，经过圆心到另一侧的直线。利用圆的这个性质

构造一个圆的直径。将直径与圆相切的点分别称为a和c。
在圆上选择一个不同的点b（任何既不是a也不是c的点）。
构造连接点a、b和c的线段。

如果按照以上三个步骤进行，则得到的三角形Δabc将是一个直角三角形。这个结果被称为泰勒斯定理。

通过从b点到圆心添加一条线段，可以将这个直角三角形进一步划分为两个等腰三角形。

为了简化下面的讨论，我们规定这个圆的直径为1，并且方向是使上述直径从左到右。我们将右边的三角形角度记为θ，左边的角度记为φ。直角三角形的边将从右边开始，依次记为a, b, c, 使a是最右边的边，c是最左边的边，b是直径。我们从前面知道，边b与直角相对，被称为斜边。边a与角φ相对，而边c与角θ相对。我们再次强调，直径，现在称为b，将被认为是长度为1，除非另有说明。

通过在直径与圆相交的点之一处构造一个与直径垂直的直角，然后使用前面概述的产生二进制分数直角的方法，我们可以将其中一个角，例如θ，构造为在0到π / 2之间的已知大小的角。另一个角φ的大小是π - π/2 - θ = π/2 - θ，这是角θ的余角。同样，我们可以将圆的直径二等分，产生长度是直径长度的二进制分数。使用圆规，可以将直径的二进制分数长度用于构造边a（或c），使之具有已知的大小（相对于直径b），由此可以构造边c。

使用直角三角形求未知边

根据两条边求未知边

从勾股定理，我们知道

a^{2}+b^{2}=c^{2}.\,

回顾一下，c（上面的例子中的直径/斜边）被定义为长度为1，因此

b^{2}=1-a^{2}.\,

允许我们计算b平方长度。b平方可能是一个分数，例如1/4，我们可以找到一个有理平方根，在这个例子中是1/2，或者我们可以使用牛顿法找到b的近似值。

根据一边和一个（非直角）角求未知边

由于任何三角形都可以与我们的基本三角形（由直径为1的圆形成）进行比较，因此一个列出角度和边长之间关系的表格对于理解任何三角形的性质非常有用。但是，这样的表格在实践中会很笨拙，并且通常不需要知道确切的值。

当然，给定一个角度 $\theta$ ，我们可以使用尺规构造一个直角三角形，其中 $\theta \,$ 作为其中一个角，然后我们可以测量与a对应的边的长度来评估 $\cos$ 函数。这样的测量必然是不精确的；在物理学中，一个问题是看看这些测量能做到多精确；使用三角学，我们可以做出精确的预测，这些预测可以与这些物理测量的结果进行比较。

最常见的表达关系存在而不提供确切细节的方式是采用'函数'的形式。函数就像一个机器，它接受一些简单的输入并产生一些简单的输出。通常，函数定义某种规则（[函数])，并提供一个方便的符号，在三角学中很有用。这样，我们就知道我们正在使用某种关系，而不必知道确切的数值。基本三角函数只是三角形角度和边之间关系的替代品。

其中一个函数，可以让我们知道任意值之间的关系 $\theta \,$ 和其对应的值 $a\,$ 被称为余弦或 $\cos \,$ 。这种普遍的关系表示为： ${\frac {a}{c}}=\cos \theta$ ，这将免去我们构造角度和长度，并从中进行复杂推导的麻烦。

这意味着，如果你知道一个角度的余弦，你也知道边长之间的关系。三角形的实际大小可以更大或更小，但只要角度的大小保持不变，余弦所代表的数学关系就不会改变。

余弦示例

余弦函数的一些显式值是已知的。对于 $\theta \,=0$ ，边 $a\,$ 和 $c\,$ 重合： $a=c={\frac {a}{c}}=1$ ，所以 $\cos \left(0\right)=1$ 。对于 $\theta ={\frac {\pi }{2}}$ ，边 $b\,$ 和 $c\,$ 重合，长度为 1，边 $a\,$ 长度为零，因此 $a\,=0$ ， $c\,=1$ 。 ${\frac {a}{c}}=0$ 和 $\cos {\frac {\pi }{2}}=0$ 。

我们可以画的最简单的直角三角形是等腰直角三角形，它有一对大小为 ${\frac {\pi }{4}}$ 弧度的角，如果它的斜边被认为是长度为 1，那么边 $a\,$ 和 $b$ 的长度为 ${\sqrt {\frac {1}{2}}}$ ，这可以通过勾股定理来验证。如果边 $a\,$ 被选择为与包含直角三角形的圆的半径相同的长度，那么通过将直角三角形从圆的圆周分割到其中心而获得的右手等腰三角形是一个等边三角形，因此 $\theta$ 必须是 ${\frac {\pi }{3}}$ ，并且 $\phi$ 必须是 ${\frac {\pi }{6}}$ 并且 $b\,^{2}$ 必须是 $1-{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{2}}={\frac {3}{4}}$ .

余弦和正弦函数的性质

周期

完整的旋转是一个 2π 弧度的角，因此将一个角增加这个量会使你恰好回到你的起点。因此，完美的圆圈以及三角形内部形成的关系通过向任何角 θ 添加 2π 来保持。这被称为周期——角度的大小或关系开始重复的时间段（将两者联系起来很复杂，并且允许我们谈论波理论）。

使用函数，我们可以用余弦函数表示这个事实，即： $\cos \theta =\cos \left(\theta +2\pi n\right),\,$

了解正弦和余弦函数的周期（以及由此推导出的其他函数的周期）很有用，因为这意味着当我们知道周期相同时，我们可以用一个角替换另一个角。这在计算中很有帮助，例如当需要添加或减去角度时。

半角和倍角公式

我们可以根据 cos(θ) 推导出 cos(θ/2) 的公式，这使我们能够找到更多角度的 cos() 函数的值。要推导出公式，画一个等腰三角形，通过其角画一个圆，用半径连接圆的中心与等腰三角形的每个角，将半径通过等腰三角形的顶点延伸成圆的直径，并将直径与圆的另一侧相交的点与等腰三角形的其他角连接起来。

所以

$\cos(\theta /2)={\sqrt {\frac {1+\cos \theta }{2}}}$

这提供了一种根据原角度的 cos() 计算一半角度的 cos() 的方法。因此，* 被称为“余弦半角公式”。

半角公式可以应用于将新发现的角度分割，而该角度又可以无限次分割。当然，每次新的分割都涉及到对一个带有平方根的项求平方根，因此不建议将此作为计算 cos() 函数值的有效方法。

方程式 * 可以被反转以根据 cos(θ)/2 找到 cos(θ)

${\begin{matrix}&\cos(\theta /2)={\sqrt {\frac {1+\cos(\theta )}{2}}}\\\Rightarrow &\cos ^{2}(\theta /2)={\frac {1+\cos(\theta )}{2}}\\\Rightarrow &\cos ^{2}(\theta /2)-{\frac {1}{2}}={\frac {\cos(\theta )}{2}}\\\Rightarrow &2\cos ^{2}(\theta /2)-1=\cos(\theta )\\\end{matrix}}$

代入 $\delta \ ={\frac {\theta }{2}}$ 得到

$2\cos ^{2}(\delta )-1=\cos(2\delta )\,$

也就是说，这是根据原角度的 cos() 计算双倍角度的 cos() 的公式，被称为“余弦双角和公式”。

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