三角学/单位圆

单位圆是指一个圆心在原点 (0,0) 且半径为一个单位的圆。

角度总是从正 x 轴（也称为“右水平线”）测量。逆时针测量的角度具有正值；顺时针测量的角度具有负值。

用单位圆定义正弦和余弦

在所示的单位圆中，从原点到圆上的点 (x, y) 画了一条单位长度的半径。

通过点 (x, y) 画一条垂直于 x 轴的直线，它与 x 轴在横坐标为x的点相交。类似地，一条垂直于 y 轴的直线与 y 轴在纵坐标为y的点相交。x 轴和半径之间的角度为 $\alpha$ .

因此，我们可以说，角度的正弦是单位圆上该角度的点的纵坐标，角度的余弦是单位圆上该角度的点的横坐标。

我们将任何角度 $\alpha$ 的基本三角函数定义如下

${\begin{matrix}\mathrm {sine:} &\sin(\alpha )&=&y\\\mathrm {cosine:} &\cos(\alpha )&=&x\\\end{matrix}}$

$\tan(\theta )$ 可以用代数方法定义。

$\tan(\theta )={\frac {\sin(\theta )}{\cos(\theta )}}\qquad \cos(\theta )\neq 0$

$\tan(\alpha )={\frac {y}{x}}\qquad x\neq 0$

这三个三角函数可以用于度数或弧度测量的角度，只要指定计算三角函数时使用的是哪种单位。

其他定义

前一章使用Soh-Cah-Toa 定义三角函数。单位圆的优点是 θ 可以扩展到第一象限之外 $\left[0,{\frac {\pi }{2}}\right]$ ，这让我们可以在区间 $(-\infty ,\infty )$ 上定义这些函数。
如果将三角学应用于向量，那么如果圆的半径不等于单位，则会更加方便。例如，如果向量 A 的大小为 $A=\left|\mathbf {A} \right\vert$

${\begin{matrix}x=r\cos(\alpha )&\to &\mathbf {A} _{x}=\mathbf {A} \cos(\alpha )\\y=r\sin(\alpha )&\to &\mathbf {A} _{y}=\mathbf {A} \sin(\alpha )\\r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}&\to &\mathbf {A} ={\sqrt {\left(\mathbf {A} _{x}\right)^{2}+\left(\mathbf {A} _{y}\right)^{2}}}\\\end{matrix}}$

了解上述等式成立的原因非常重要。知道 $\cos(\alpha )={\frac {x}{r}}$ ， $r\cdot \cos(\alpha )=r\cdot {\frac {x}{r}}=x$ 。关于 $y$ 的定义也可以这样说。最后一行是勾股定理。

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正弦和余弦的一些值

下面是一个标记了某些精确值的单位圆

单位圆构成了大多数模拟时钟和计算机动画的基础，因为 cos 和 sin 对应于代表时钟指针的线段末端的 x 和 y 位置。

左边的单位圆标注了度数、弧度和单位圆上的坐标值。对于一个坐标值 $(x,y)$ ，如果沿着圆 ${\frac {\pi }{3}}$ 弧度逆时针行走，那么行走到的圆上的坐标值为 $\left({\frac {1}{2}},{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)$ 。

请记住，在单位圆上，从水平轴逆时针旋转的角度 $\theta$ 会得到 $\cos(\theta )=x$ 和 $\sin(\theta )=y$ 。弧度也是一样的。因此，对于单位圆上对应于 $(\cos(\theta ),\sin(\theta ))$ 的 $(x,y)$ ，当在余弦或正弦函数中代入 ${\frac {\pi }{3}}$ 弧度时，就是单位圆上的坐标值。也就是说

\left(\cos \left({\frac {\pi }{3}}\right),\sin \left({\frac {\pi }{3}}\right)\right)\to \left({\frac {1}{2}},{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)

，或者等效地

\left(\cos \left(60^{\circ }\right),\sin \left(60^{\circ }\right)\right)\to \left({\frac {1}{2}},{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)

单位圆对三角学的数学研究非常有用，因为它可以告诉你某些角度的精确值。稍后，你将学习如何在不需要依赖单位圆的特值（30、45、60 和 90）的情况下找到其他角度和弧度的比率。

花时间记忆单位圆上正弦和余弦的一些值是值得的（余弦等于 $x$ ，而正弦等于 $y$ ）。你至少应该熟悉 $0^{\circ },30^{\circ }45^{\circ },90^{\circ }$ 的值，并知道 ${\frac {\pi }{2}},\pi ,{\frac {3\pi }{2}},2\pi$ 在单位圆上的位置。

如果你在记忆这些值时遇到困难，这里有一些有用的提示和模式。尝试找出除了列出的内容之外的其他提示和模式。

单位圆上的坐标值 $(x,y)$ $(x,y)$ 的 ${\text{numerator}}$ ${\text{numerator}}$ 在 $x$ $x$ 坐标值从 ${\sqrt {3}}$ ${\sqrt {3}}$ (在 ${\frac {\pi }{6}}$ ${\frac {\pi }{6}}$ ) 减少到 ${\sqrt {1}}=1$ ${\sqrt {1}}=1$ (在 ${\frac {\pi }{3}}$ ${\frac {\pi }{3}}$ )。分母始终为 $2$ $2$ 。现在，看看我们的意思。暂时忽略 y 值。
- $\left({\frac {\sqrt {3}}{2}},\sin \left({\frac {\pi }{6}}\right)\right)$ , $\left({\frac {\sqrt {2}}{2}},\sin \left({\frac {\pi }{4}}\right)\right)$ , $\left({\frac {1}{2}},\sin \left({\frac {\pi }{3}}\right)\right)$ .
就像 $x$ $x$ -值坐标一样， $y$ $y$ -值坐标的分母也有规律。随着角度的增加，在 $30^{\circ }$ $30^{\circ }$ 和 $60^{\circ }$ $60^{\circ }$ (包含) 之间， ${\text{numerator}}$ ${\text{numerator}}$ 从 ${\sqrt {1}}=1$ ${\sqrt {1}}=1$ 在 $y$ $y$ -值坐标为 ${\frac {\pi }{6}}$ ${\frac {\pi }{6}}$ 增加到 ${\sqrt {3}}$ ${\sqrt {3}}$ 在 ${\frac {\pi }{3}}$ ${\frac {\pi }{3}}$ 。从上面的要点综合起来，可以得到以下规律
- $\left({\frac {\sqrt {3}}{2}},{\frac {1}{2}}\right)$ , $\left({\frac {\sqrt {2}}{2}},{\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)$ , $\left({\frac {1}{2}},{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)$ .
某些弧度值仅仅是其他弧度值的镜像。观察一下那些分母相同的弧度值，看看你是否能找到与你所看到的模式相对应的规律。