三角函数/相位与频率

频率

一些不同频率的波

这里是一些正弦曲线（即类似正弦的）图形。这些展示了具有不同频率的正弦波。频率向下移动时会增加。

波和光 在物理学中，光是一种波，光不同的频率会产生光谱中的不同颜色。 红光的频率比蓝光高还是低？ 在彩虹中，红色在彩虹的外面还是里面？双彩虹呢？（使用互联网） 无线电波的频率比光波高还是低？（使用互联网）

波和声音 在物理学中，声音是一种波。它在物理上与光不同，但它的振动仍然可以用正弦和余弦来描述。光是一种电磁波，而声音是一种涉及气压变化的波。这种差异是光能够穿过太空真空而声音不能的根本原因。 高音调的音符是高频声波。低音调的音符是低频声波。 找出人类和蝙蝠的最高可听频率。（使用互联网） 用你自己的话解释“赫兹”的含义，以及缩写 KHz 中的 K 是什么意思。 地震中的典型振动频率是多少？

正弦和余弦曲线

在上面这个图中，我们选择绘制波的顏色与频率无关。两个波的频率相同，但我们使用了不同的颜色。

请注意，在上面正弦和余弦的图中，这两个图具有相同的形状。如果我们将正弦曲线稍微向左滑动，它将与余弦曲线完全重合。使用用来描述正弦波的术语，它们具有相同的振幅，相同的频率和不同的相位。

定义

正弦波由三个参数表征：振幅、频率和相位。

• 振幅是指函数在 y 方向上从零变化的量，可以是正的，也可以是负的。
• 频率是指在 x 轴上的单位距离（通常测量时间）内波的完整周期数。
• 相位与比较两个相同频率的波有关。它是指一个波相对于另一个波在 x 轴上的偏移量（以度或弧度测量）。

这种术语来自声学工程，其中高频声音具有较高的音调，振幅较大的波会更响亮。

作为指定频率（单位距离内的周期数）的替代方案，我们可以改为指定波长，即一个周期的长度。频率越高，波长越短。频率越低，波长越长。

您可以在页面顶部的不同频率的波图中进行检查。

更详细地

要完全理解以下每个定义之间的关系，请查看函数 $f(t)=4\sin \left({\frac {\pi }{6}}t\right)+40$ 的图形（下方左侧）。对于表示 (a)-(b) 的图形，请阅读相应的定义。

绘制的图形由 Desmos 在线绘图计算器提供。

振幅

振幅是波相对于正弦轴值 $c$ 的最大变化量，$c$ 是函数被函数最大值和最小值范围的平均值 ${\frac {y_{max}+y_{min}}{2}}$ 偏移的量。振幅来自两个不同的位置：最大值减去 $c$ 或最小值减去 $c$。取值的正值（绝对值）。请查看下面的数据示例。

$${\begin{array}{|c|c|}x&g(x)\\\hline 0&20\\\hline 2&0\\\hline 4&-20\\\hline 6&0\\\hline 8&20\\\hline \vdots &\vdots \end{array}}\!$$

目前，让我们先不用担心为这组数据找到函数。相反，重点是找到振幅。最大$y$-值为$y_{max}=20$。最小$y$-值为$y_{min}=-20$。因此，${\frac {20+(-20)}{2}}={\frac {0}{2}}=0$。最大差异来自两个不同的位置：最大值减去正弦轴值或最小值减去正弦轴值。在本例中，我们将选择使用最大值与正弦轴值之间的差，即$20-0=20$。因此，上述数据的振幅为$20$。

一般来说，对于$\sin(b\theta )+c$ 和 $\cos(b\theta )+c$（其中$b>0$）振幅为1。对于$a\sin(b\theta )+c$ 和 $a\cos(b\theta )+c$（其中$a>0$ 且 $b>0$）振幅为$a$。最大值与最小值之间的差称为双振幅或峰峰值振幅。知道了这一点，要根据范围的最大值和最小值找到振幅，方法是取两者的差，然后除以2。

$a={\frac {y_{max}-y_{min}}{2}}$.

频率

频率（有时用 $f$) 表示在一个标准距离或时间内，波浪经过的周期数。 如果这个标准距离是 $360^{\circ }$ 或 $2\pi$ 弧度，则 $\sin(\theta )$ 和 $\cos(\theta )$ 的频率为 $1$，而 $\sin(b\theta )$ 和 $\cos(b\theta )$ 的频率为 $b$。高频波形的图形在相同的水平跨度内显示出比低频波形更完整的周期。 注意 $b$ 是频率值，$f$，因此 $b=f$。

波长（或周期），$\lambda$，随着频率的增加而减小。 从数学上讲，这种关系可以写成 $\lambda \propto {\frac {1}{f}}$（波长与频率成反比）。 它是一个完整周期发生的距离，即波浪从 $c$ 到其最大正值，再回到 $c$，再下降到最低负值，然后再次回到 $c$。

函数 $\sin(\theta )$ 和 $\cos(\theta )$ 随着角度增加 $360^{\circ }$ 或 $2\pi$ 弧度，都会经历一个完整的周期，因此这是波长。函数 $\sin(b\theta )$ 和 $\cos(b\theta )$（其中 $b$ 是任何正数）随着角度 $\theta$ 增加 ${\frac {360^{\circ }}{b}}$ 或 ${\frac {2\pi }{b}}$ 经历一个周期，因此它们的波长 $\lambda ={\frac {360^{\circ }}{|b|}}$ 或 $\lambda ={\frac {2\pi }{|b|}}$ 。这是有道理的，因为如果 $b=f$ 且 $\lambda ={\frac {2\pi }{|b|}}$ ，则 $\lambda \propto {\frac {1}{b}}$ 。

最后，利用波长，可以直接找到频率。如果 $\lambda ={\frac {2\pi }{|b|}}$ ，那么

$\Rightarrow \lambda \times {\frac {1}{\lambda }}\times b={\frac {2\pi }{b}}\times b\times {\frac {1}{\lambda }}$

$\Rightarrow b={\frac {2\pi }{\lambda }}$

相位移

相位是指在任何给定点上已完成的循环的比例。如果未指定点，则可以假设为 0°。循环的开始是波形为 0 且从负值变为正值的位置。（如果波形不是正弦曲线，则一个完整的循环中可能有多个这样的点，因此起点可能是任意的。）对于 $\sin(\theta )$，0° 的相位为 0；对于 $\cos(\theta )$，则为 ¼。如果循环的波长为 $360^{\circ }$ 或 $2\pi$ 弧度，相位通常表示为对应于给定波长比例的角，因此 $\cos(\theta )$ 在 0° 的相位为 $90^{\circ }$ 或 ${\tfrac {\pi }{2}}$ 弧度。

假定波形的平均值为 0。如果波形为 $\sin(\theta )+4$ 或 $2\pi$，它从不为 0，因此为了定义相位，我们需要波形达到其平均值（在本例中为 4）的点。

示例

较大振幅 $10\cos(\theta )$ 的振幅是 $\displaystyle \cos \theta$ 的十倍。 图形在 y 轴上在 10 和 -10 之间振荡。

较高频率 $\cos(100\theta )$ 的频率高于 $\cos(\theta )$ 在 x 轴上的相同距离内，将有 100 倍的循环。振幅保持不变。 波长也减小了。x 轴上完成一个循环的距离是之前的百分之一。

不同的相位 $\sin(\theta )$ 与 $\cos(\theta )$ 处于不同的相位。相位差为 90°，因为 $\sin(\theta +90^{\circ })=\cos(\theta )$。如果两个波形相位相差 180°，那么当一个波形为正时，另一个波形具有相同的值，只是符号为负。 $-\sin(\theta )$ 与 $\sin(\theta )$ 相位相差 180°。

偏移

两个正弦波可能也具有不同的偏移，即它们的平均值不同，但它们仍然具有相同的形状。它们的图形相对于彼此沿 y 轴平移。在音频工程中，这被称为 **直流偏置**。

不同的偏移 $1+\cos(\theta )$ 与 $\cos(\theta )$ 具有不同的偏移。而 $\cos(\theta )$ 取正值和负值，$1+\cos(\theta )$ 永远不会低于 0。

此偏移基于 **垂直位移**，也称为 **正弦轴值**。请注意，与其他函数不同，此垂直位移 **不** 表示 y 轴截距。正确确定 y 轴截距的唯一方法是将零代入函数。快速问答：$\cos(0)$ 等于多少？如果你忘记了，它是 $1$。因此，$f(\theta )=1+\cos(\theta )$ 的 y 轴截距为 $f(0)=1+\cos(0)=1+1=2$。

图形及其差异

对两个不同项目进行比较和对比，一开始对学生来说可能似乎是一项毫无意义的任务。但是，此类活动的目的是让学生分析信息并帮助巩固对两种想法的差异的理解。这里，学生必须理解余弦和正弦之间的差异，否则，学生将无法正确地对情况进行建模！虽然这本维基教科书不会让学生自己分析这两个函数，但记住它们之间的差异是一个好主意。

母函数

正弦曲线和余弦曲线都在周期 ($\lambda =2\pi$ 上绘制，频率为 $f=1$）。

上图显示了正弦和余弦函数，其中 $0\leq x\leq 2\pi$. 请注意，这两个函数的频率和周期都是相同的。鉴于它们也是母函数，所以垂直位移为零。然而，相似之处到此为止。首先，观察一下函数的模式。在 $\lambda =2\pi$ 内，周期函数 $\sin(x)$ 遵循“中间”、“顶部”、“中间”、“底部”、“中间”的基本模式。也就是说，$f(x)=\sin(x)$ 的值从 $f(0)=0$ 开始。但是，$f\left({\frac {\pi }{2}}\right)=1$。当观察正值时，这是正弦的最高可能值，因为当 $\theta ={\frac {\pi }{2}}$ 时，单位圆是顶峰的。在 $x=\pi$，$f\left(\pi \right)=0$。这再次与单位圆有关。如果你还记得你在圆中发现的模式（甚至单位圆本身），你可以推断出$f(x)=\sin(x)$ 会是什么样子。范围的最小值在 $-1$，正是因为这个原因。因此，我们识别的模式始终是正确的。

相比之下，余弦函数遵循一个更简单的模式。对于 $g(x)=\cos(x)$，你已经从最大值开始，因为 $g(0)=\cos(0)=1$ 是圆上最大的 $x$ 值，而 $g\left(\pi \right)=\cos \left(\pi \right)=-1$ 是圆上最小的 $x$ 值。由于单位圆，因此产生了简单的模式：“最大”、“中等”、“最小”、“中等”、“最大”。

上面提到的模式是你应该牢记的东西。这些模式是人们可以轻松识别何时使用一个特定函数而不是另一个函数的主要方法。当应用相移时，选择使用余弦函数还是正弦函数最好留给学生的判断。

从我们目前掌握的信息来看，我们得到了以下信息

• 垂直位移 $c={\frac {y_{max}+y_{min}}{2}}={\frac {1+(-1)}{2}}={\frac {0}{2}}=0$。
• 振幅 $a={\frac {y_{max}-y_{min}}{2}}={\frac {1-(-1)}{2}}={\frac {2}{2}}=1$。
• 频率 $b={\frac {2\pi }{\lambda }}={\frac {2\pi }{2\pi }}=1$。

正弦函数的一般形式为

$$A\sin(B(x-D))+C$$

• 正弦可以替换为余弦，效果相同。
• $A$ 是振幅。
• $B$ 是频率。
• $C$ 是垂直位移（正弦轴值）。
• $D$ 是相位（水平）位移。

我们已经描述了余弦和正弦函数的一般模式。但是，重要的是要退一步，欣赏余弦和正弦曲线所依赖的底层数学，即单位圆。虽然这些函数很漂亮，但它们背后的数学原理，即为什么这些函数以这种方式运行，才是这种美丽的根本原因，从某种意义上说，比最终结果更美。

画两个半径分别为 $r$ 和 $R$ 的圆，圆心在原点，其中 $r<R$。如果从原点延伸的一条线在角度 $\theta$ 处到达每个圆的端点，那么 $\cos \theta ={\frac {x_{1}}{r}}$，并且 $\cos \theta ={\frac {x_{2}}{R}}$。因此，

• $x_{1}=r\cos \theta$
• $x_{2}=R\cos \theta$

因为 $\cos \theta$ 直接乘以 $r$ 或 $R$，对于 $r<R$，$r\cos \theta <R\cos \theta$。

令 $f(\theta )=r\cos \theta$，$g(\theta )=R\cos \theta$，以及 $r=1$。因为我们知道如何绘制 $f(\theta )=\cos \theta$，$R$ 直接乘以 $\cos \theta$，以及 $g(\theta )=Rf(\theta )$，结果函数必须在 $y$ 轴上“扩展”。这种扩展必须与函数的振幅相关，因为 $Ry_{max}$ 和 $Ry_{min}$ 给出 ${\frac {Ry_{max}-Ry_{min}}{2}}={\frac {R\left(y_{max}-y_{min}\right)}{2}}=R\cdot {\frac {y_{max}-y_{min}}{2}}=Ra=R$。（回顾 $a=1$）。

• 函数的振幅由圆的半径给出。
• 改变圆的半径不会改变频率、垂直位移或相移。（练习：证明这至少对频率和垂直位移是正确的。）

这个结果在以后解决问题时会很有用。

截至目前，增加半径是我们能将这些正弦函数与圆形联系起来的唯一方法。我们需要更多地了解加法等概念，才能理解这个数学的美丽之处。但是，始终记住这个结果。

建模情况

正弦函数在现实生活中应用广泛，这些周期（重复）函数可以模拟在一定时间内遵循模式的情况，例如模拟日照时间、行星运动、声波、能量波等。

鱼的长度 海洋生物学家确定了池塘中 $N=50,000$ 条鱼的平均长度（以毫米计）取决于时间（以年计）。下表显示了平均长度随时间变化的关系，其中 $t$ 表示时间（以年计），$l(t)$ 表示鱼的平均长度（以毫米计）。求出最能拟合这些数据的正弦函数。 $${\begin{array}{|c|c|}t&l(t)\\\hline 0&44\\\hline 3&40\\\hline 6&36\\\hline 9&40\\\hline 12&44\\\hline \vdots &\vdots \end{array}}\!$$ 已知该情况具有周期性和正弦性。因此，最好使用正弦函数及其性质：$a{\text{ trig}}(b(x+d))+c$. 求出垂直位移，$c$。回想一下，$c={\frac {y_{max}+y_{min}}{2}}$。根据表格，最大 y 值为 44，最小值为 36。因此，垂直位移为 ${\frac {44+36}{2}}=40$ 求出振幅，$a$。回想一下，$a={\frac {y_{max}-y_{min}}{2}}$。根据表格，最大 y 值为 44，最小值为 36。因此，振幅为 ${\frac {44-36}{2}}=4$ 求出频率，$b$。回想一下，$b={\frac {2\pi }{\lambda }}$。如果波长是完成一个循环所需的距离，那么从 $t=0{\text{ sec}}$ 到 $t=12{\text{ sec}}$，循环完成。因此，$\lambda =12-0=12$。根据这些信息， $b={\frac {2\pi }{12}}={\frac {\pi }{6}}$ 现在，让我们忽略相移，$d$. 将我们已经知道的信息代入上面的函数：$4{\text{ trig}}\left({\frac {\pi }{6}}t\right)+40$. 回想一下，一个在波长内（从最大值到中间值到最小值再到中间值到最大值）最大值再次出现的正弦函数是余弦函数。因此$4\cos \left({\frac {\pi }{6}}t\right)+40$ 足够地模拟了这种情况。 等价地，假设我们希望保持它在正弦函数方面，我们知道以下为真 $\cos \left(\theta \right)=\sin \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)=\sin \left({\frac {\pi }{2}}+\theta \right)=-\sin \left(\theta -{\frac {\pi }{2}}\right)$ 因此，$4\cos \left({\frac {\pi }{6}}t\right)+40=4\sin \left({\frac {\pi }{6}}\left({\frac {\pi }{2}}-t\right)\right)+40=4\sin \left({\frac {\pi }{6}}\left({\frac {\pi }{2}}+t\right)\right)+40=-4\sin \left({\frac {\pi }{6}}\left(t-{\frac {\pi }{2}}\right)\right)+40$.

上面的问题与其他类似问题相比要容易得多。在现实世界中，由于两个因素，您不太可能看到鱼长持续增加或减少

• 进化：体型更大的鱼通常被视为捕食者，常常被避开。体型更小的鱼更有可能被视为更弱。
• 内部竞争：雌性之间的体型差异可能被视为更理想的交配对象，因此更有可能将具有这些特征的后代遗传下去。因此，雌性之间可能存在为了理想伴侣的竞争。

人们可能会有很多疑问：上面问题中的圆在哪里？为什么使用弧度而不是度数？. 有一些原因，但这需要我们更深入地研究通常被认为是高级数学的数学（极坐标）。不幸的是，第一本书不会深入探讨这个话题。但是，对于那些好奇的人来说，第三本书将包含极坐标，全面解释这种行为。