三角学/弧度

在
一个完整的圆圈中

测量单位

我们一直用度来测量角度，一个完整的圆圈中是 $360^{\circ }$。但是，如果我们根据绕圆圈的单位数来测量圆圈呢？这样想，您是根据圆心处的度数还是圆圈周围的米数来测量跑步者绕圆形跑道跑的距离？显而易见的答案是圆圈周围的米数。但是，如何在三角学中测量它呢？

长度和重量单位的选择

在测量许多量时，我们可以选择单位。例如，在测量距离时，我们可以使用公制系统并以米、千米、厘米、毫米为单位。也可以以英里、码、英尺和英寸为单位测量距离。在测量重量时，我们可以使用公斤和克。我们也可以使用磅和盎司作为单位。

时间测量单位的选择

在测量时间时，我们选择将一分钟分为 60 秒，将一小时分为 60 分钟。我们可以设计一个新的更公制的计时系统，将一小时分为 100 个单位，每个单位是我们当前时间的五分之三，然后将这些较短的“分钟”分为 100 个单位，每个单位大约是三分之一秒。

为什么是 60？为什么是 360？

将角度分为 60 的选择并非完全是任意的。60 可以被 2、3、4、5 或 6 或 10 或 12 均匀地整除。60 不能被 7 整除，每个部分都是一个整数，但仍然很好。在整个圆圈中使用 360 度，我们可以用整数度数将圆圈均匀地分成许多部分。不过，我们可以将圆圈分成其他单位数。

公制角度？

从早些时候关于公制系统的讨论中，您可能在预料我们会将圆圈分为 100 或 1000 个“度”。事实上，确实有一个叫做“梯度”或“度分”的单位（在带有该单位的计算器上写成 Grad），角度是通过将直角分成 100 个相等的部分来测量的，每个部分为 1 梯度。1 梯度等于 0.9 度——非常接近 1 度。梯度又分为 100 分，1 分又分为 100 秒。这种百分制系统（源自拉丁语centum，意思是 100）是在法国大革命后作为公制系统的一部分引入的。梯度单位的使用远不如度或本页最感兴趣的单位广泛。我们这里介绍的单位叫做弧度。

弧度是从
点到$\left(x,0\right)$的圆周长度。

弧度单位的选择

与度数（和梯度）相比，弧度相当大。整个圆圈大约有 6.28 弧度。1 弧度大约有 57.3 度。

练习：检查语句 语句 整个圆圈大约有 6.28 弧度。 1 弧度大约有 57.3 度。 是否兼容？这并不难检查。 旁白：在数学书籍中，快速检查可以轻松检查的语句非常值得。这有助于加强您的理解并确认您理解了所述内容。此外，不幸的是，数学书籍中出现小错误并不罕见，例如，作者可能会写$x_{i}$ 而不是$x_{j}$ 或者其他一些小错误。这些错误往往发生在作者非常了解材料，看到的是他预期看到的内容，而不是实际写的内容。对于初学者来说，这些错误可能非常令人困惑。这些错误也可能发生在维基教科书中，有时，试图改进内容的访问者实际上会引入错误。在维基教科书中，您还可能看到符号突然发生变化，或者符号与图表不匹配，这是因为不同的人编写了不同的材料。

我们说“整个圆圈大约有 6.28 弧度”。确切的数字是$2\pi$，使整个圆圈中的弧度数与单位圆的周长相等。

记住

圆的周长是
$2\pi \times R$
其中 $R$ 是半径。

弧度单位选择的合理性

在解释三角函数的这个阶段，很难解释使用这些奇怪单位的原因。甚至在一个完整的圆里，也没有一个精确的弧度整数。在更高级的工作中，特别是当我们使用微积分时，它们对于角度函数来说是最自然的单位，例如 $\cos(\alpha )$ 和 $\sin(\alpha )$。 对于非常小的角度，我们可以得到一个这样的结论，但这仅仅是一个提示，说明为什么它是使用的良好单位。

$\sin(\alpha )\approx \alpha$

并且当角度越小时，近似值越好。这 *只有在我们将弧度作为测量单位* 并且角度非常小时才成立。

工作示例：弧度和角度的小角度 我们声称，对于用弧度测量的小角度，角度值和角度的正弦值非常相似。 让我们取圆的百万分之一。用度数表示为 0.00036 度。用弧度表示为 ${\frac {2\pi }{1,000,000}}\approx 0.00000628$ 弧度。当然，角度是相同的。无论我们选择用什么单位来测量它，它都是圆的百万分之一。就像重量一样，无论我们是用公斤还是磅来测量，重量都是一样的。 这个角度的正弦值，无论我们选择用度数还是弧度来测量角度，它都是一样的，结果大约为 0.00000628。如果你的计算器设置为使用度数，那么 $\sin(0.00036^{\circ })$ 会给出这个答案。

弧度制

在一个完整的圆里，有
$2\pi$ 弧度
。

传统上用度数来测量角度，一个完整的圆周有 360 度。在数学上更高级的工作中，我们使用不同的单位，即 弧度。 这不会造成根本性的区别，就像物理定律不会因为你用米而不是英寸来测量长度而改变一样。 在高级工作中，**如果没有给出角度值的单位，则默认角度为弧度。**

${\frac {3\pi }{2}}^{c}\equiv {\frac {3\pi }{2}}{\rm {rad.}}\equiv {\frac {3\pi }{2}}$

为了清楚地表明角度是使用弧度测量的，可以使用在角度后面添加“弧度”或“rad”。 偶尔你可能会看到一个上标 c 写在所讨论的角度上面。

你需要知道的

对于三角函数的第一本书，你需要知道如何将度数转换为弧度，以及将弧度转换为度数。 你还需要熟悉常见的角度，例如 $90^{\circ }$，用弧度来表示也是（它是 ${\frac {\pi }{2}}$ 弧度）。 弧度通常用 Pi 的倍数来表示。

你还需要熟悉将你的计算器在度数模式和弧度模式之间切换。

关于角度的所有内容，例如三角形内角之和为 180 度，在弧度中都有等效的表达。 三角形内角之和为 $\pi$ 弧度。

弧度定义

弧度定义为圆的圆心角，当圆心角所对的弧长等于圆的半径时，该圆心角的弧度为1弧度。

用单位圆定义弧度。

$1{\rm {rad}}\approx 57.296^{\circ }$

用弧度测量角度

角度的弧度值等于圆弧长 s 除以圆的半径 r。

${\text{angle in radians}}={\frac {s}{r}}$

用弧度测量角度

我们知道圆的周长等于 $2\pi r$ , 因此，圆心角为一个完整的逆时针旋转时，其所对的圆弧长（或周长）为 $s=2\pi r$ 。因此 $2\pi$ 弧度对应于 $360^{\circ }$ ，也就是说，一个圆中有 $2\pi$ 弧度。

弧度和角度之间的转换

因为一个圆中有 $2\pi$ 弧度

将角度转换为弧度
$\theta ^{c}=\theta ^{\circ }\times {\frac {\pi }{180}}$

将弧度转换为角度
$\phi ^{\circ }=\phi ^{c}\times {\frac {180}{\pi }}$

练习

将角度转换为弧度 转换 $180^{\circ }$ 为弧度制。 $90^{\circ }$ 为弧度制。 $90^{\circ }$ 为弧度制。 $137^{\circ }$ 为弧度制。

将弧度转换为角度 转换 ${\frac {\pi }{3}}$ 为角度制。 ${\frac {\pi }{6}}$ 为角度制。 ${\frac {7\pi }{3}}$ 为角度制。 ${\frac {3\pi }{4}}$ 为角度制。