三角学/单位圆

单位圆是一个圆，其圆心在原点 (0,0)，半径为一个单位。

角度始终从正 x 轴（也称为“右水平线”）测量。逆时针方向测量的角度具有正值；顺时针方向测量的角度具有负值。

用单位圆定义正弦和余弦

在所示的单位圆中，从原点到圆上的点 (x, y) 绘制了一条长度为一个单位的半径。

通过点 (x, y) 绘制一条垂直于 x 轴的线，与 x 轴相交于具有横坐标 x 的点。类似地，垂直于 y 轴的线与 y 轴相交于具有纵坐标 y 的点。x 轴与半径之间的角度为 $\alpha$ .

因此，我们可以说角度的正弦是单位圆上该角度点的纵坐标，角度的余弦是单位圆上该角度点的横坐标。

我们定义任何角度 $\alpha$ 的基本三角函数如下

${\begin{matrix}\mathrm {sine:} &\sin(\alpha )&=&y\\\mathrm {cosine:} &\cos(\alpha )&=&x\\\end{matrix}}$

$\tan(\theta )$ 可以用代数定义。

$\tan(\theta )={\frac {\sin(\theta )}{\cos(\theta )}}\qquad \cos(\theta )\neq 0$

$\tan(\alpha )={\frac {y}{x}}\qquad x\neq 0$

这三种三角函数可以用于度数或弧度测量的角度，只要在从角度计算三角函数或反之时指定哪种。

替代定义

前一章使用Soh-Cah-Toa 来定义三角函数。单位圆的优点是 θ 可以扩展到第一象限之外 $\left[0,{\frac {\pi }{2}}\right]$ ，这使我们能够在间隔 $(-\infty ,\infty )$ 上定义这些函数。
如果将三角学应用于向量，如果圆的半径不等于单位，则更方便。例如，如果向量 A 的大小为 $A=\left|\mathbf {A} \right\vert$

${\begin{matrix}x=r\cos(\alpha )&\to &\mathbf {A} _{x}=\mathbf {A} \cos(\alpha )\\y=r\sin(\alpha )&\to &\mathbf {A} _{y}=\mathbf {A} \sin(\alpha )\\r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}&\to &\mathbf {A} ={\sqrt {\left(\mathbf {A} _{x}\right)^{2}+\left(\mathbf {A} _{y}\right)^{2}}}\\\end{matrix}}$

了解上述等式成立的原因非常重要。已知 $\cos(\alpha )={\frac {x}{r}}$ ，则 $r\cdot \cos(\alpha )=r\cdot {\frac {x}{r}}=x$ 。对于 $y$ 的定义，也可以用同样的方式解释。最后一行是勾股定理。

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正弦和余弦的一些值

下面是一个在上面标有某些精确值的单位圆：

单位圆构成了大多数模拟时钟和计算机动画的基础，因为余弦和正弦对应于代表时钟指针的线段末端的 x 和 y 位置。

左侧的单位圆显示了单位圆上的度数、弧度和坐标值。对于坐标值 $(x,y)$ ，如果沿圆逆时针方向行走 ${\frac {\pi }{3}}$ 弧度，则行走至圆上的坐标值为 $\left({\frac {1}{2}},{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)$ 。

请记住，在单位圆中，从水平轴逆时针方向的角 $\theta$ 给出 $\cos(\theta )=x$ 和 $\sin(\theta )=y$ 。弧度也是如此。因此，对于单位圆上对应于 $(\cos(\theta ),\sin(\theta ))$ 的 $(x,y)$ ，当代入余弦或正弦函数时， ${\frac {\pi }{3}}$ 弧度是单位圆上的坐标值。也就是说

\left(\cos \left({\frac {\pi }{3}}\right),\sin \left({\frac {\pi }{3}}\right)\right)\to \left({\frac {1}{2}},{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)

，或者等效地，

\left(\cos \left(60^{\circ }\right),\sin \left(60^{\circ }\right)\right)\to \left({\frac {1}{2}},{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)

单位圆在三角函数的数学研究中非常有用，因为它告诉您某些角的精确值。稍后，您将学习如何在不需要依赖单位圆的特殊值（30、45、60 和 90）的情况下找到其他角度和弧度的比率。

花时间记忆单位圆上正弦和余弦的一些值是值得的（余弦等于 $x$ ，而正弦等于 $y$ ）。您至少应该熟悉 $0^{\circ },30^{\circ }45^{\circ },90^{\circ }$ 的值，并了解 ${\frac {\pi }{2}},\pi ,{\frac {3\pi }{2}},2\pi$ 在单位圆上的位置。

如果您在记忆这些值方面遇到困难，这里有一些有用的提示和模式。尝试找到一些除上面列出的以外的值。

单位圆上坐标值 $(x,y)$ $(x,y)$ 的 ${\text{numerator}}$ ${\text{numerator}}$ 从 ${\sqrt {3}}$ ${\sqrt {3}}$ 在 $x$ $x$ 坐标值为 ${\frac {\pi }{6}}$ ${\frac {\pi }{6}}$ 时减小到 ${\sqrt {1}}=1$ ${\sqrt {1}}=1$ 在 ${\frac {\pi }{3}}$ ${\frac {\pi }{3}}$ 时。分母始终为 $2$ $2$ 。现在，看看我们是什么意思。暂时忽略 y 值。
- $\left({\frac {\sqrt {3}}{2}},\sin \left({\frac {\pi }{6}}\right)\right)$ ， $\left({\frac {\sqrt {2}}{2}},\sin \left({\frac {\pi }{4}}\right)\right)$ ， $\left({\frac {1}{2}},\sin \left({\frac {\pi }{3}}\right)\right)$ 。
类似于 $x$ $x$ -值坐标， $y$ $y$ -值坐标的分子也有规律。随着角度的增大，在 $30^{\circ }$ $30^{\circ }$ 和 $60^{\circ }$ $60^{\circ }$ （包括）之间， ${\text{numerator}}$ ${\text{numerator}}$ 从 ${\sqrt {1}}=1$ ${\sqrt {1}}=1$ 在 $y$ $y$ -值坐标上的 ${\frac {\pi }{6}}$ ${\frac {\pi }{6}}$ 增加到 ${\sqrt {3}}$ ${\sqrt {3}}$ 在 ${\frac {\pi }{3}}$ ${\frac {\pi }{3}}$ 。从上面的要点来看，你将得到以下模式
- $\left({\frac {\sqrt {3}}{2}},{\frac {1}{2}}\right)$ , $\left({\frac {\sqrt {2}}{2}},{\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)$ , $\left({\frac {1}{2}},{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)$ .
某些弧度值只是其他值的反射。看一下具有相同分母的值，看看你是否能将任何模式与你所看到的对应起来。