三角学/正弦平方加余弦平方

$\sin ^{2}(\theta )+\cos ^{2}(\theta )=1$

伪装的毕达哥拉斯

这个公式是伪装的毕达哥拉斯定理。

$\sin ^{2}(\theta )+\cos ^{2}(\theta )=1$

如果你看一下下一部分的图表，它应该很清楚原因。一个直角三角形的斜边为单位长度，则该三角形角度为 $\theta$ 的正弦和余弦只是两条较短边的长度。所以将它们平方并相加得到斜边的平方，即 1 的平方，即 1。

毕达哥拉斯三角恒等式

显示角度 θ 的正弦和余弦的相似直角三角形

更详细地说......在一个边长为 $a,b$，斜边为 $c$ 的直角三角形中，三角学 (Soh-Cah-Toa) 确定了边 $a$ 和斜边之间的角度 $\theta$ 的正弦和余弦为

$\sin(\theta )={\frac {b}{c}}\,\ \quad \cos(\theta )={\frac {a}{c}}$

由此得出

$\sin ^{2}(\theta )+\cos ^{2}(\theta )={\frac {b^{2}+a^{2}}{c^{2}}}=1$

其中最后一步应用了毕达哥拉斯定理。正弦和余弦之间的这种关系有时被称为基本毕达哥拉斯三角恒等式。 在相似三角形中，边的比率是相同的，无论三角形的大小如何，并且取决于角度。因此，在图中，斜边为单位长度的三角形的对边长度为 $\sin(\theta )$，邻边长度为 $\cos(\theta )$，以斜边为单位。

正弦和余弦都不会超过 1，并且其中一个越接近 1，另一个就必须越接近 0。我们可以从两个方面看到这一点

• 它直接从公式中得出。当正弦平方或余弦平方越接近 1 时，留给另一个的值就会减少。
• 从几何上可以看出。斜边是 1，并且比其他两条边都长。当一条边越接近 1 时，另一条边就必须越接近 0。

使用公式

如果 $\sin \left(30^{\circ }\right)=0.5$，那么 $\cos \left(30^{\circ }\right)$ 等于多少？ 根据毕达哥拉斯恒等式， $\sin ^{2}(30^{\circ })+\cos ^{2}(30^{\circ })=1$ 如果 $\sin(30^{\circ })=0.5$，那么 $(0.5)^{2}+\cos ^{2}(30^{\circ })=1$ 求解 $\cos \left(30^{\circ }\right)$，在等式两边同时加上 $-\left(0.5\right)^{2}$，得到 $\cos ^{2}(30^{\circ })=1-(0.5)^{2}=0.75$ ${\sqrt {\cos ^{2}(30^{\circ })}}=\pm \cos(30^{\circ })=\pm {\sqrt {0.75}}\approx 0.866$ 在最后一步，我们需要在 $0.866$ 和 $-0.866$ 之间做出选择。我们选择正值，因为从三角形中可以看出，$\cos \left(30^{\circ }\right)$ 是正数。

这个公式和圆

在之前的练习中，我们要求你绘制点 ${\big (}\cos(t),\sin(t){\big )}$，你应该得到一个圆 - 嗯，你应该是这样做的。

对于你绘制的每个点，都有一个直角三角形，其坐标为 $(0,0),{\big (}\cos(t),0{\big )},{\big (}\cos(t),\sin(t){\big )}$。

该三角形的斜边是从 $(0,0)$ 到 ${\big (}\cos(t),\sin(t){\big )}$ 的线。斜边的平方长度为 $\sin ^{2}(t)+\cos ^{2}(t)$ ，因为这个值是 1，所以斜边长度为 1。因此，你绘制的每个点都距离点 $(0,0)$ 1 个单位，这就是所有点都位于半径为 1、中心为 $(0,0)$ 的圆上的必要条件。

事实上，你绘制的点都满足 $x^{2}+y^{2}=1$ 。这是因为 $x=\cos(t)$ 并且 $y=\sin(t)$ 。如果你绘制的是满足 $x^{2}+y^{2}=R^{2}$ 的点，你会得到一个半径为 $R$ 的圆。

修正

修正：以下哪些说法是正确的？ 修正 斜边是三角形中最长的边。 直角三角形中的斜边与直角相对。 斜边是三角形中最短的边。 正弦 x 总是大于余弦 x。 余弦 x 总是大于正弦 x。 余弦 x 总是 1 或更大。 圆的半径 '$R$' 由 SOH-CAH-TOA 给出。余弦 x 总是大于正弦 x。 单位圆的半径始终为 1。 边长为 4 米、5 米和 6 米的三角形与边长为 4 厘米、5 厘米、6 厘米的三角形是 *全等* 的。 $1=\sin ^{2}(\theta )+\cos ^{2}(\theta )$ $\sin ^{2}(\theta )=1-\cos ^{2}(\theta )$ $\cos ^{2}(\theta )=1-\sin ^{2}(\theta )$