直角三角形的构造

直角三角形很容易构建。回想一下，直径是一条直线，从圆周上的一个点开始，穿过圆心到达圆周的另一侧。利用圆的这个性质

构建一个圆的直径。将直径与圆周接触的点标记为a和c。
在圆周上选择一个不同的点b（任何不是a或c的点）。
构建连接点a、b和c的线段。

如果遵循上述三个步骤，得到的三角形Δabc将是一个直角三角形。这个结果被称为泰勒斯定理。

通过从b到圆心的添加一条线段，可以将这个直角三角形进一步划分为两个等腰三角形。

为了简化接下来的讨论，我们规定圆的直径为1，并且圆的朝向使得上面画的直径从左到右。我们将三角形右侧的角记为θ，左侧的角记为φ。直角三角形的边将从右侧开始依次标记为a, b, c，使得a为最右侧的边，c为最左侧的边，b为直径。我们早先知道边b与直角相对，称为斜边。边a与角φ相对，而边c与角θ相对。我们重申，直径，现在称为b，将被假定为长度为1，除非另有说明。

通过在直径穿过圆周的点之一处构建与直径垂直的直角，然后使用前面概述的方法产生直角的二进制分数，我们可以构建其中一个角，例如θ，作为已知测量的角度，介于0和π / 2之间。另一个角φ的测量值为π - π/2 - θ = π/2 - θ，即角θ的余角。同样，我们可以将圆的直径平分，产生长度为直径长度的二进制分数。使用圆规，直径的二进制分数长度可以用来构建边a（或c），使其具有已知大小（相对于直径b），从而可以构建边c。

使用直角三角形查找未知边

从两条边查找未知边

根据勾股定理，我们知道

a^{2}+b^{2}=c^{2}.\,

回想一下，c（上面的示例中的直径/斜边）被定义为长度为1，因此

b^{2}=1-a^{2}.\,

允许我们计算b平方长度。b平方可能是一个分数，例如1/4，可以找到其有理平方根，在本例中为1/2，或者，我们可以使用牛顿法找到b的近似值。

从一条边和一个（非直角）角查找未知边

由于任何三角形都可以与我们基本的三角形（由直径为1的圆形成）进行比较，因此一个枚举角度和边长之间关系的表格对于理解任何三角形的性质将非常有用。然而，这样的表格在实践中将非常笨重，而且通常没有必要知道确切的值。

当然，给定一个角度 $\theta$ ，我们可以使用尺规构建一个直角三角形，其中 $\theta \,$ 是它的一个角，然后我们可以测量与a对应的边的长度来评估 $\cos$ 函数。这样的测量必然是不精确的；在物理学中，一个问题是看这些测量能够达到什么样的精度；利用三角学，我们可以做出精确的预测，用这些预测可以比较这些物理测量的结果。

最常见的表达关系存在而又不提供确切细节的方法是采用'函数'的形式。函数就像一台机器，它接收一些简单的输入，并产生一些简单的输出。通常情况下，函数定义某种规则（[函数])，并提供我们一个在三角学中非常有用的方便的符号。这样，我们就知道我们正在使用某种关系，而不需要知道确切的数值。基本三角函数仅仅是角度和三角形边之间关系的替代品。

其中一个函数，它让我们能够知道任何 $\theta \,$ 值和相应的 $a\,$ 值之间的关系，被称为 *余弦* 或 $\cos \,$ 。这种普遍的关系表示为： ${\frac {a}{c}}=\cos \theta$ ，这将节省我们构建角度和长度并从中得出困难结论的步骤。

这意味着，如果你知道一个角的余弦值，你也知道边长之间的关系。三角形的实际大小可以更大或更小，但只要角的大小保持不变，余弦表示的数学关系就不会改变。

余弦示例

一些关于 cos 函数的明确值是已知的。对于 $\theta \,=0$ ，边 $a\,$ 和 $c\,$ 重合： $a=c={\frac {a}{c}}=1$ ，所以 $\cos \left(0\right)=1$ 。对于 $\theta ={\frac {\pi }{2}}$ ，边 $b\,$ 和 $c\,$ 重合，长度为 1，边 $a\,$ 长度为零，因此 $a\,=0$ ， $c\,=1$ 。 ${\frac {a}{c}}=0$ 且 $\cos {\frac {\pi }{2}}=0$ 。

我们可以绘制的最简单的直角三角形是等腰直角三角形，它有一对大小为 ${\frac {\pi }{4}}$ 弧度的角，如果它的斜边被认为是长度为 1，那么边 $a\,$ 和 $b$ 的长度为 ${\sqrt {\frac {1}{2}}}$ ，这可以通过勾股定理来验证。如果边 $a\,$ 被选择为与包含直角三角形的圆的半径长度相同，那么通过将直角三角形从圆的圆周分割到圆心得到的右侧等腰三角形是一个等边三角形，所以 $\theta$ 必须是 ${\frac {\pi }{3}}$ ，而 $\phi$ 必须是 ${\frac {\pi }{6}}$ ，并且 $b\,^{2}$ 必须是 $1-{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{2}}={\frac {3}{4}}$ .

余弦和正弦函数的性质

周期

完整的一圈是 2π 弧度的角，所以将角增加这个量会让你正好回到起点。因此，通过向任何角 θ 添加 2π，可以保持一个完美的圆形，以及三角形内部形成的关系。这被称为“周期”——角度的大小或关系开始重复的时间段（将两者相关联很复杂，并允许我们谈论波理论）。

使用函数，我们可以用余弦函数表示这个事实，即： $\cos \theta =\cos \left(\theta +2\pi n\right),\,$

了解正弦和余弦函数的周期（以及通过推导，其他函数的周期）很有用，因为这意味着当我们知道周期相同时，我们可以用一个角度替换另一个角度。这在计算中很有帮助，例如当需要加减角度时。

半角公式和倍角公式

我们可以推导出一个关于 cos(θ) 的 cos(θ/2) 公式，它允许我们找到更多角度的 cos() 函数的值。为了推导出这个公式，画一个等腰三角形，画一个穿过其角的圆形，连接圆形中心与等腰三角形的每个角的半径，扩展穿过等腰三角形顶点的半径成为圆形的直径，并将直径与圆形另一侧的交点与等腰三角形的其他角连接起来。

所以

$\cos(\theta /2)={\sqrt {\frac {1+\cos \theta }{2}}}$

它提供了一种根据原始角度的 cos() 来计算一半角度的 cos() 的方法。因此 * 被称为“余弦半角公式”。

半角公式可以应用于分割新发现的角度，而新发现的角度又可以再次被分割，无限分割下去。当然，每次新的分割都涉及到求一个包含平方根的项的平方根，所以不建议将这种方法作为计算 cos() 函数值的有效程序。

方程 * 可以反转，以根据 cos(θ)/2 求得 cos(θ)

${\begin{matrix}&\cos(\theta /2)={\sqrt {\frac {1+\cos(\theta )}{2}}}\\\Rightarrow &\cos ^{2}(\theta /2)={\frac {1+\cos(\theta )}{2}}\\\Rightarrow &\cos ^{2}(\theta /2)-{\frac {1}{2}}={\frac {\cos(\theta )}{2}}\\\Rightarrow &2\cos ^{2}(\theta /2)-1=\cos(\theta )\\\end{matrix}}$

将 $\delta \ ={\frac {\theta }{2}}$ 代入，得到

$2\cos ^{2}(\delta )-1=\cos(2\delta )\,$

即：双角余弦公式，它用原始角的余弦表示双倍角的余弦。

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