三角学/最难解的三角形

已知 SSA（两边和不夹这两边的角 - 模棱两可的情况）

在下图中，红色弧线表示与三角形左下角距离相同的点。这些点构成了其中一边的长度。三角形的缺失角必须位于红色弧线与斜向虚线相交的点之一。

看上面的图。我们遇到了麻烦。有两个可能的解。给定的信息可能无法唯一确定一个三角形。更糟糕的是，如果角 $\theta$ 太大，可能根本没有解。

以下是我们的处理方法。

两条已知边之一，边 $a$ 与已知角相对，因此我们可以应用 正弦定律 来尝试找到另一条已知边所对的角。当我们这样做时（给定边 $a$ 和 $b$ 以及角 $A$），我们将有 $\sin(B)={\frac {b\sin(\theta )}{a}}$，有三种可能性

要么 $\sin(B)>1$，$\sin(B)=1$，或者 $\sin(B)<1$。

• 如果 $\sin(B)>1$，那么不存在满足给定信息的角 $B$，因此无法用给定的边和角形成三角形。这是因为无论边的位置如何，它都太短而无法到达虚线。
• 如果 $\sin(B)=1$，那么我们有一个直角三角形，直角在 $B$，我们可以按照直角三角形的步骤继续处理。
• 如果 $\sin(B)<1$ 且已知角的对边比另一条已知边短，那么角 $B$ 可能有两个度数，一个是锐角（$\sin(B)$ 的反正弦值），另一个是钝角（锐角的补角，即比该角少 180°）。无论我们选择哪一个角度，我们现在都有了两个角，可以像上面那样找到缺失的信息。因此，存在两个可能的解。
• 如果 $\sin(B)<1$ 且已知角的对边比另一条已知边长，那么可能看起来有两个解，但其中一个解是无效的，因为我们会发现两个角的和超过 180°，因此第三个角将为负数。因此只有一个可能的解。（如果两条已知边长度相等，第二个解将是一个面积为零的三角形，其中这两条边重合，第三条边的长度为零。）

情况 $\sin(B)=1$

根据勾股定理，我们可以证明，如果两个直角三角形斜边相等，且另一对边也相等，那么这两个三角形全等。（然而，欧几里得在不需要勾股定理的情况下证明了这个定理。）

证明

好了，我们已经知道定理

$a^{2}+b^{2}=c^{2}$ .

对吧？

因此，你会发现它可以被反转，得到公式 $c^{2}-b^{2}=a^{2}$ 。这意味着，如果你知道一个三角形的斜边和一条直角边，你可以计算出另一条直角边的长度。这本身就非常重要，而且还意味着你知道三角形三条边的长度，而且只有唯一一个具有三个特定边长的三角形，这意味着如果你知道两个三角形的斜边和一条直角边是全等的，你也知道这两个三角形是全等的！