三角学/复数的三角形式

$z=a+bi=r\left(\cos \phi \ +i\sin \phi \right)$

其中

• i 是 虚数 $\left(i\ ={\sqrt {-1}}\right)$
• 模数 $r=\operatorname {mod} (z)=|z|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$
• 幅角 $\phi =\arg(z)$ 是复数在极坐标图上与实轴和虚轴形成的角度。可以使用 直角三角形三角学 来求三角函数。

这有时简写为 $r\left(\cos \phi \ +i\sin \phi \right)=r\operatorname {cis} \phi$，并且 $r\operatorname {cis} \phi =re^{i\phi }$ 也成立（前提是 $\phi$ 单位是弧度）。后一个恒等式称为欧拉公式。

欧拉公式可以用来证明棣莫弗定理：$(\cos \phi \ +i\sin \phi )^{n}=\cos(n\phi )+i\sin(n\phi ).$ 这个公式对于n的所有值（实数或复数）都是有效的。