三角学/向量和点积

使用点积计算像甲烷这样的对称四面体分子的键角

考虑向量U和V（分别具有大小|U|和|V|）。如果这些向量包含一个角度θ，则这些向量的点积可以写成

$\mathbf {U} \cdot \mathbf {V} =|\mathbf {U} ||\mathbf {V} |\cos(\theta )$

如果向量可以写成

$\mathbf {U} =(U_{x},U_{y},U_{z})$

$\mathbf {V} =(V_{x},V_{y},V_{z})$

则点积由下式给出

$\mathbf {U} \cdot \mathbf {V} =U_{x}V_{x}+U_{y}V_{y}+U_{z}V_{z}$

例如，

$(1,2,3)\cdot (2,2,2)=1(2)+2(2)+3(2)=12.$

和

$(0,5,0)\cdot (4,0,0)=0.$

我们可以通过注意到两个向量之间的角度为 90 度，因此积为零来解释最后一个情况。

因为

$|\mathbf {U} |={\sqrt {U_{x}^{2}+U_{y}^{2}+U_{z}^{2}}}$

和

$|\mathbf {V} |={\sqrt {V_{x}^{2}+V_{y}^{2}+V_{z}^{2}}}$

这意味着

$\cos(\theta )={\frac {U_{x}V_{x}+U_{y}V_{y}+U_{z}V_{z}}{{\sqrt {U_{x}^{2}+U_{y}^{2}+U_{z}^{2}}}{\sqrt {V_{x}^{2}+V_{y}^{2}+V_{z}^{2}}}}}$