平面三角学/向量

在实践中，三角学最实用的应用之一是与向量相关的计算，向量经常在物理学中使用。向量是一个既有大小（例如 3 或 8）又有方向（例如 北 或 30 度偏东）的量。它在图中用箭头表示，通常从原点指向一个特定点。

平面向量${\vec {A}}$ 可以用两种方式表达 - 作为大小为$A_{x}$ 的水平向量的和，以及大小为$A_{y}$ 的垂直向量的和，或者根据其角度$\theta$ 和大小$\left|{\vec {A}}\right|$（或简称为 A）来表示。这两种方法分别称为“直角坐标系”和“极坐标系”。

直角坐标系到极坐标系转换

为了简单起见，假设${\vec {A}}$ 位于第一象限，其 x 分量为$A_{x}$，y 分量为$A_{y}$（这必然是正数）。给定这些分量，我们需要找到角度$\theta$ 和大小$A$.

如果我们画出这三个向量，它们将构成一个直角三角形。很容易看出$\tan \theta ={\frac {A_{y}}{A_{x}}}$，或者$\theta =\arctan {\frac {A_{y}}{A_{x}}}$（定义角度为零的向量指向正右方）。此外，根据勾股定理，$A_{x}\,^{2}+A_{y}\,^{2}=A^{2}$，或者$A={\sqrt {A_{x}\,^{2}+A_{y}\,^{2}}}$.

极坐标系到直角坐标系转换

这本质上与上面的问题相同，只是方向相反。这里，$\theta$ 和 $A$ 是已知的，我们想要计算 $A_{x}$ 和 $A_{y}$ 的值。

使用与上面相同的三角形，我们可以看到 $\cos \theta ={\frac {A_{x}}{A}}$，或者 $A_{x}=A\cos \theta$。同样，$\sin \theta ={\frac {A_{y}}{A}}$，或者 $A_{y}=A\sin \theta$。

转换回顾

• $\theta =\arctan {\frac {A_{y}}{A_{x}}}$
• $\left|{\vec {A}}\right|=A={\sqrt {A_{x}\,^{2}+A_{y}\,^{2}}}$
• $A_{x}=A\cos \theta$
• $A_{y}=A\sin \theta$