三角学/已知 ASA 求解三角形

三角学最常见的应用之一是求解三角形，即在已知三角形的部分信息（如边长或角）的情况下，求解剩余的边长或角。也可能需要求解三角形的面积。

我们可以通过以下条件重构三角形：

• ASA 角-边-角（参见下面的插图）。
• AAS 角-角-边（参见本页后面的内容）。
• SAS 边-角-边（参见下一页）。
• SSA 边-边-角（本书后面将介绍）。在 SSA 情况下，可能存在一个、两个或不存在解。

已知 ASA（一边及其两端角）

• 已知两个角，我们可以求解第三个角（因为三角形三个角的度数之和为 $180^{\circ }$）。

缺失的角 $\theta$ 可以通过以下公式求得：

$\theta =180^{\circ }-(\alpha +\beta )$

• 已知三个角和一条边，我们可以使用 正弦定理 求解剩余的边长。

在插图中，如果已知的边是底边，长度为 $c$，那么与角 $\alpha$ 对面的边的长度为 $a$，其可以通过以下公式求得：

$a=c\cdot {\frac {\sin(\alpha )}{\sin(\theta )}}$

检查此公式 检查该公式是否符合正弦定理。 现在也是检查自己是否能够推导出正弦定理的好时机。如果在考试中遇到类似这样的三角形问题，你可能会被要求同时求解它的缺失边长并推导出正弦定理。

• 然后可以使用 海伦公式 求解面积，或者更简单地使用正弦定理中给出的公式求解面积。

已知 AAS（一边及另两角）

同样，我们可以求解缺失的角，因为它们的度数之和为 $180^{\circ }$。从这里开始，我们就拥有与 ASA 情况下第一步之后相同的信息。

练习

练习 1：简单的角度 I 三角形 $\Delta ABC$ 有 边 ${\overline {BC}}$ 长度为 30m $\angle ABC=30^{\circ }$ 和 $\angle BCA=45^{\circ }$ 画一个草图。 剩余两条边的长度是多少，缺失的角是多少？

练习 2：简单的角度 II 三角形 $\displaystyle \Delta ABC$ 有 边 ${\overline {BC}}$ 长度为 30m $\angle BCA=30^{\circ }$ 和 $\angle CAB=45^{\circ }$ 画一个草图。 剩余两条边的长度是多少，缺失的角是多少？

练习 3：相似/全等？ 练习 1 和练习 2 中的这两个三角形 彼此相似吗？ 彼此全等吗？