向量/简介

基本概念

向量是一个数学概念，具有大小和方向。有关向量的详细解释，请参阅维基教科书模块 线性代数/空间中的向量。在物理学中，向量用于描述发生在 空间 中的事情，方法是提供一系列与问题 坐标系 相关的量。

向量通常用一系列数字表示。例如，在实数的二维空间中，符号 (1, 1) 代表一个指向 x 轴与 y 轴之间 45 度角，大小为 ${\sqrt {2}}$ 的向量。

在物理学中，我们通常使用 **位置向量** 来描述某个物体在所考虑空间中的位置，或者描述其位置在该时刻是如何变化的。位置向量用 **标量** 乘以 **单位向量** 的求和表示。例如

$a{\hat {i}}+b{\hat {j}}+c{\hat {k}}$

其中 a、b 和 c 是标量，${\hat {i}},{\hat {j}}$ 和 ${\hat {k}}$ 是 笛卡尔（勒内·笛卡尔）坐标系的 *单位向量*。单位向量是一个特殊的向量，大小为 1，并且沿坐标系的某个轴方向。下图更好地说明了这一点。

向量本身通常用箭头表示：${\vec {v}}$，或者用粗体字表示：v，所以上述向量作为完整方程表示为

${\vec {v}}=a{\hat {i}}+b{\hat {j}}+c{\hat {k}}$

向量的大小由 $|{\vec {v}}|={\sqrt {\sum _{i}(x_{i}^{2})}}$ 计算。例如，在二维空间中，此方程简化为

$|{\vec {v}}|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$.

对于三维空间，此方程变为

$|{\vec {v}}|={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}$.

练习题

问题 1： 求以下向量的模长。答案在下方。

${\vec {v}}=(4,3)$

$|{\vec {v}}|={\sqrt {4^{2}+3^{2}}}=5$

${\vec {v}}=(5,3)$

$|{\vec {v}}|={\sqrt {5^{2}+3^{2}}}={\sqrt {34}}$

${\vec {v}}=(1,0)$

$|{\vec {v}}|={\sqrt {1^{2}+0^{2}}}=1$

${\vec {v}}=(4,4)$

$|{\vec {v}}|={\sqrt {4^{2}+4^{2}}}={\sqrt {32}}$

${\vec {v}}=(5,0,0)$

$|{\vec {v}}|={\sqrt {5^{2}+0^{2}+0^{2}}}=5$

在物理学中使用向量

许多问题，特别是在力学中，涉及使用二维或三维空间来描述物体的位置和运动。向量可以用来将这些信息压缩成一种精确且易于理解的形式，便于用数学方法处理。

位置 - 或某物在哪里，可以用位置向量来表示。位置向量测量某物与参考系原点的距离及其方向，通常用符号 ${\vec {r}}$ 来表示，尽管并非总是如此。在描述问题的解决方案时，通常最好使用 ${\vec {r}}$ 来表示位置向量，因为大多数物理学家使用这种符号。

速度定义为位置相对于时间的变化率。你可能习惯于将速度 v 写成一个标量，因为你的解法假设 v 指的是运动方向上的速度。然而，如果我们采用严格的定义并将其应用于位置向量——我们已经确定这是表示位置的正确方法——我们得到

${\frac {d{\vec {r}}}{dt}}={\frac {da}{dt}}{\hat {i}}+{\frac {db}{dt}}{\hat {j}}+{\frac {dc}{dt}}{\hat {k}}$

但是，我们注意到单位向量仅仅是符号而不是术语本身，实际上并没有微分，只有表示向量在每个方向上的分量的标量进行了微分。

假设每个分量不是常数，因此具有非零导数，我们得到

${\vec {v}}=a'{\hat {i}}+b'{\hat {j}}+c'{\hat {k}}$，其中 a'、b' 和 c' 只是每个原始位置向量分量相对于时间的第一个导数。

这里很明显速度也是一个向量。在现实世界中，这意味着速度向量的每个分量都表明位置向量的每个分量变化的速度——也就是说，物体在每个方向上的移动速度。

力学中的向量

向量符号在现代固体力学、流体力学、生物力学、非线性有限元和力学中其他许多学科的文献中无处不在。学生必须熟悉这种符号才能阅读相关文献。在本节中，我们将介绍常用的符号、向量代数中的常见运算以及向量微积分中的一些概念。

向量

向量是一个具有某些属性的对象。这些属性是什么？我们通常说这些属性是

• 向量有大小（或长度）
• 向量有方向。

为了使向量对象的定义更加精确，我们还可以说向量是满足向量空间性质的对象。

向量标准的符号是带下划线的英文小写字母（例如 $\mathbf {a} \,$）。

在图 1(a) 中，你可以看到一个红色向量 $\mathbf {a}$。这个向量可以用分量形式表示，相对于基（$\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2}\,$）表示为

$\mathbf {a} =a_{1}\mathbf {e} _{1}+a_{2}\mathbf {e} _{2}\,$

其中 $\mathbf {e} _{1}\,$ 和 $\mathbf {e} _{2}\,$ 是标准正交单位向量。正交意味着它们相互垂直（正交）并且是单位向量。回想一下，单位向量是长度为 1 的向量。这些向量也称为基向量。

你也可以用另一组基向量（$\mathbf {g} _{1},\mathbf {g} _{2}\,$）来表示同一个向量 $\mathbf {a} \,$，如图 1(b) 所示。在这种情况下，向量的分量是 $(b_{1},b_{2})\,$，我们可以写成

$\mathbf {a} =b_{1}\mathbf {g} _{1}+b_{2}\mathbf {g} _{2}\,~.$

需要注意的是，基向量 $\mathbf {g} _{1}\,$ 和 $\mathbf {g} _{2}\,$ 不一定必须是单位向量。我们只需要它们是 *线性无关* 的，也就是说，我们不应该能够用其他向量来表示其中一个向量。

在三维空间中，使用 *标准正交基*，我们可以将向量 $\mathbf {a} \,$ 写成

$\mathbf {a} =a_{1}\mathbf {e} _{1}+a_{2}\mathbf {e} _{2}+a_{2}\mathbf {e} _{3}\,$

其中 $\mathbf {e} _{3}\,$ 与 $\mathbf {e} _{1}\,$ 和 $\mathbf {e} _{2}\,$ 都垂直。这是我们通常用来表达任意向量的基底。