两个向量首尾相加。
如果
和
是向量,那么它们的和
也是一个向量。
这两个向量也可以相互减去,得到另一个向量
.
乘以 2 使向量的长度加倍
向量
乘以标量
的作用是拉伸或缩短向量。
您可以通过除以向量的长度
来形成一个与
平行的单位向量
。因此,

标量积取决于两个向量之间的角度的余弦。
两个向量的标量积或内积或点积定义为

其中
是两个向量之间的夹角(见图 2(b))。
如果
和
互相垂直,
且
。因此,
。
因此,点积具有几何意义,即
在单位向量
上的投影的长度,当两个向量被放置为它们从同一点(尾部对尾部)开始。
标量积导致一个标量量,也可以用分量形式(关于给定的基底)写成

如果向量是
维的,点积写成

使用爱因斯坦求和约定,我们也可以将标量积写成

另外要注意,标量积也满足以下条件
(交换律)。
(分配律)。
由两个向量生成的平行四边形的面积是它们叉积的长度
两个向量
和
的 向量 积(或 叉积)是另一个向量
,定义为

其中
是
和
之间的夹角,而
是一个单位向量,垂直于包含
和
的平面的右手系方向。
就正交规范基
而言,叉积可以写成行列式的形式

在指标表示法中,叉积可以写成

其中
是 Levi-Civita 符号(也称为置换符号、交替张量)。
下面给出了一些有用的向量恒等式。
.
.





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