向量/向量代数

两个向量首尾相加。

向量代数运算

加法和减法

如果 $\mathbf {a} \,$ 和 $\mathbf {b} \,$ 是向量，那么它们的和 $\mathbf {c} =\mathbf {a} +\mathbf {b} \,$ 也是一个向量。

这两个向量也可以相互减去，得到另一个向量 $\mathbf {d} =\mathbf {a} -\mathbf {b} \,$.

乘以标量

乘以 2 使向量的长度加倍

向量 $\mathbf {b} \,$ 乘以标量 $\lambda \,$ 的作用是拉伸或缩短向量。

您可以通过除以向量的长度 $|\mathbf {b} |\,$ 来形成一个与 $\mathbf {b} \,$ 平行的单位向量 ${\hat {\mathbf {b} }}\,$。因此，

${\hat {\mathbf {b} }}={\frac {\mathbf {b} }{|\mathbf {b} |}}~.$

两个向量的标量积

标量积取决于两个向量之间的角度的余弦。

两个向量的标量积或内积或点积定义为

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\cos(\theta )$

其中 $\theta \,$ 是两个向量之间的夹角（见图 2(b)）。

如果 $\mathbf {a} \,$ 和 $\mathbf {b} \,$ 互相垂直，$\theta =\pi /2\,$ 且 $\cos(\theta )=0\,$。因此，${\mathbf {a} }\cdot {\mathbf {b} }=0$。

因此，点积具有几何意义，即 $\mathbf {a} \,$ 在单位向量 ${\hat {\mathbf {b} }}\,$ 上的投影的长度，当两个向量被放置为它们从同一点（尾部对尾部）开始。

标量积导致一个标量量，也可以用分量形式（关于给定的基底）写成

${\mathbf {a} }\cdot {\mathbf {b} }=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}=\sum _{i=1..3}a_{i}b_{i}~.$

如果向量是 $n$ 维的，点积写成

${\mathbf {a} }\cdot {\mathbf {b} }=\sum _{i=1..n}a_{i}b_{i}~.$

使用爱因斯坦求和约定，我们也可以将标量积写成

${\mathbf {a} }\cdot {\mathbf {b} }=a_{i}b_{i}~.$

另外要注意，标量积也满足以下条件

1. ${\mathbf {a} }\cdot {\mathbf {b} }={\mathbf {b} }\cdot {\mathbf {a} }$（交换律）。
2. ${\mathbf {a} }\cdot {(\mathbf {b} +\mathbf {c} )}={\mathbf {a} }\cdot {\mathbf {b} }+{\mathbf {a} }\cdot {\mathbf {c} }$（分配律）。

两个向量的向量积

由两个向量生成的平行四边形的面积是它们叉积的长度

两个向量 $\mathbf {a} \,$ 和 $\mathbf {b} \,$ 的 向量 积（或 叉积）是另一个向量 $\mathbf {c} \,$，定义为

$\mathbf {c} ={\mathbf {a} }\times {\mathbf {b} }=|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\sin(\theta ){\hat {\mathbf {c} }}$

其中 $\theta \,$ 是 $\mathbf {a} \,$ 和 $\mathbf {b} \,$ 之间的夹角，而 ${\hat {\mathbf {c} }}\,$ 是一个单位向量，垂直于包含 $\mathbf {a} \,$ 和 $\mathbf {b} \,$ 的平面的右手系方向。

就正交规范基 $(\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3})\,$ 而言，叉积可以写成行列式的形式

${\mathbf {a} }\times {\mathbf {b} }={\begin{vmatrix}\mathbf {e} _{1}&\mathbf {e} _{2}&\mathbf {e} _{3}\\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\end{vmatrix}}.$

在指标表示法中，叉积可以写成

${\mathbf {a} }\times {\mathbf {b} }\equiv e_{ijk}a_{j}b_{k}.$

其中 $e_{ijk}$ 是 Levi-Civita 符号（也称为置换符号、交替张量）。

向量代数中的恒等式

下面给出了一些有用的向量恒等式。

1. ${\mathbf {a} }\times {\mathbf {b} }=-{\mathbf {b} }\times {\mathbf {a} }$.
2. ${\mathbf {a} }\times {\mathbf {b} +\mathbf {c} }={\mathbf {a} }\times {\mathbf {b} }+{\mathbf {a} }\times {\mathbf {c} }$.
3. ${\mathbf {a} }\times {({\mathbf {b} }\times {\mathbf {c} })}=\mathbf {b} ({\mathbf {a} }\cdot {\mathbf {c} })-\mathbf {c} ({\mathbf {a} }\cdot {\mathbf {b} })$
4. ${({\mathbf {a} }\times {\mathbf {b} })}\times {\mathbf {c} }=\mathbf {b} ({\mathbf {a} }\cdot {\mathbf {c} })-\mathbf {a} ({\mathbf {b} }\cdot {\mathbf {c} })$
5. ${\mathbf {a} }\times {\mathbf {a} }=\mathbf {0}$
6. ${\mathbf {a} }\cdot {({\mathbf {a} }\times {\mathbf {b} })}={\mathbf {b} }\cdot {({\mathbf {a} }\times {\mathbf {b} })}=\mathbf {0}$
7. ${({\mathbf {a} }\times {\mathbf {b} })}\cdot {\mathbf {c} }={\mathbf {a} }\cdot {({\mathbf {b} }\times {\mathbf {c} })}$

有关本章主题的更多详细信息，请参阅维基教科书上的向量 in the wikibook on Calculus.