向量/向量微积分

向量微积分

到目前为止，我们已经处理了常向量。如果向量允许在空间中变化，也会很有帮助。然后我们可以定义导数和积分，并处理向量场。下面讨论了一些向量微积分的基本概念。

向量值函数的导数

令 $\mathbf {a} (x)\,$ 是一个向量函数，可以表示为

$\mathbf {a} (x)=a_{1}(x)\mathbf {e} _{1}+a_{2}(x)\mathbf {e} _{2}+a_{3}(x)\mathbf {e} _{3}\,$

其中 $x\,$ 是一个标量。

那么 $\mathbf {a} (x)\,$ 相对于 $x\,$ 的导数为

${\cfrac {d\mathbf {a} (x)}{dx}}=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\cfrac {\mathbf {a} (x+\Delta x)-\mathbf {a} (x)}{\Delta x}}={\cfrac {da_{1}(x)}{dx}}\mathbf {e} _{1}+{\cfrac {da_{2}(x)}{dx}}\mathbf {e} _{2}+{\cfrac {da_{3}(x)}{dx}}\mathbf {e} _{3}~.$

注意：在上面的等式中，单位向量 $\mathbf {e} _{i}$ (i=1,2,3) 被假定为常数。
如果 $\mathbf {a} (x)\,$ 和 $\mathbf {b} (x)\,$ 是两个向量函数，那么根据链式法则，我们得到

${\begin{aligned}{\cfrac {d({\mathbf {a} }\cdot {\mathbf {b} })}{x}}&={\mathbf {a} }\cdot {\cfrac {d\mathbf {b} }{dx}}+{\cfrac {d\mathbf {a} }{dx}}\cdot {\mathbf {b} }\\{\cfrac {d({\mathbf {a} }\times {\mathbf {b} })}{dx}}&={\mathbf {a} }\times {\cfrac {d\mathbf {b} }{dx}}+{\cfrac {d\mathbf {a} }{dx}}\times {\mathbf {b} }\\{\cfrac {d[{\mathbf {a} }\cdot {({\mathbf {b} }\times {\mathbf {c} })}]}{dt}}&={\cfrac {d\mathbf {a} }{dt}}\cdot {({\mathbf {b} }\times {\mathbf {c} })}+{\mathbf {a} }\cdot {\left({\cfrac {d\mathbf {b} }{dt}}\times {\mathbf {c} }\right)}+{\mathbf {a} }\cdot {\left({\mathbf {b} }\times {\cfrac {d\mathbf {c} }{dt}}\right)}\end{aligned}}$

标量场和向量场

设 $\mathbf {x} \,$ 为空间中任意一点的位置向量。假设存在一个标量函数 ($g\,$)，它为空间中的每个点分配一个值。然后

$g=g(\mathbf {x} )\,$

表示一个标量场。标量场的一个例子是温度。参见图4(a)。

如果存在一个向量函数 ($\mathbf {a} \,$)，它为空间中的每个点分配一个向量，那么

$\mathbf {a} =\mathbf {a} (\mathbf {x} )\,$

表示一个向量场。一个例子是位移场。参见图4(b)。

标量场的梯度

令 $\varphi (\mathbf {x} )\,$ 是一个标量函数。假设该函数在空间的某个区域内偏导数是连续的。如果点 $\mathbf {x} \,$ 相对于基底 ($\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}\,$) 的坐标为 ($x_{1},x_{2},x_{3}\,$)，则 $\varphi \,$ 的梯度定义为

${\boldsymbol {\nabla }}{\varphi }={\frac {\partial \varphi }{\partial x_{1}}}~\mathbf {e} _{1}+{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{2}}}~\mathbf {e} _{2}+{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{3}}}~\mathbf {e} _{3}~.$

在指标表示法中，

${\boldsymbol {\nabla }}{\varphi }\equiv \varphi _{,i}~\mathbf {e} _{i}~.$

梯度显然是一个向量，并且有方向。我们可以认为一个点的梯度是该点水平轮廓的垂直向量。

通常将符号 ${\boldsymbol {\nabla }}{}$ 看作是如下形式的操作符

${\boldsymbol {\nabla }}{}={\frac {\partial }{\partial x_{1}}}~\mathbf {e} _{1}+{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}~\mathbf {e} _{2}+{\frac {\partial }{\partial x_{3}}}~\mathbf {e} _{3}~.$

向量场的散度

如果我们形成向量场 $\mathbf {u} (\mathbf {x} )\,$ 与 ${\boldsymbol {\nabla }}{}$ 操作符的标量积，我们将得到一个称为向量场散度的标量量。因此，

${\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\mathbf {u} }={\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{2}}}+{\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{3}}}~.$

在指标表示法中，

${\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\mathbf {u} }\equiv u_{i,i}~.$

如果 ${\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\mathbf {u} }=0$，那么 $\mathbf {u} \,$ 称为一个*无散度*场。

向量场散度的物理意义是某个*密度*从空间的给定区域流出的速率。在没有物质产生或湮灭的情况下，空间某一区域内的密度只能通过流入或流出该区域而发生变化。

向量场的旋度

向量场 $\mathbf {u} (\mathbf {x} )\,$ 的*旋度*是一个*向量*，定义为

${\boldsymbol {\nabla }}\times {\mathbf {u} }=\det {\begin{vmatrix}\mathbf {e} _{1}&\mathbf {e} _{2}&\mathbf {e} _{3}\\{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}&{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}&{\frac {\partial }{\partial x_{3}}}\\u_{1}&u_{2}&u_{3}\\\end{vmatrix}}$

向量场旋度的物理意义是空间区域内容物的旋转量或角动量。

标量场或向量场的拉普拉斯算子

标量场 $\varphi (\mathbf {x} )\,$ 的*拉普拉斯算子*是一个*标量*，定义为

$\nabla ^{2}{\varphi }:={\boldsymbol {\nabla }}\cdot {{\boldsymbol {\nabla }}{\varphi }}={\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x_{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x_{3}}}~.$

向量场 $\mathbf {u} (\mathbf {x} )\,$ 的拉普拉斯算子是一个向量，定义为

$\nabla ^{2}{\mathbf {u} }:=(\nabla ^{2}{u_{1}})\mathbf {e} _{1}+(\nabla ^{2}{u_{2}})\mathbf {e} _{2}+(\nabla ^{2}{u_{3}})\mathbf {e} _{3}~.$

向量微积分恒等式

下面列出了一些向量微积分中经常使用的恒等式。

1. ${\boldsymbol {\nabla }}\cdot {(\mathbf {a} +\mathbf {b} )}={\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\mathbf {a} }+{\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\mathbf {b} }$~.
2. ${\boldsymbol {\nabla }}\times {(\mathbf {a} +\mathbf {b} )}={\boldsymbol {\nabla }}\times {\mathbf {a} }+{\boldsymbol {\nabla }}\times {\mathbf {b} }$~.
3. ${\boldsymbol {\nabla }}\cdot {(\varphi \mathbf {a} )}={({\boldsymbol {\nabla }}{\varphi })}\cdot {\mathbf {a} }+\varphi ({\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\mathbf {a} })$~.
4. ${\boldsymbol {\nabla }}\times {(\varphi \mathbf {a} )}={({\boldsymbol {\nabla }}{\varphi })}\times {\mathbf {a} }+\varphi ({\boldsymbol {\nabla }}\times {\mathbf {a} })$~.
5. ${\boldsymbol {\nabla }}\cdot {({\mathbf {a} }\times {\mathbf {b} })}={\mathbf {b} }\cdot {({\boldsymbol {\nabla }}\times {\mathbf {a} })}-{\mathbf {a} }\cdot {({\boldsymbol {\nabla }}\times {\mathbf {b} })}$~.

格林-高斯散度定理

设 $\mathbf {u} (\mathbf {x} )\,$ 是在边界为 $\Gamma \,$ 的物体 $\Omega \,$ 上的连续可微向量场。散度定理 表明：

${\int _{\Omega }{\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\mathbf {u} }~dV=\int _{\Gamma }{\mathbf {n} }\cdot {\mathbf {u} }~dA}$

其中 $\mathbf {n} \,$ 是表面向外的单位法向量（参见图 5）。

在指标表示法中，

$\int _{\Omega }u_{i,i}~dV=\int _{\Gamma }n_{i}u_{i}~dA$

有关本章主题的更多信息，请参阅上有关向量微积分 的微积分 页面。