向量微积分
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到目前为止,我们已经处理了常向量。如果向量允许在空间中变化,也会很有帮助。然后我们可以定义导数和积分,并处理向量场。下面讨论了一些向量微积分的基本概念。
向量值函数的导数
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令
是一个向量函数,可以表示为

其中
是一个标量。
那么
相对于
的导数为

注意:在上面的等式中,单位向量
(i=1,2,3) 被假定为常数。
如果
和
是两个向量函数,那么根据链式法则,我们得到
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\cfrac {d({\mathbf {a} }\cdot {\mathbf {b} })}{x}}&={\mathbf {a} }\cdot {\cfrac {d\mathbf {b} }{dx}}+{\cfrac {d\mathbf {a} }{dx}}\cdot {\mathbf {b} }\\{\cfrac {d({\mathbf {a} }\times {\mathbf {b} })}{dx}}&={\mathbf {a} }\times {\cfrac {d\mathbf {b} }{dx}}+{\cfrac {d\mathbf {a} }{dx}}\times {\mathbf {b} }\\{\cfrac {d[{\mathbf {a} }\cdot {({\mathbf {b} }\times {\mathbf {c} })}]}{dt}}&={\cfrac {d\mathbf {a} }{dt}}\cdot {({\mathbf {b} }\times {\mathbf {c} })}+{\mathbf {a} }\cdot {\left({\cfrac {d\mathbf {b} }{dt}}\times {\mathbf {c} }\right)}+{\mathbf {a} }\cdot {\left({\mathbf {b} }\times {\cfrac {d\mathbf {c} }{dt}}\right)}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b82d13b31d1ccc316eede0c241f4dee54fea0c67)
标量场和向量场
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设
为空间中任意一点的位置向量。假设存在一个标量函数 (
),它为空间中的每个点分配一个值。然后

表示一个标量场。标量场的一个例子是温度。参见图4(a)。
如果存在一个向量函数 (
),它为空间中的每个点分配一个向量,那么

表示一个向量场。一个例子是位移场。参见图4(b)。
标量场的梯度
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令
是一个标量函数。假设该函数在空间的某个区域内偏导数是连续的。如果点
相对于基底 (
) 的坐标为 (
),则
的梯度定义为

在指标表示法中,

梯度显然是一个向量,并且有方向。我们可以认为一个点的梯度是该点水平轮廓的垂直向量。
通常将符号
看作是如下形式的操作符

向量场的散度
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如果我们形成向量场
与
操作符的标量积,我们将得到一个称为向量场散度的标量量。因此,

在指标表示法中,

如果
,那么
称为一个*无散度*场。
向量场散度的物理意义是某个*密度*从空间的给定区域流出的速率。在没有物质产生或湮灭的情况下,空间某一区域内的密度只能通过流入或流出该区域而发生变化。
向量场的旋度
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向量场
的*旋度*是一个*向量*,定义为

向量场旋度的物理意义是空间区域内容物的旋转量或角动量。
标量场或向量场的拉普拉斯算子
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标量场
的*拉普拉斯算子*是一个*标量*,定义为

向量场
的拉普拉斯算子是一个向量,定义为

向量微积分恒等式
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下面列出了一些向量微积分中经常使用的恒等式。
~.
~.
~.
~.
~.
格林-高斯散度定理
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设
是在边界为
的物体
上的连续可微向量场。散度定理 表明:

其中
是表面向外的单位法向量(参见图 5)。
在指标表示法中,

有关本章主题的更多信息,请参阅上有关向量微积分 的微积分 页面。
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