微积分/函数

函数无处不在，从简单的距离和时间之间的相关性到复杂的热浪。本章重点介绍函数的基础知识：定义、基本概念和其他定义方面。它包含大量的概念，需要大量的阅读和理解。然而，这仅仅是对未来章节的回顾和介绍。

简介

函数的定义

理解函数的一种简单但模糊的方法是，记住函数就像一个处理器。它接受输入以改变输出。形式上，从集合 X 到集合 Y 的函数 f 由一组有序对 (x, y) 定义，使得 x ∈ X，y ∈ Y，并且 X 中的每个元素都是 G 中恰好一个有序对的第一个分量。换句话说，对于 X 中的每个 x，都存在唯一的元素 y，使得有序对 (x, y) 属于定义函数 f 的对集。集合 G 称为函数的图形。严格来说，它可以被识别为函数，但这隐藏了通常对函数作为过程的解释。因此，在常用用法中，函数通常与其图形区分开来。

每当一个量唯一地决定另一个量的值时，我们都有一个函数。也就是说，集合$X$唯一地决定集合$Y$。您可以将函数视为一种机器。您向机器提供原材料，机器将原材料转变为成品。

日常生活中函数的例子 想象一下从桥上扔下一颗球。在每个时刻，球都位于地面的某一高度。球的高度是时间的函数。物理学家需要找出这个函数的公式。这种函数被称为实值函数，因为“成品”是一个数字（更准确地说是实数）。

日常生活中函数的例子（多变量微积分的预览） 想象一下一场风暴。在不同的位置，风可能以不同的方向和强度吹着。风的强度和方向可以看作位置的函数。这是一个有两个实变量的函数（位置由两个值描述 - 一个$x$和一个$y$），它会产生一个向量（它可以用来表示方向和强度）。这些函数在多变量微积分中进行研究（通常在一年的大学微积分课程之后学习）。这是一个两个实变量的向量值函数。

在学习多变量微积分之前，我们将研究实值函数。将实值函数视为输入-输出机器；您向函数提供输入，它会给您一个数字（更准确地说是实数）作为输出。例如，平方函数接受输入 4 并输出值 16。同一个平方函数接受输入 -1 并输出值 1。

这是一种理解函数的直观方式：一个将输入$x$通过变换$f$转换为输出$f(x)$的机器。

符号

函数的使用非常广泛，因此它们有特殊的符号。这种符号有点模糊，所以要熟悉它才能理解方程式或公式的含义。

虽然没有严格的函数命名规则，但使用字母 $f$、$g$ 和 $h$ 来表示函数，而变量 $x$ 用于表示自变量。 $y$ 用于表示因变量和自变量。

在讨论或处理函数 $f$ 时，不仅要知道函数本身，还要知道它的自变量 $x$。因此，在提到函数 $f$ 时，通常不会写成 $f$，而是写成 $f(x)$。该函数现在被称为“$f$ 的 $x$”。函数名称紧邻着自变量（括号内）。这对于指示函数在自变量特定值时的值非常有用。例如，如果

$f(x)=7x+1$ ,

并且如果我们想要使用 $f$ 在 $x$ 等于 $2$ 时的值，那么我们将把 2 代入上面定义中的 $x$，并在等式两边写成

$f(2)=7(2)+1=14+1=15$

这种表示法比省略自变量，直接写成 '$f$' 更具信息量，但也会产生歧义，因为 $f$ 旁边的括号可能会被误解为乘法，例如 $2f$。为了避免混淆，请遵循以下步骤

1. 通过将函数 $f$ 等于某个表达式来定义它。
2. 写一个类似于下面的句子：“在 $x=c$ 时，函数 $f$ 是...”。
3. 计算函数的值。

描述

人们可以用多种方式来描述函数。在上面的例子中，给出了一个文字描述（球在地球上方的高度作为时间的函数）。以下列出了一些描述函数的方法。前三种方法是最常见的。

1. 给函数一个名字（比如 $f$）并给出函数的公式。例如，$f(x)=3x+2$ 描述了一个函数。我们把输入称为函数的参数（或自变量），把输出称为函数在给定参数时的值。
2. 用一个方程和两个变量来描述函数。一个变量代表函数的输入，另一个代表函数的输出。代表输入的变量称为自变量。代表输出的变量称为因变量。例如，$y=3x+2$ 描述了一个函数。因变量单独出现在等号的左侧。
3. 对函数的文字描述。

当给函数命名时（如上面的第 1 号），函数的名字通常是一个字母（比如 $f$ 或 $g$）。一些名字是多个字母的函数（如正弦函数 $y=\sin(x)$）

将值代入函数 如果我们写 $f(x)=3x+2$，那么我们知道 函数 $f$ 是 $x$ 的函数。 要计算某个数在函数中的值，将 $x$ 替换为那个数。 将 $x$ 替换为那个数，在函数的右侧会得到该输入对应的输出。 用英语解释 $f$ 的定义，就是：“给定一个数，$f$ 将返回该数的三倍再加 2”。 我们怎么知道函数 $f$ 在 3 处的取值呢？我们会这样想： $f(3)=3(3)+2$ $3(3)+2=9+2$ $9+2=11$ 我们会写成： $f(3)=3(3)+2=9+2=11$. 函数 $f$ 在 3 处的取值为 11。 注意，$f(3)$ 表示当 $x$ 取值为 3 时，因变量的取值。因此，我们看到，当我们输入数字 3 时，函数的输出为 11。人们通常将上述工作概括为：“函数 $f$ 在 3 处的取值为 11”，或简写为“$f$ 的 3 等于 11”。

函数的基本概念

函数的正式定义指出，函数实际上是一种映射，它将一个称为函数定义域的集合 $A$ 的元素与另一个称为函数值域的集合 $B$ 的元素关联起来。对于我们从函数定义域中选择的每个值，在函数的值域中恰好对应一个元素。函数的定义告诉我们值域中的哪个元素与我们从定义域中选取的元素对应。下面给出一个例子。

设函数 $f(x)=5x+{\frac {5x}{2}}$ 对所有 $x$ 成立。当 $x$ 取值为多少时，$f(x)=225{\frac {1}{2}}$？ 在数学中，注意到重复现象非常重要。如果有什么东西看起来是重复的，请把它记在你的脑海中。 这里，请注意 $f(x)=5x+{\frac {5x}{2}}$ 和 $f(x)=225{\frac {1}{2}}$。因为 $f(x)$ 等于两个不同的值，因此等号另一侧与 $f(x)$ 相等的两个值也应该相等。这种性质被称为传递性质，因此可以使下面的等式成立。 $225{\frac {1}{2}}=5x+{\frac {5x}{2}}$ 接下来，简化 — 让你的生活更轻松，而不是更困难。在这种情况下，由于 $5x+{\frac {5x}{2}}$ 包含 $x$ 作为公因式，并且两个项都是分数相加，将其放到一个共同的分母上并简化。类似地，由于 $225{\frac {1}{2}}$ 是一个带分数，$225{\frac {1}{2}}=225+{\frac {1}{2}}$. $225{\frac {1}{2}}=5x+{\frac {5x}{2}}$ $\Rightarrow {\frac {225}{1}}+{\frac {1}{2}}={\frac {5x}{1}}+{\frac {5x}{2}}$ $\Rightarrow {\frac {450}{2}}+{\frac {1}{2}}={\frac {10x}{2}}+{\frac {5x}{2}}$ $\Rightarrow {\frac {451}{2}}={\frac {15x}{2}}$ 将两边乘以 $x$ 系数的倒数，即 ${\frac {2}{15}}$，来进行乘法。 ${\frac {2}{15}}\cdot {\frac {451}{2}}=x$ ${\frac {451}{15}}=x$ 或者 $x={\frac {451}{15}}$. 使$f(x)=225{\frac {1}{2}}$ 的$x$ 值为 $x={\frac {451}{15}}$.$\blacksquare$.

从经典的角度来看，从定义域中选取的元素被视为输入函数的东西，而对应于值域中的元素则被视为输出。由于我们“选取”定义域中的元素，其在值域中的对应元素是我们想要找到的，因此我们可以控制选择哪个元素，因此该元素也被称为“自变量”。值域中映射的元素超出了我们的控制范围，并且由函数“映射到”。因此，该元素也被称为“因变量”，因为它取决于我们选择哪个自变量。由于从经典的观点更好地理解了函数的基本概念，因此我们将在以后使用它。但是，务必始终牢记函数的正确定义。

基本类型的变换

简单来说，对于函数 $f(x)$，所有可能的 $x$ 值构成定义域，所有 $f(x)$ （x-y 平面上为 $y$）构成值域。更正式地说，函数 $f$ 是将某个元素 $a\in A$（称为定义域）映射到一个元素 $b\in B$（称为值域），使得 $f:A\to B$。下面的图片应该有助于解释函数的现代定义

$A$ 是函数的定义域，而 $B$ 是值域。从集合 $A$ 到 $B$ 的这种变换就是一个一对一函数的示例。

1. 如果一个元素 $a\in A$ 来自函数 $f$ 的定义域 $A$，会导致函数的取值范围 $B$ 中只有一个元素 $b\in B$，则该函数被称为 一对一 函数。根据定义，因为只有一个元素 $b$ 由函数 $f$ 从某个元素 $a$ 映射，$f:A\to B$ 意味着只存在一个来自映射的元素 $b$。因此，存在一对一函数，因为它符合函数的定义。这个定义类似于 图 1。
2. 如果来自函数 $f$ 的定义域 $A$ 的一些元素 $a_{1},a_{2},\ldots a_{n}\in A$ 映射到函数的取值范围 $B$ 中的同一个元素 $b\in B$，则该函数被称为 多对一 函数。由于一些元素 $\left(a_{1},a_{2},\ldots a_{n}\right)\in A$ 必须映射到同一个元素 $b\in B$，$f:A\to B$ 必须符合函数的定义。因此，存在多对一函数。
3. 如果函数域中恰好有一个元素 $a\in A$ 映射到函数 $f$ 的域 $A$ 中的某些元素 $\left(b_{1},b_{2},\ldots b_{n}\right)\in B$，则该函数被认为是 **一对多** 函数，且映射到函数 $f$ 的值域 $B$。如果某个元素 $a$ 映射到多个不同的元素 $b$，则 $f:A\to B$ 不是函数，因为存在多个不同的元素 $b$。由于多对一函数不符合函数的定义，因此不存在一对多函数。

现代的定义足够描述函数，它可以帮助我们判断某种新类型的“函数”是否确实是函数。现在每个情况都在上面定义了，现在你可以证明函数是否属于这些情况之一。以下是一个示例问题

**已知**：$f(x)=ax+b$，其中 $a$ 和 $b$ 为常数，且 $a\neq 0$。 **证明**：函数 $f$ 是一对一函数。 注意函数 $f$ 中唯一变化的元素是 $x$。根据定义证明函数是一对一的可能是不可能的，因为虽然域集合 $A$ 中的两个随机元素可能不是多对一的，但可能存在一些元素 $\left(a_{1},a_{2},\ldots a_{n}\right)\in A$ 使函数成为多对一函数。为了解决这种可能性，我们必须证明不可能出现这样的结果。 假设存在两个不同的元素 $x_{1}\neq x_{2}$ 会导致 $f\left(x_{1}\right)=f\left(x_{2}\right)$。这将使函数成为多对一函数。因此， $$ax_{1}+b=ax_{2}+b$$ 从等式两边减去$b$。 $\Rightarrow ax_{1}=ax_{2}$ 从等式两边减去$ax_{2}$。 $\Rightarrow ax_{1}-ax_{2}=0$ 从等式左边两项中提取公因子$a$。 $\Rightarrow a\left(x_{1}-x_{2}\right)=0$ 在等式两边乘以${\frac {1}{a}}$。 $\Rightarrow \left(x_{1}-x_{2}\right)=0$ 在等式两边加上$x_{2}$。 $\Rightarrow x_{1}=x_{2}$ 注意到$x_{1}=x_{2}$。然而，这不可能，因为$x_{1}$ 和 $x_{2}$ 是不同的。因此，$f\left(x_{1}\right)\neq f\left(x_{2}\right)$。没有两个不同的输入可以产生相同的输出。因此，该函数必须是一对一的。

基本概念

定义域是集合 $A$ 中可以映射到集合 $B$ 中元素的所有元素。值域是集合 $B$ 中与定义域相映射的元素。陪域是集合 $B$ 中的所有元素。

从函数的现代定义中，还有几个重要的概念需要学习，这些概念来自于理解域、值域和陪域之间的区别。我们已经讨论过其中一些，但了解集合为这三个概念带来了新的定义。因此，让我们基于这些新的概念来讨论它们。令$A$和$B$是集合。如果我们将这两个集合组合起来，它将被定义为笛卡尔积$A\times B$。这个积的子集就是函数。下面的定义可能有点令人困惑。解释这些定义的最佳方式是画一张图。在这些定义的右边是与之对应的图像。

函数的定义域、值域和陪域

定义域被定义为一个集合$A$，其中所有元素$a\in A$都至少映射到一个唯一的$b\in B$。

集合$B$中的元素是函数$f:A\to B$在笛卡尔积中映射的值域，其中所有元素$a\in A$都映射到某个元素$b\in B$。

陪域是集合$B$，其中并不一定所有元素$b\in B$都被某个$a\in A$映射到。

请注意，陪域不像其他两个概念那样重要。

例如，取$f(x)={\sqrt {1-x^{2}}}$

该函数的定义域是区间[-1, 1]

由于平方根的存在，平方根内的内容必须严格不小于 0。

$1-x^{2}\geq 0$

$\Leftrightarrow -1\leq x\leq 1$

因此，定义域是

$x\in [-1,1]$

该函数的值域是区间[0, 1]

相应地，值域将是

$f(x)\in [0,1]$

其他类型的变换

还有一个最后的方面需要定义。我们已经对什么使映射成为函数有了很好的了解（例如，它不能是一对多）。但是，为了讨论以下三个定义，您经常会听到它们：单射、满射、双射。

左边的函数映射是单射函数的一个例子，因为它是一对一的。但是，它不是满射，因为值域和陪域不相同。

• 如果函数是一对一的，则该函数是单射的。
• 如果一个函数是满射，则它就是“到”的。也就是说，映射 $f:A\to B$ 具有 $B$ 作为函数的值域，其中函数的陪域和值域相同。
• 如果一个函数既是满射又是单射，那么它就是双射。

同样地，上述定义经常令人感到困惑。我们会在项目符号的右侧提供另一张图片，并提供另一个例子。让我们分析函数 $g(x)=ax^{2}$。

给定：$g(x)=ax^{2}$，其中 $a$ 为常数且 $a\neq 0$。 证明：函数 $g$ 是非满射且非单射。 请注意，函数 $g$ 中唯一变化的元素是 $x$。让我们检查一下这个函数的条件。 它是否单射？令 $g(x)=y$，并解出 $x$。首先，用 $a$ 除。 $y=ax^{2}$ $\Rightarrow {\frac {y}{a}}=x^{2}$ 然后对 $x^{2}$ 开平方。根据定义，${\sqrt {x^{2}}}=\pm {\sqrt {x^{2}}}=\pm x$，所以 ${\frac {y}{a}}=x^{2}$ $\Rightarrow \pm {\sqrt {\frac {y}{a}}}=\pm x$ 但是，请注意我们在上述操作中所学到的知识。由于求解 $x$，我们发现 $x$ 有两个解。然而，这导致 ${\frac {y}{a}}$ 有两个不同的值。这意味着对于一些单独的 $x$，它给出了 $y$，存在两个不同的输入导致相同的值。由于当 $x_{1}\neq x_{2}$ 时，$f(x_{1})=f(x_{2})$，根据定义，它不是单射。 它是否满射？作为我们对输入了解的自然结果，让我们确定函数的值域。毕竟，判断一个东西是否满射的唯一方法是查看值域是否适用于所有实数。确定这一点的一个好方法是找出域的模式。假设我们为域输入一个负数：$f(-x)=a(-x)^{2}=a\cdot (-x)\cdot (-x)=ax^{2}$。这个看似简单的练习告诉我们，负数会给我们值域中的非负数。这是一个重要的信息！对于 $x\in \mathbb {R}$，该函数总是得到 $y>0$ 作为我们的值域。对于集合 $B$，我们在这个集合中有一些元素没有来自集合 $A$ 的映射。因此，$y\leq 0$ 是集合 $B$ 的陪域。因此，此函数不是满射！

这是一个表达式无法通过垂直线测试的例子。

方程测试

垂直线测试

垂直线测试是一种系统性的测试方法，用于确定包含 $x$ 和 $y$ 的方程是否可以作为函数（其中 $x$ 是自变量，$y$ 是因变量）。只需绘制方程的图像，然后绘制一条穿过 $x$ 轴上每个点的垂直线。如果任何垂直线都触碰图像上的多个点，则该方程不是函数；如果该线始终只触碰图像上的一个点，则该方程是一个函数。

右侧的圆形不是函数，因为当$x=1$时，垂直线与图形上的两点相交。

水平线测试和代数一对一测试

类似地，水平线测试虽然不能测试一个方程是否为函数，但可以测试一个函数是否为单射（一对一）。如果任何水平线在任何时候与图形上的多个点相交，那么该函数就不是一对一的；如果该线始终最多与图形上的一个点相交，那么该函数就是一对一的。

代数一对一测试是一种非几何的方法，用于判断一个函数是否为一对一的。基本概念是

假设存在一个函数$f$。如果

$f(a)=f(b)$，并且$a=b$，那么

函数$f$是一对一的。

以下是一个示例：证明$f(x)={\frac {1-2x}{1+x}}$是单射的。

由于该符号是函数符号，所以该方程是一个函数。因此，我们只需要证明它是单射的。设$a$和$b$是函数的输入，并且$f(a)=f(b)$。因此，

${\frac {1-2a}{1+a}}={\frac {1-2b}{1+b}}$

$\Leftrightarrow (1+b)(1-2a)=(1+a)(1-2b)$

$\Leftrightarrow 1-2a+b-2ab=1-2b+a-2ab$
$\Leftrightarrow 1-2a+b=1-2b+a$

$\Leftrightarrow 1-2a+3b=1+a$

$\Leftrightarrow 1+3b=1+3a$

$\Leftrightarrow a=b$

所以，结果是$a=b$，证明了该函数是单射的。

另一个例子是证明$g(x)=x^{2}$ 不是单射的。

使用相同的方法，可以发现$a=\pm b$，这不是$a=b$。所以，该函数不是单射的。

备注

以下是函数定义的直接结果

1. 根据定义，对于每个“输入”，函数仅返回一个与该输入相对应的“输出”。虽然同一个输出可能对应多个输入，但一个输入不能对应多个输出。这在图形上表现为垂直线测试：平行于因变量轴（通常是垂直的）绘制的直线只会与函数的图形相交一次。但是，平行于自变量轴（通常是水平的）绘制的直线可以与函数的图形相交任意多次。等价地，这具有代数（或公式）解释。我们总是可以说如果$a=b$，那么$f(a)=f(b)$，但如果我们只知道$f(a)=f(b)$，那么我们不能确定$a=b$。
2. 每个函数都有一个值集，即函数的定义域，它可以接受作为输入。也许这个集合是所有正实数；也许它是集合 {pork, mutton, beef}。这个集合必须在函数定义中隐式/显式定义。你不能给函数输入一个不在定义域中的元素，因为函数对于该输入元素没有定义。
3. 每个函数都有一个值集，即函数的值域，它可以输出。这可能是实数集。它可能是正整数集，甚至可能是集合 {0,1}。这个集合也必须在函数定义中隐式/显式定义。

函数是数学的重要基础。这种现代解释是历史上数学家努力的结果。直到最近，由勒内·笛卡尔在他的几何（1637）中引入关系的定义。将近一个世纪后，标准符号（$f(x)=y$）首次由莱昂哈德·欧拉在他的无穷分析导论和微积分原理中引入。函数一词也是欧拉时代的新发明，是由戈特弗里德·威廉·莱布尼茨在 1673 年的一封信中引入的，“用来描述与曲线上的点相关的量，例如坐标或曲线的斜率”。最后，函数作为集合间关系的现代定义是 1908 年由戈弗雷·哈罗德·哈代首次引入的，其中两个变量$x$和$y$之间存在关系，使得“无论如何，某些$x$的值至少对应$y$的值”。对于想要了解更多关于函数历史的人，请访问函数历史。

重要函数

下面列出的函数对于微积分至关重要。本节仅作为回顾，并触及这些函数的表面。如果有关于这些函数的任何问题，请在继续之前复习相关资料。更多关于绘图的内容将在第1.4章中解释。

多项式

多项式函数是微积分世界中最常见和最方便的函数。它们频繁出现以及在计算机计算中的应用使它们变得重要。

多项式函数的定义

单个未知数 x 的多项式始终可以写成（或改写成）以下形式

$f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\cdot \cdot \cdot +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}$

为了更简洁，它也可以用求和的形式写成

$\sum _{k=0}^{n}a_{k}x^{k}$

常数

图像上显示了两个线性函数。一个是 $f(x)={\frac {1}{2}}x+2$，另一个是 $g(x)=-2x+5$

当 $n=0$时，多项式可以改写成以下函数

$f(x)=C$，其中 $C$ 是一个常数。

该函数的图形是一条水平线，穿过点 $(0,C)$。

线性

当 $n=1$时，多项式可以改写成

$f(x)=mx+b$，其中 $m{\text{ and }}b$ 是常数。

该函数的图形是一条直线，穿过点 $(0,b)$ 和 $(-{\frac {b}{m}},0)$，该函数的斜率是 $m$。

这是二次函数的图像。

二次

当 $n=2$时，多项式可以改写成

$f(x)=ax^{2}+bx+c$，其中$a,b,c$ 是常数。

此函数的图像是一个抛物线，类似于篮球投进篮筐的轨迹。

如果有关于二次公式和其他基本多项式概念的问题，请查看代数中相应的章节。

三角函数

三角函数也很重要，因为它可以连接代数和几何。由于其重要性和难度，三角函数在这里进行了详细解释。

左侧的曲线是指数函数，而右侧的曲线是对数函数。

指数和对数

指数函数和对数函数在计算导数时具有独特的身份，因此现在是回顾这些函数的好时机。

指数函数和对数函数的定义

指数函数定义为

$f(x)=a^{x}$，其中$a$ 是一个常数。

而对数函数定义为

$f(x)=\log _{b}x$，其中$b$ 是一个常数。

在这些函数中，会经常看到一个特殊的数字：欧拉常数，也称为自然对数的底数。记为$e$，它定义为$e=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}$.

符号函数

符号函数的定义很简单

${\mbox{sgn}}(x)=\left\{{\begin{matrix}-1&{\text{if}}&x<0\\0&{\text{if}}&x=0\\1&{\text{if}}&x>0\end{matrix}}\right.$

函数的性质

有时，很多函数操作如果没有一些基本函数性质的帮助，是无法实现的。

定义域和值域

这个概念在上面已经讨论过了。

增长

虽然看起来很容易发现一个函数是递增还是递减，但如果没有绘图软件的帮助，我们需要用数学方法来判断函数是递增还是递减，否则我们人类的大脑无法立即理解大量信息。

假设一个函数 $f(x)$，其输入为 $x_{1},x_{2}$，并且始终满足 $x_{1}\in [a,b]$，$x_{2}\in [a,b]$ 以及 $x_{2}>x_{1}$。

如果对于所有的 $x_{1}$ 和 $x_{2}$，$f(x_{2})-f(x_{1})>0$，那么

$f(x)$ 在 $[a,b]$ 上是递增的。

如果对于所有的 $x_{1}$ 和 $x_{2}$，$f(x_{2})-f(x_{1})<0$，那么

$f(x)$ 在 $[a,b]$ 上是递减的。

示例： 在哪些区间内 $f(x)={\frac {1}{1-x^{2}}}$ 是递增的？

首先，定义域很重要。因为分母不能为 0，所以该函数的定义域为

$x\in (-\infty ,-1)\cup (-1,1)\cup (1,\infty )$

在 $(-\infty ,-1)$ 中，函数的增长趋势为

设 $x_{1},x_{2}\in [-\infty ,-1]$ 且 $x_{2}>x_{1}$ 因此，

$f(x_{2})-f(x_{1})={\frac {1}{1-x_{2}^{2}}}-{\frac {1}{1-x_{1}^{2}}}={\frac {x_{2}^{2}-x_{1}^{2}}{(1-x_{2}^{2})(1-x_{1}^{2})}}$

$\because$ 由于 $x_{1},x_{2}\in [-\infty ,-1]$

$\therefore$ $(1-x_{2}^{2})(1-x_{1}^{2})>0$

$\because$ $x_{2}>x_{1}$ 且 $x_{1}<x_{2}<0$

$\therefore$ $x_{2}^{2}-x_{1}^{2}<0$

所以，$f(x_{2})-f(x_{1})={\frac {x_{2}^{2}-x_{1}^{2}}{(1-x_{2}^{2})(1-x_{1}^{2})}}<0$

$f(x)$ 在 $(-\infty ,-1)$ 上是递减的。

在 $(-1,1)$ 上

令 $x_{1},x_{2}\in [-1,1]$ 且 $x_{2}>x_{1}$， 因此，

$f(x_{2})-f(x_{1})={\frac {1}{1-x_{2}^{2}}}-{\frac {1}{1-x_{1}^{2}}}={\frac {x_{2}^{2}-x_{1}^{2}}{(1-x_{2}^{2})(1-x_{1}^{2})}}$

$\because$ 由于 $x_{1},x_{2}\in [-\infty ,-1]$

$\therefore$$(1-x_{2}^{2})(1-x_{1}^{2})>0$

然而，$x_{2}^{2}-x_{1}^{2}$ 在 $(-1,1)$ 上的符号无法确定。它只能在 $(-1,0){\text{ and }}(0,1)$ 上确定。

在 $(-1,0)$ 上

$\because$ $x_{2}>x_{1}$ 且 $x_{1}<x_{2}<0$

$\therefore$ $x_{2}^{2}-x_{1}^{2}<0$

在 $(0,1)$ 上

$\because x_{2}>x_{1}{\text{ and }}0<x_{1}<x_{2}$

$\therefore x_{2}^{2}-x_{1}^{2}>0$

因此，$f(x)$ 在 $(-1,0)$ 上是递减的，在 $(0,1)$ 上是递增的。

在 $(1,\infty )$ 上

令 $x_{1},x_{2}\in [1,\infty ]$ 且 $x_{2}>x_{1}$ ，则

$f(x_{2})-f(x_{1})={\frac {1}{1-x_{2}^{2}}}-{\frac {1}{1-x_{1}^{2}}}={\frac {x_{2}^{2}-x_{1}^{2}}{(1-x_{2}^{2})(1-x_{1}^{2})}}$

$\because$ 由于 $x_{1},x_{2}\in [-\infty ,-1]$

$\therefore$$(1-x_{2}^{2})(1-x_{1}^{2})>0$

$\because x_{2}>x_{1}{\text{ and }}0<x_{1}<x_{2}$

$\therefore x_{2}^{2}-x_{1}^{2}>0$

所以，$f(x_{2})-f(x_{1})={\frac {x_{2}^{2}-x_{1}^{2}}{(1-x_{2}^{2})(1-x_{1}^{2})}}>0$

$f(x)$ 在 $(1,\infty )$ 上递增。

因此，函数递增的区间为 $(0,1)\And (1,\infty )$ 。

$\blacksquare$

学习导数后，将会有更多方法来确定函数的增长情况。

奇偶性

奇偶性与对称性相关。偶函数关于 $y$ 轴对称，奇函数关于原点对称。用数学语言描述为

当 $f(-x)=f(x)$ 时，函数为偶函数。当 $f(-x)=-f(x)$ 时，函数为奇函数。

例：证明 $f(x)={\frac {1}{1-x^{2}}}$ 是偶函数。

$\because f(-x)={\frac {1}{1-(-x)^{2}}}={\frac {1}{1-x^{2}}}=f(x)$

$\therefore f(x)$ 是偶函数

$\blacksquare$

函数运算

函数的加减乘除

对于两个实值函数，我们可以对它们进行加减乘除、乘方等运算。

例：对无名函数进行加减乘除运算 如果将函数 $y=3x+2$ 和 $y=x^{2}$ 相加，得到 $y=x^{2}+3x+2$ 。 如果我们从 $y=x^{2}$ 中减去 $y=3x+2$ ，我们得到 $y=x^{2}-(3x+2)$ 。我们也可以写成 $y=x^{2}-3x-2$ 。 如果我们把函数 $y=3x+2$ 和函数 $y=x^{2}$ 相乘，我们得到 $y=(3x+2)x^{2}$ 。我们也可以写成 $y=3x^{3}+2x^{2}$ 。 如果我们把函数 $y=3x+2$ 除以函数 $y=x^{2}$ ，我们得到 $y={\frac {3x+2}{x^{2}}}$ 。

如果一道数学题要求你将两个函数 $f$ 和 $g$ 相加，题目可能会用两种方式表达。

1. 如果你被告知 $f(x)=3x+2$ ， $g(x)=x^{2}$ ， $h(x)=f(x)+g(x)$ ，并询问关于 $h$ 的问题，那么你就是被要求将两个函数相加。你的答案应该是 $h(x)=x^{2}+3x+2$ 。
2. 如果告诉你 $f(x)=3x+2$，$g(x)=x^{2}$，并询问你关于 $f+g$ 的问题，那么你被要求对两个函数进行加法运算。 $f$ 和 $g$ 的加法被称为 $f+g$。你的答案将是 $(f+g)(x)=x^{2}+3x+2$。

对于减法、乘法和除法，也可以做出类似的陈述。

示例：对有名称的函数进行加减乘除运算 令 $f(x)=3x+2$ 并且: $g(x)=x^{2}$。让我们进行加减乘除运算。 ${\begin{aligned}(f+g)(x)&=f(x)+g(x)\\&=(3x+2)+(x^{2})\\&=x^{2}+3x+2\,\end{aligned}}$ , ${\begin{aligned}(f-g)(x)&=f(x)-g(x)\\&=(3x+2)-(x^{2})\\&=-x^{2}+3x+2\,\end{aligned}}$ , ${\begin{aligned}(f\times g)(x)&=f(x)\times g(x)\\&=(3x+2)\times (x^{2})\\&=3x^{3}+2x^{2}\,\end{aligned}}$ , ${\begin{aligned}\left({\frac {f}{g}}\right)(x)&={\frac {f(x)}{g(x)}}\\&={\frac {3x+2}{x^{2}}}\\&={\frac {3}{x}}+{\frac {2}{x^{2}}}\end{aligned}}$ .

函数的复合

在我们讨论函数复合是什么之前，让我们先从一个有趣（且不太复杂）的函数复合应用开始。

示例：掉球 如果我们从一座距离地面 20 米的桥上扔下一个球，那么球在地球上方的高度是时间的函数。物理学家告诉我们，如果我们以秒为单位测量时间，以米为单位测量距离，那么高度关于时间的公式是 $h=-4.9t^{2}+20$。假设我们用相机跟踪球，并且始终希望球位于我们的图像中心。假设我们有 $\theta =f(h)$。该角度将取决于球在地面上的高度，而地面上的高度取决于时间。因此，该角度将取决于时间。这可以写成 $\theta =f(-4.9t^{2}+20)$。我们将 $h$ 替换为它等于的值。这就是组合的本质。

函数的组合是另一种组合函数的方式，它不同于加法、减法、乘法或除法。

函数 $f$ 的值取决于另一个变量 $x$ 的值；然而，该变量可能等于另一个函数 $g$，因此它的值取决于第三个变量的值。如果是这种情况，则第一个变量是第三个变量的函数 $h$；此函数 ($h$) 称为另外两个函数 ($f$ 和 $g$) 的 **组合**。

示例：组合两个函数 让 $f(x)=3x+2$ 以及：$g(x)=x^{2}$。$f$ 与 $g$ 的组合读作“f 与 g 的组合”或“f(g(x))”。 让 $h(x)=f(g(x))$ 那么 ${\begin{aligned}h(x)&=f(g(x))\\&=f(x^{2})\\&=3(x^{2})+2\\&=3x^{2}+2\,\end{aligned}}$ . 有时，数学问题会要求你计算 $(f\circ g)(x)$ ，实际上他们希望你计算 $f(g(x))$ 。 这里，$h$ 是 $f$ 和 $g$ 的复合函数，我们写作 $h=f\circ g$ 。需要注意的是，复合运算不满足交换律。 $f(g(x))=3x^{2}+2$ ，并且 ${\begin{aligned}g(f(x))&=g(3x+2)\\&=(3x+2)^{2}\\&=9x^{2}+12x+4\,.\end{aligned}}$ 所以 $f(g(x))\neq g(f(x))$ 。

函数的复合运算非常常见，主要是因为函数本身很常见。例如，平方和正弦都是函数

${\mbox{square}}(x)=x^{2}$

${\mbox{sine}}(x)=\sin(x)$

因此，表达式 $\sin ^{2}(x)$ 是函数的复合运算

$\sin ^{2}(x)$	$={\mbox{square}}(\sin(x))$
	$={\mbox{square}}({\mbox{sine}}(x))$

(注意，这与 ${\mbox{sine}}({\mbox{square}}(x))=\sin(x^{2})$ 不一样)。由于正弦函数在 $x={\frac {\pi }{6}}$ 时等于 ${\tfrac {1}{2}}$ ，

${\mbox{square}}\left(\sin \left({\tfrac {\pi }{6}}\right)\right)={\mbox{square}}\left({\tfrac {1}{2}}\right)$ .

由于平方函数在 $x={\frac {\pi }{6}}$ 时等于 ${\frac {1}{4}}$ ，

$\sin ^{2}\left({\tfrac {\pi }{6}}\right)={\mbox{square}}\left(\sin \left({\tfrac {\pi }{6}}\right)\right)={\mbox{square}}\left({\tfrac {1}{2}}\right)={\frac {1}{4}}$ .

变换

变换是函数操作中非常常见的一种类型。它们包括对输入或输出乘以、除以、加上或减去常数。乘以常数称为**伸缩**，加上常数称为**平移**。以下是一些示例

$f(2\times x)$ 伸缩

$f(x+2)$ 平移

$2\times f(x)$ 伸缩

$2+f(x)$ 平移

水平和垂直平移的示例

水平和垂直伸缩的示例

平移和伸缩可以是水平的，也可以是垂直的。右侧显示了垂直和水平平移的示例。红色图形表示函数的“原始”状态，实线蓝色图形已水平平移（移动），虚线图形已垂直平移。

伸缩以类似的方式展示。函数

$f(2\times x)$

的输入已翻倍。一种思考方式是，现在输入的任何变化都会翻倍。如果我在 $x$ 上加 1，那么我在 $f$ 的输入上加 2，因此它现在变化的速度将是原来的两倍。因此，这是一个水平伸缩 ${\frac {1}{2}}$ ，因为到 $y$ 轴的距离被**缩短了一半**。垂直伸缩，例如

$2\times f(x)$

稍微更直接一些。在这种情况下，您将函数的输出加倍。输出表示到 $x$ 轴的距离，因此实际上，您已经使函数的图形“更高”了。以下是一些基本示例，其中 $a$ 是任何正数常数

原始图形	$f(x)$	绕原点旋转	$-f(-x)$
水平平移 $a$ 个单位 **向左**	$f(x+a)$	水平平移 $a$ 个单位 **向右**	$f(x-a)$
水平拉伸 $a$ 倍	$f\left(x\times {\tfrac {1}{a}}\right)$	垂直拉伸 $a$ 倍	$a\times f(x)$
垂直平移 $a$ 个单位 **向下**	$f(x)-a$	垂直平移 $a$ 个单位 **向上**	$f(x)+a$
关于 $x$ 轴反射	$-f(x)$	关于 $y$ 轴反射	$f(-x)$

反函数

我们称 $g(x)$ 为 $f(x)$ 的反函数，如果对于所有 $x$ 

$g(f(x))=f(g(x))=x$

一个函数 $f(x)$ 具有逆函数当且仅当 $f(x)$ 是单射的。例如，$f(x)=x+2$ 的逆函数是 $g(x)=x-2$。函数 $f(x)={\sqrt {1-x^{2}}}$ 没有逆函数，因为它不是单射的。类似地，三角函数的逆函数必须经过变换和限制才能被视为有效的函数。

符号

$f$ 的逆函数记为 $f^{-1}(x)$。因此，$f^{-1}(x)$ 被定义为遵循以下规则的函数

$f(f^{-1}(x))=f^{-1}(f(x))=x$

要确定给定函数 $f$ 时 $f^{-1}(x)$，用 $f^{-1}(x)$ 代替 $x$，用 $x$ 代替 $f(x)$。然后解出 $f^{-1}(x)$，前提是它也是一个函数。

示例： 给定 $f(x)=2x-7$ ，求 $f^{-1}(x)$ 。

将 $f^{-1}(x)$ 代入 $x$，并将 $x$ 代入 $f(x)$ 。然后解出 $f^{-1}(x)$ 。

$f(x)=2x-7$

$\Leftrightarrow x=2[f^{-1}(x)]-7$

$\Leftrightarrow x+7=2[f^{-1}(x)]$

$\Leftrightarrow {\frac {x+7}{2}}=f^{-1}(x)$

为了检查你的工作，确认 $f^{-1}(f(x))=x$ 。

$f^{-1}(f(x))=$$f^{-1}(2x-7)={}$${\frac {(2x-7)+7}{2}}={\frac {2x}{2}}=x$

如果 $f$ 不是一对一的，那么，正如我们之前所说，它没有逆。然后这种方法将失败。

示例： 给定 $f(x)=x^{2}$ ，求 $f^{-1}(x)$ 。

将 $f^{-1}(x)$ 代入 $x$，并将 $x$ 代入 $f(x)$ 。然后解出 $f^{-1}(x)$ 。

$f(x)=x^{2}$

$x=(f^{-1}(x))^{2}$

$f^{-1}(x)=\pm {\sqrt {x}}$

由于 $f^{-1}(x)$ 有两种可能性，它不是一个函数。因此 $f(x)=x^{2}$ 没有逆函数。当然，我们也可以通过应用水平线测试从图形中发现这一点。但是，拥有多种解决问题的方法很有用，因为在特定情况下，其中一些方法可能非常困难，而另一些方法可能很容易。例如，我们可能只知道 $f(x)$ 的代数表达式，而不是图形。

外部链接

• Khan Academy 上关于函数及其图形的视频