结合代数/二元数

除法二元数 C 是复数域。

$z=x+yi,\ \ i^{2}=-1,\ \ x,y\in R,\quad z^{*}=x-yi.$

许多学术期刊和大学教材都致力于 C 的函数理论，例如维基教科书 复分析。

除法二元数

令 $z=x+iy,\ \ zz^{*}=x^{2}+y^{2}=N(z)$ 是从 0 到 z 的欧几里得距离的平方。此外，从 0 到 w 和 z 的向量在 C 中是垂直的，z ⊥ w，当 $zw^{*}+wz^{*}=0.$ 这些特性使 C 成为展示欧几里得几何主题的理想工具。

命题：w:菱形的对角线是垂直的。

证明：四个二元数 $\{0,z,w,z+w\},\ \ zz^{*}=ww^{*}$ 构成一个菱形。一条对角线是 z + w，另一条平行于 z – w。它们是垂直的，因为

$(z+w)(z-w)^{*}+(z-w)(z+w)^{*}=0.$.

命题：欧几里得平面等距变换要么是平移 z → z + t，要么是旋转，如 $z\rightarrow \omega z,\quad \omega \omega ^{*}=1.$

请注意，关于 p 的旋转可以通过以下算术运算得到：$z\mapsto \omega (z-p)+p=\omega z+p(1-\omega )$

其中最后一个表达式显示了等价于在 0 处的旋转和平移的映射。因此，给定直接等距变换 $z\mapsto \omega z+a,$，可以解出 $p(1-\omega )=a$ 以获得 $p=a/(1-\omega )$ 作为等效旋转的中心，前提是 $\omega \neq 1$，即前提是直接等距变换不是纯粹的平移。

莫比乌斯变换

莫比乌斯变换作用于除法二元数上的射影直线。这条直线上的点使用射影坐标：（a,b）~(c,d) 当且仅当存在一个非零 u 使得 ua=c 且 ub=d。这个二元关系 ~ 对除法二元数对是一个等价关系，其中等价类记为 [a:b]，对于类中的任何对 (a,b) 而言。射影直线上没有点对应于 (0,0)。

作为射影线性变换，莫比乌斯变换可以写成

$[z,w]{\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}}=[az+bw,\ cz+dw].$

点 [z,0] = [1,0] 对应于关于 C 中其余部分的无穷远点，它由 [z,w]=[zw⁻¹, 1] 表示。

练习：证明莫比乌斯变换将无穷远点映射到 a/c。

对于其他点，令 w = 1，所以

$[z,1]{\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}}=[az+b,\ cz+d]=\left[{\frac {az+b}{cz+d}},1\right]$ 当 *z* ≠ −d/c 时。

为了避免奇异变换，*ad* −*bc* 被认为不为零。在莫比乌斯变换下的一些特殊变换包括

• 情况 1：*b*=*c*=0，*d*=1。*a*>1 放大，0<*a*<1 缩小，*a*=-1 关于 0 反射，*aa*^*=1 旋转
• 情况 2：*c*=0，*a*=*d*=1，*b*=*t* 平移二元平面，在 C 中平移 *t*
• 情况 3：*a*=*d*=0，*b*=*c*=1 C 的乘法逆，扩展到 0 和无穷大。

注意旋转 *z* 到 *uz* 将 [0,1] 和 [1,0] 保持不变。此外，任何两个不同的点 *p* 和 *q* 可以通过以下方式放置到这些极性对立面：

$[z,1]{\begin{pmatrix}1&1\\-q&-p\end{pmatrix}}=[z-q,\ z-p].$

第三个点 *r* 的图像不能是 [1,1]，因为 *p* ≠ *q*，但 *r* 可以移动到那里：令 $w={\frac {r-p}{r-q}}.$ 那么

$[r,1]{\begin{pmatrix}w&1\\-wq&-p\end{pmatrix}}=[rw-wq,\ r-p]=[1,1].$

因此，构建的变换将 *p*, *q*, *r* 分别映射到无穷大、0、1。应用于第四个二元数 *z*，图像为 **交叉比** [*z*, *p*, *q*, *r*]。

练习

1. 构造将 −*i* 映射到 [1,0]，0 映射到 [*i*,1]，*i* 映射到 [1,1] 的变换。在该变换下，单位圆盘 *zz*^* < 1 的图像是什么？
2. 投影线上的两个点用旋转固定。证明一个固定三个点的莫比乌斯变换必须是恒等映射。
3. 如果 μ 是一个圆或直线，并且 *g* 是一个莫比乌斯变换，那么 μ*g* 是一个圆或直线。
4. 如果 *z* 在 *p*, *q*, *r* 的交叉比变换下的图像是一个实数，那么四个点 *z*, *p*, *q*, *r* 位于同一个圆或直线上。

汉密尔顿

近两个世纪前（1834 年和 1837 年），威廉·罗恩·汉密尔顿 在探索从实数形成二元数时，写下了代数对。参见他的论文 共轭函数理论或代数对，由大卫·R·威尔金斯编辑。汉密尔顿将一对的乘积写为

$(a_{1},\ a_{2})(b_{1},\ b_{2})=(a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2},\ a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}).$

这是威尔金斯文本中 *爱尔兰皇家科学院会刊* 第 17 卷第 93 页的方程 37。

这种建立二元数（“复数”）领域的方法是由w:雷蒙德·怀尔德 在 1965 年的 *数学基础导论* 第二版（第 62 页）中提出的。这位作者在 1981 年的 *数学作为一种文化体系* （第 33 页）中指出，使用“实数的有序对（*a*, *b*），*a* 和 *b* 以及操作这些对的规则”是汉密尔顿强加的起源，创造了一个新的概念。

欧几里得矛盾

双曲几何中的平行线比欧几里得几何中的更多。

欧几里得的平行公理被表述为在给定直线外，穿过一个给定点的唯一平行直线。w:罗巴切夫斯基 的几何提供了穿过一个点，而不是给定直线，并且与之平行的无限条直线。在图中，考虑给定的蓝色弧，以及表示不与蓝色弧相交的弧的粉红色弧。

二元数能够在单位圆盘中建立双曲平面的模型。该模型中的测地线是与单位圆垂直相交的圆弧。该模型的运动是保持圆盘不变的莫比乌斯变换。这些变换由具有 $uu^{*}-vv^{*}=1.$ 的同态表示。

事实上，对于投影线上二元数的点 [z : 1]，SU(1,1) 的作用由以下给出

${\bigl [}\;z:\;1\;{\bigr ]}\,{\begin{pmatrix}u&v\\v^{*}&u^{*}\end{pmatrix}}=[\;u\,z+v^{*}:\,v\,z+u^{*}\;]\,=\,\left[\;{\frac {uz+v^{*}}{vz+u^{*}}}:\,1\;\right]$

因为在射影坐标系中 $(\;u\,z+v^{*}:\;v\,z+u^{*}\;)\thicksim \left(\;{\frac {\,u\,z+v^{*}\,}{v\,z+u^{*}}}:\;1\;\right)~.$

写作 $\;suv+{\overline {suv}}=2\,\Re {\mathord {\bigl (}}\,suv\,{\bigr )}\;,$ 除法二进制运算表明

${\bigl |}u\,z+v^{*}{\bigr |}^{2}=S+z\,z^{*}\quad {\text{ and }}\quad {\bigl |}v\,z+u^{*}{\bigr |}^{2}=S+1~,$

其中 $~S=v\,v^{*}\left(z\,z^{*}+1\right)+2\,\Re {\mathord {\bigl (}}\,uvz\,{\bigr )}~.$ 所以，$~z\,z^{*}<1\implies {\bigl |}uz+v^{*}{\bigr |}<{\bigl |}\,v\,z+u^{*}\,{\bigr |}~$ 使得它们的比率位于开圆盘中。