结合代数/双元数

L. E. Dickson 首次提出了一种加倍代数的构造方法，并由 A. A. Albert 叙述。该方法假设一个具有共轭 * 的代数，并生成一个维度加倍的代数，以及一个新的共轭：（u, v)* = (u*, −v)，其中 u* 表示原始共轭。新代数的乘积由下式给出

$(u,v)\times (w,x)=(uw-vx^{*},ux+vw^{*}).$

从一个域及其共轭开始，可以构造一系列代数。当起始域是实数 $\mathbb {R} .$ 时，会产生除双元数。由于实数没有共轭，所以用单位元代替，并且共轭如上所述产生。继续构造，使用双元数共轭，会得到四元数，正如将要看到的那样。然而，双元数共轭可以被遗忘（用单位元代替），并根据上面给出的 Dickson/Albert 方法生成双双元数。

然后，双双元数 是两个除双元数 (u, v) 的对，其共轭为 (u, v)* = (u, −v)。双双元数的范数为

$(u,v)(u,v)^{*}=(u,v)(u,-v)=(u^{2}-v(-v),\ u(-v)+vu)=(u^{2}+v^{2},\ 0).$

注意，该范数是一个除双元数，而不是产生度量的范数。

此外，在 C 中 i² = −1，双双元数 (u, i u) 的范数为零。这样的元素被称为零向量。双双元数形成一个分裂代数，因为有些元素是零向量。

两个双双元数的乘积是可交换的，因为生成共轭是单位元。最值得注意的是，存在一个双双元数 j = (0, i)，其中 j² = (0, i)² = (−i², 0) = +1。双双元数在基底 {1, j } 上的二维子代数被称为 分裂双元数。

历史

在 19 世纪中叶的英国，人们考虑过一个具有两个可交换的虚单位的代数。Hamilton 在他的双四元数中使用了可交换的 h。James Cockle 发现虚单位 hi 的乘积的平方为正一，因此他于 1848 年在《哲学杂志》中写道，创造了“代数中一个新的虚数”。他使用字母 j，即 j² = +1，已被广泛采用。尽管 Hamilton 提供了向量运算的词汇（包括 del 运算符），但这些探索是在集合论、群论和数学符号展开之前进行的。在实轴上取 1，两个虚单位 h 和 i 以及它们的乘积 hi，Cockle 的可交换代数 T（四元数）具有四个元素的实基底。到 19 世纪末，四元数和四元数被称为 超复数。

1892 年，Corrado Segre 在《数学年鉴》（第 40 卷：455 至 67 页）中引入了 双复数。

该代数的除双元数基底用于 Dickson 风格的 双四元数 构造。