结合代数/超越范式

在圆的古代几何学中，地平线上方角度和恒星高度之间的关系被称为正弦函数。虽然是圆的性质的一部分，但它不是代数函数，因为无法用有限的加法、减法、乘法、除法、幂或根序列表示。因此它被称为超越函数。将这个函数“正弦”邀请到代数操作的礼貌社交圈需要一项根本性的创新：一个常数“底”b > 0 乘以一个变量指数： $y=b^{x}.$ 这一创新由莱昂哈德·欧拉在他的无穷分析导论（1748）中使用。但导致这一发展的研究归功于三位耶稣会士：格雷戈里·德·圣文森特、A. A. 德·萨拉萨和马林·梅森，他们在上个世纪致力于这项研究。他们解决了古代的求积问题，即双曲线的求积，自阿基米德在几千年前证明了抛物线的求积以来，这是一个突出的问题。

首先考虑一个单位正方形面积。然后考虑那些面积与正方形相同的矩形。如果x 和y 是这样的矩形的边，则y = 1/x 的图形表示矩形{(0,0), (x,0), (0, 1/x), (x, 1/x)}。x = y = 1 的矩形是单位正方形s。现在假设b > a > 1 且 (b, 1/b) 是矩形h 的角，而 (a, 1/a) 是矩形g 的角。这些矩形可以被视为彼此的挤压形式：h 是被a 挤压的s，g 是被b 挤压的s。然后h 可以通过a⁻¹ 重新膨胀到s，因此g 是通过用a⁻¹b 挤压h 获得的。

挤压操作对应于一个正实数p > 0。通常情况下，挤压被视为p > 1，因此x 扩展而y 收缩，同时面积保持不变。这种面积保持不变的性质，称为等面积映射，将挤压与平移、旋转和剪切映射联系起来，这些映射共享这一性质。挤压不是经典运动学的一部分，但出现在狭义相对论中，作为光速有限性暴露了经典速度矢量加法的非线性之后对速度的重新线性化。

注意双曲线xy = 1 的对称轴 L：x = y。双曲线上的一点 (x, 1/x) 确定了一个双曲扇形 S(1,x)，由 L、双曲线和从 (0,0) 到该点的直线限定。从该点到 L 的垂直投影建立了双曲正弦 sinh v，其中v 是扇形 S(1,x) 的面积，通常称为双曲角。投影的足点通过从 (0,0) 到足点的对角线的长度确定 cosh v。根据面积为 2π 的圆，sinh 和 cosh 被 √2 的因子归一化。

无穷级数

莱昂哈德·欧拉提供了无穷级数作为进入超越函数的途径

f(x)\ =\ \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}\ .

看看当 f 被要求是它自身的导数时会发生什么：第 n 项的导数是

n\ a_{n}\ x^{n-1},\ {\text{so}}\ f\ =\ f^{\prime }\ {\text{implies}}\ a_{n-1}\ =\ na_{n}\ {\text{and}}\ \ a_{n}=a_{n-1}/n.

给定 a₀， $a_{n}\ =\ a_{0}/n!$ ，其中 n! 是阶乘。取 a₀ = 1。现在 $f(1)=\sum _{n=0}^{\infty }1/n!$ ，欧拉计算得出结果为 2.71828…，现在被指定为数学常数 e。

函数 f 被称为指数函数

f(x)\ =\ \exp(x)=e^{x}\ =\ \sum _{n=0}^{\infty }x^{n}/n!.

欧拉还将该和式分解为偶数项和奇数项： $e^{x}\ =\ \cosh x+\sinh x,$ ，其中 cosh 取偶数项，sinh 取奇数项。以下引理将在稍后需要。

引理： $\cosh 2x=\cosh ^{2}x+\sinh ^{2}x.$

证明：e^−x 的奇数项变为负数，所以在

\cosh x=(e^{x}+e^{-x})/2

中抵消，并在

\sinh x=(e^{x}-e^{-x})/2.

中相加。

现在对引理的右侧平方并相加，得到 $(e^{2x}+e^{-2x})/2\ =\ \cosh 2x.$

练习

使用欧拉公式证明正弦和余弦具有交替级数。
使用无穷级数，证明 $\ \forall x\in R,\ \cos(ix)=\cosh x\ {\text{and}}\ \sin(ix)=i\sinh x.$
交换面积为 1/2 的三角形以证明双曲线扇形与双曲线下方且紧靠其渐近线的凹陷梯形具有相同的面积。
将挤压映射称为“双曲旋转”的优缺点是什么？

示例

以下给出了 AC 代数的一个示例：设 A = (R², xy) 为实平面，具有二次型 xy。此外，设 A 配备逐分量加法和乘法，使其成为实代数。在这种情况下，用 N(x,y) = xy 表示。然后

N(x_{1},y_{1})N(x_{2},y_{2})=(x_{1}y_{1})(x_{2}y_{2})=x_{1}x_{2}y_{1}y_{2}=N((x_{1},y_{1})(x_{2},y_{2})).

因此，据说 N 在 A 中的乘法上复合，A 可以称为复合代数。但是，在这本书中，AC 代数具有一个称为共轭的对合，用 x* 表示，用于通过 N(x) = x x* 定义 N。尽管如此，上面构造的代数 A 与下一章中描述的分割二元数密切相关。分割二元数是 A 的归一化形式，其中乘法单位与原点之间的距离为单位距离，并且它与复数域 C 具有某些形式对应关系。在 A 中，二次型可以解释为权重，因此使二次型保持不变的变换是等压变换，这是 1999 年由彼得·奥尔弗（《经典不变式理论》，第 217 页）用来描述挤压映射的名称。

范畴论处理

在 Guy Roos 在美国数学学会出版的一部更大的著作（ISBN 978-0-8218-4459-5）中收录的论文“Cayley 代数”中，他提出了一系列练习，这些练习给出了合成代数的范畴表达。假设 A 是域 K 上的合成代数，因此它有一个范数 n: A → K，并且对于 A 中的任何 a、b，都有 n(ab) = n(a) n(b)。合成代数有时是非交换的，因此假设 A 有非交换的乘法，尽管加法运算则是交换的。这些练习最终表明，合成代数是可换代数。这个性质与三个全称量词的结合律命题 a(bc)=(ab)c 相关，不同之处在于，可换代数只满足两个量词，这意味着表达式中 a=b 或 b=c。特别是，当 $ab^{2}=(ab)b\ \ {\text{and}}\ \ a^{2}b=(ab)b,$ 时，该代数就是可换的。

Roos 练习

定义：(a:b) = n(a+b) – n(a) – n(b)

2(ab:ab) = (a:a)(b:b)
(ac:ad) = n(a)(c:d)
(ac:bc) = (a:b) n(c)
(ac:bd) + (ad:bc) = (a:b)(c:d)
(aa:d) + n(a)(d:1) = (a:1)(a:d)
(aa – (a:1)a + n(a)1 : d) = 0
aa – (a:1)a + n(a) = 0

定义：元素 a 的迹为 t(a) = (a:1)

作为单位代数，1 在 A 中，并且 A 作为线性空间具有基底。将 e = 1e 写为与乘法单位 1（在口头交流中）相关的基底元素。

定义：a 的共轭为 a* = (a:e)e – a。

(a*)* = a 且 n(a*) = n(a)
a + a* = t(a)
n(a) = a a*
(a:b) = (a*:b*)
(ac:d) + (ad:c) = ((a:1)c : d)
(ad:c) + (a*c : d)
(da:c) = (ca*:d)
(ax:y) = (x:a*y) 且 (xa:y) = (x:ya*)
(ab:1) = (a:b*) = (ba:1)，因此 t(ab) = t(ba)
t((ab)c) = (ab:c*) = (a:c* b*) = (ca :b*) = t((ca)b)
t((ab)c) = t(ca)b) = t(bc)a) = t(a(bc))
(ab)* = b*a*
- 对于任何 c，((ab)* :c) = (ab:c*) = (ca:b*) = (c:b*a*)
(a:b)c = b*(ac) + a*(bc)
- 对于任何 d，(a:b)(c:d) = (b*(ac):d) + (a*(bc): d)
(a:b)c = (ca)b* + (cb)a*
n(a)c = a*(ac) = (ca)a*
(a*a)c = a*(ac) 且 a+a* 在 K 中意味着 a²c = a(ac)
(ca)a = ca²

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