结合代数/单应性

单应性的概念已经被引入作为射影二元线上莫比乌斯变换。实际上，这个概念已经被扩展到使用四元数的螺杆位移，其中已经考虑了代数的非交换性。

由于结合性质是数学群的必要条件，因此本文要求AC代数具有结合性质，以便代数具有乘法群。此外，结合律和乘法对加法的分配律，在以下矩阵乘法的应用中被使用

命题：在结合代数上，单应性 ${\begin{pmatrix}p&q\\r&s\end{pmatrix}}$ 在射影线上是良好定义的。

从A的单位群中取u，(ua, ub) 是射影线P(A)上一个点的齐次坐标。写成：$(a,b)\sim (ua,ub)$ 并且 ~ 是A x A上的一个等价关系；例如，由于结合律，它是一个传递关系。

$(ua,\ ub){\begin{pmatrix}p&q\\r&s\end{pmatrix}}=((ua)p+(ub)r,(ua)q+(ub)s)$

$=(u(ap)+u(br),u(aq)+u(bs))=(u(ap+br),u(aq+bs)).$

这些等式，涉及右侧的矩阵乘积，表明矩阵变换的结果不依赖于来自等价类关系的代表 (a,b)。

条件 $aA+bA=A$ 要求对 (a,b) 能够生成 A：它们不能同时位于一个真子代数中。该射影线 是

$P(A)=\{U[a:b]:aA+bA=A\},$ 其中 U[a: b] 代表 (a, b) 的等价类。

嵌入，远近平移

A到P(A)的规范嵌入由

$E:\ A\rightarrow P(A)\ {\text{by}}\ a\mapsto U[a:\ 1].$

如果ab = 1，则 $U[a:\ 1]\sim U[1:\ b]$ 因为 a ∈ U。对于这样的 a，

$E(a){\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}\ =\ E(a^{-1}),$

表明 ${\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}$ 将 U ⊂A 中的元素移动到 U[a⁻¹: 1] 的等价类，从而将乘法逆映射扩展到 P(A)。

$U[0:\ 1]{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}=U[1:\ 0]$

被称为无穷远点，但除非A 是一个除环，否则它不是 $P(A)\backslash E(A).$ 中的唯一元素。

对于一个正实数p，${\begin{pmatrix}p&0\\0&1\end{pmatrix}}$ 对 E(A) 的作用与 A 中的扩张 a → pa 相一致。此外，内自同构可以通过射影变换扩展

$U[a:\ 1]{\begin{pmatrix}u&0\\0&u\end{pmatrix}}\ =\ U[au:\ u]\ \sim \ U[u^{-1}au:\ 1].$

用 A 到 P(A) 的规范嵌入 z → [z : 1 ]，变换 ${\begin{pmatrix}1&0\\t&1\end{pmatrix}}$ 是一个近似平移。另一个嵌入 z → [ 1 : z ] 将原点映射到 [ 1 : 0 ]，有时写作 $\infty$，因为它相对于规范嵌入是无穷远点。变换

$[z:1]{\begin{pmatrix}1&t\\0&1\end{pmatrix}}=[z:zt+1]$ 是一个远平移，因为它对第二个嵌入的影响

$[1:z]{\begin{pmatrix}1&t\\0&1\end{pmatrix}}=[1:z+t].$

命题 : 假设 ${\begin{pmatrix}a&c\\b&1\end{pmatrix}}\in SL(2,A).$ 则该矩阵是远平移和近似平移的乘积。

证明：1 = a − bc 意味着 a = 1 + bc。则

${\begin{pmatrix}1&c\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\b&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1+bc&c\\b&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a&c\\b&1\end{pmatrix}}.$

共形时空变换

1910 年，哈里·贝特曼 和 以西结·坎宁安 提到了“时空的共形变换”，尽管描述方法是通过尊重麦克斯韦电磁方程的变换的微分几何。 使用 M ⊂ B 来表示时空，以及 AC 代数 B 来表示 P(B) 上的单应变换，一般的共形变换可以写成

$g={\begin{pmatrix}pu&b\\a&v\end{pmatrix}}.$ 更常被提及的子群是仿射群 (b = 0)、庞加莱群 (p = 1 且 b = 0) 以及 洛伦兹群 (p = 1 且 a = b = 0)。

g 中有 15 个自由度：p 为 1 个，a 和 b 各贡献 4 个，而 u 和 v 贡献 6 个。

特别地，${\begin{pmatrix}u&0\\0&u\end{pmatrix}}$ 其中 u = exp(a r) 在洛伦兹群中生成正交群 O(3)，以及

${\begin{pmatrix}v&0\\0&1/v\end{pmatrix}}$ 其中 v = exp(b hr) 生成提升，根据上一章的练习。

练习

1. 找到有两个元素的域上的射影线的元素坐标。

2. 对于扩展平移、旋转和反演的 g，找到 {x : xg = x}，即 g 的不动点集。

交叉比

在实射影线上，单应变换

${\begin{pmatrix}-1&1\\a&b\end{pmatrix}}$ 将 [a: 1] 映射到 [0: 1]，并将 [b: 1] 映射到 [1: 0]。

它们之间的数字具有正实数值。 区间 (a,b) 的中点映射到 [1: 1]。

对于交换环（这里为二元数），存在一个交叉比单应变换，它将来自环的充分不同的三元组映射到伽罗瓦域 Z/2Z 上的射影线上，该射影线包含在任何环上的射影线中。 但在非交换情况下（这里为四元数），分离点 p 和 q 的单应变换只是有条件的规范化。 事实上，将

${\begin{pmatrix}t-q&0\\0&t-p\end{pmatrix}}$ 与 p 和 q 的分离

$[t:1]\rightarrow [t-p:\ t-q]\rightarrow [(t-p)(t-q):\ (t-q)(t-p)]\neq [1:1].$

练习：证明 $t(q-p)+(p-q)t+qp-pq=0$

足以提供将 {p, q, t} 映射到 {[0 :1], [1 :0], [1, 1] } 的规范化单应变换。