结合代数/分裂四元数

虚数单位v使得v ² = −1位于分裂四元数中的双叶双曲面

至少有三个通往分裂四元数的门户：正方形的二面体群、M(2,R)中的矩阵乘积以及修改后的凯莱-狄克森构造。麦克斯·祖恩关于分裂八元数的工作表明，在范畴的构造中包含分裂实数AC代数的必要性。

通过二面体群的发展始于引言中的一个引理，并通过以下练习完成。

或者，可以从M(2,R)中取出的基底{1, i, j, k}开始，其中单位矩阵为1，${\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}$为j，${\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}$为i，而${\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}$为k。一些矩阵乘法的练习表明它们像分裂四元数一样反交换，但有些乘积不同

j² = +1 = k²，  j k = − i 。

那么分裂四元数的实数AC代数使用系数w, x, y, z ∈ R来表达一个元素、它的共轭以及二次型N

$q=w+xi+yj+zk,\quad q^{*}=w-xi-yj-zk,\quad N(q)=w^{2}+x^{2}-y^{2}-z^{2}.$

练习

1. 正方形上的对合是什么？

2. 作为反射，反射轴的入射角是多少？

3. 这些反射的合成具有什么旋转角度？

计算

通过基本的计算练习可以深入了解分裂四元数的结构和动力学。这些练习使用j² = +1 = k²和jk = −i，这与四元数群相反，四元数群用相同的字母i、j、k表示，但这里指的是正方形的二面体群。

1. 对于r = j cos θ + k sin θ，证明r² = +1 = −r r*。
2. 计算ir。
3. 回想一下<q, t> = (q t* + t q*)/2。证明<q, t> = q t*的实部
4. 定义：当<q, t> = 0时，q和t是正交的。
5. 证明对于任何theta，r和ir是正交的。
6. 令p = i sinh a + r cosh a。证明对于任何a和r，p² = +1。
7. 令v = i cosh a + r sinh a。证明v² = −1。
8. 对于给定的a和r，证明p和v是正交的。
9. 令m = p exp(bp) = sinh b + p cosh b。证明m m* = −1。
10. 令w = exp(bp) = cosh b + p sinh b。证明m与w正交。
11. 证明m与v正交。
12. 对于任何定义r, p, w, v和m的θ、a和b，集合{m, w, v, ir}是正交基。
13. 如果u是单位，则<qu, tu> = uu* <q, t>。