抽象代数/射影直线

环上的射影直线

对于环 A，设 $A=U\cup N$ 是环 A 分解成单位元 U 和非单位元 N，使得 $U\cap N=\emptyset .$

环元素对 a 和 b 可以在 A x A 中找到。另一对 c 和 d 与第一对相关，当存在一个单位元 u 使得 ua = c 且 ub = d 时。使用 U 的群性质，可以证明这种关系是一种等价关系。这种关系的等价类是射影直线的点，前提是这对 a, b 生成不真理想 A 本身。

$P(A)=\{[a:b]:aA+bA=A\},$ 其中 [a:b] 表示 (a,b) 的等价类。

注意，当 a b = 1 时，则 [a : 1 ] = [1 : b]，因此对于 U 中的元素，交换坐标会产生相反分量中的乘法逆元。

射影直线接收 A 的两个嵌入：z → [z : 1] 和 z → [1 : z]。在嵌入的 U 上，P(A) 中的交换涉及乘法逆元，而在嵌入的 N 上，交换会带来相反嵌入中的相同非单位元。

• 引理： m + n 属于 U 意味着 m − n 属于 U。

证明：am + bn = 1 = am + (−b)(−n) 意味着 m − n 属于 U。

当 A 是一个交换环时，存在一个关系 $p\parallel q$ 适用于 P(A) 中的某些对 p 和 q

• 定义：当 ad − bc 属于 N（非单位元）时，点 p = [a:b] 和 q = [c:d] 为点平行。（Benz，第 84 页，注意公式错误）

此关系始终是自反和对称的。

• 练习：证明，在 A 为域的情况下，则 $\parallel$ 是等价关系。

对于 $\parallel$ 成为等价关系，可以在具有唯一最大理想（称为局部环）的环中证明传递性。

证明：$[a:b]\parallel [c:d]\ \equiv \ ad-bc\in N.$ 例如，对于 m，n 属于 N，[n:1] 和 [m:1] 是平行的，但 [n:1] 和 [1:m] 不是。在 A 中，如果主理想 [m] 和 [n] 始终相同，那么 A 是局部环，反之亦然。在这种情况下，平行关系是传递的。

对偶数环是局部环的一个例子。

单应性

定义：对于环 A，M(2,A) 表示具有来自 A 的元素的 2x2 矩阵。使用 A 的运算以及矩阵加法和乘法，M(2,A) 本身就是一个环。

交换是 P(A) 上单应性的一个例子，可以用 ${\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}\in M(2,A).$ 表示。M(2,A) 中的矩阵作用表示 P(A) 的变换。左侧的行对和右侧的 M(2,A) 元素是乘法变换中的两个因子。当这样一个矩阵的行列式是环中的一个单位元时，该矩阵在 M(2,A) 中具有逆矩阵。

例如，${\begin{pmatrix}1&1\\-p&-q\end{pmatrix}}$ 的行列式为 p – q。当 p 和 q 属于 N，且 p+q 也属于 N 时，该矩阵是奇异的（没有逆矩阵），p 和 q 是点平行的。如果上面的行列式是一个单位元，那么该矩阵属于 P(A) 上的单应群。查看第一个嵌入，它将 [p:1] 映射到零，将 [q:1] 映射到无穷大。根据 Walter Benz，当没有单应性通过“链”（即 A 是 Q 上的代数的射影直线 P(Q)）连接 p 和 q 时，p 和 q 是点平行的。单应性将 p 和 q 移动到所有射影直线共有的两个点上。

原始环 A 的运算由作用在嵌入上的 M(2,A) 的元素表示。乘以单位元 *u* 对应于 ${\begin{pmatrix}u&0\\0&1\end{pmatrix}},$，而加 *t* 对应于 ${\begin{pmatrix}1&0\\t&1\end{pmatrix}}.$ 此外，M(2,A) 包含矩阵 ${\begin{pmatrix}1&t\\0&1\end{pmatrix}}$，对应于第二个嵌入中的加法，或者相对于第一个嵌入的“无穷远处的平移”。

• w:Walter Benz (1973) Vorlesungen über Geometrie der Algebren，§2.1 域上的射影直线，§2.1.2 射影群，§2.1.3 传递性性质，§2.1.4 交比，Springer 和 Internet Archive。