结合代数/导论

一个结合代数，或AC代数，(A, +, ×, *) 是一个结合代数 (A, +, ×) 同时也是一个合成代数 (A, *)。 就数学结构的公理而言，这些代数的特点是

$\forall a,b,c\in A\ \ (ab)c=a(bc),$ 以及

$\forall a,b\in A\ \ (ab)^{*}(ab)=(aa^{*})(bb^{*}).$

一个合成代数被构造为一个 域上的代数 F，并配备了一个映射 $N:\ A\rightarrow F\ \ {\text{by}}\ \ a\mapsto aa^{*}.$ 涉及共轭 (*) 的公理表达了 N 在 A 和 F 的乘法群之间 群同态 的性质。

结合代数分为三个层次：一元、二元和四元。 本文中的单元层次将是 R，实数，或 C，复数。 在单元层次上，共轭是恒等映射，以及 $N(a)=a^{2}$ 在这一级别。

这本书将描述另外五个结合代数：在 C 上只有一个二元和一个四元 AC 代数，但在 R 上却有两个。 后者中的两个是除代数，并且有最多的文献。 R 上的另外两个是分裂合成代数；它们拥有零向量 $(aa^{*}=0).$

R 或 C 上的结合代数

正方形对称轴上的反射会生成 8 阶二面体群。

• R = 实数
• C = 除二元，也被称为复数
• D = 分裂二元，也称为分裂复数
• T = 双二元，也称为双复数，也称为四元数
• H = 除四元数，也称为哈密顿实四元数
• Q = 分裂四元数，也称为共四元数
• B = 双四元数，也称为复四元数

术语四元数和共四元数是由詹姆斯·考克尔在哲学杂志中使用，是在哈密顿关于 H 和 B 的讲座之后。 术语二元，是一个重要的语言插入，由凯文·麦克里蒙在其著作约旦代数概览（2004 年）中使用。

任何 AC 代数都可以为线性分数变换提供参数，这里称为射影变换，正如射影几何中的传统用法一样。 演示从除二元的莫比乌斯变换和交叉比射影变换的构造开始。 三维运动学用四元数射影变换来表示。 用双四元数射影变换来描述共形映射所表达的宇宙学对称性。

在 AC 代数 A 中，$\ \{x\in A:x\ =\ x^{*}\}$ 是标量域，在本文中是 R 或 C。 在 R 的情况下，它是嵌入在 A 中的实数轴。 对于元素 $x\in A,\ \ (x+x^{*})/2$ 是x的标量部分，对于实代数来说，它是x的实部。

每个代数 A 在 $N(x+y)-N(x)-N(y)$ 上有一个双线性形式，写作

$\langle x,\ y\rangle \ :={\tfrac {1}{2}}(\ (xy^{*})+(x^{*}y)\ ).$

给定 $y\in A,\ \{x:\ \langle x,y\rangle \ =\ 0\}$ 是与 y 正交的元素集合，并且给定

$a,b\in A,\ \ \{x:(x-a)(x-a)^{*}=bb^{*}\}$ 是 A 中的二次集合。

通过莫比乌斯变换，以及在后面关于 射影变换 的章节中，将 A 嵌入其射影线中，这两种类型的集合之间的区别将会减少。

以下引理使用复数 C 来准备解决问题 Q 的一种方法。

引理： 如果两条直线以 θ 弧度倾斜，则这两条直线上反射的合成是一个 2θ 弧度的旋转。

代数证明：直线 L 和 M 相交于 X，X 取为 (0,0) ∈ C，其中 L 与实轴对齐。关于 L 的反射是复共轭。M 经过 $e^{i\theta }$（假设），关于 M 的反射通过将其旋转到 L，然后共轭，最后旋转回 L 的原始位置来实现。

$z\mapsto (e^{-i\theta }z)^{*}e^{i\theta }\ =\ e^{i\theta }z^{*}e^{i\theta }\ =\ e^{2i\theta }z^{*}.$

首先进行关于 L 的反射，$z\mapsto z^{*}.$ 然后关于 M 的反射是

$z^{*}\mapsto e^{2i\theta }z^{**}\ =\ e^{2i\theta }z.$ 合成是 $z\mapsto e^{2i\theta }z,$，一个旋转角度是倾斜角的两倍。