CLEP 代数/代数运算

加法、减法、乘法、除法、求幂、有理化、简化等等。如果你知道这四个术语中的四个，你很可能已经理解了前四个的定义。这是因为你很可能在小学时期就接受过非常好的训练，可以理解前四个术语。其中一些只是这些想法的扩展。

然而，任何一本好的代数教科书都会涵盖基本的代数运算和数字的性质。这是因为数学仅仅是规则，即你从一组基本规则开始，以便你可以操作和 *简化* — 转换为最简洁的形式 — 任何 *表达式* — 使用两个基本运算之一（加法和乘法）组合的符号的书面形式。为了确保你不会感到困惑，这里举一个例子

示例 0.1.a: 操作此表达式: $20+10-5$. 代数从来没有如此简单。这个问题来自二年级的课堂。事实上，你们中的许多人可能可以在脑海中计算出这个答案（给定简单的数字）。然而，当你看到这个表达式时，你是否觉得奇怪，你知道你需要做什么？你把10加到20上。然后，你从这个和中减去5 $10+20-5$ $=30-5$ $=25$ 事实上，你已经被洗脑了，被条件反射地遵循这些规则。我们想知道有多少人会想到这样操作 $10+20+(-5)$ $=10+(-5)+20$ $=\left[10+(-5)\right]+20$ $=5+20$ $=25$

很明显，你得到了相同的答案。但为什么呢？这就是本书本章试图解释的内容。

实数的基本运算

实数简介

除了这个问题之外，还有一个问题：“什么是实数？”在我们得到这个定义之前，我们需要回顾一下我们从小学开始学习的所有系统。

首先是 **自然数** — 计数数或在计数集合中的项目时使用的数字，不包括零。然后，引入零以及自然数，就给出了 *正* 整数的完整定义。似乎一切都很正常，直到你了解 *负* 整数 $\left\{-1,\,-2,\,-3\,\ldots \right\}$。整数的完整集合包括正整数和负整数。

奇怪的事情真正开始出现的地方就在这里。注意，我们还没有谈论分数，直到现在。其中分数 ${\frac {m}{n}}$，其中 $m$ 可被 $n$ 整除或不可被整除，被认为是有理数。**有理数** 仅仅是两个数字的 *比率*。相反，**无理数** 是不能用两个数字的比率精确表示的数字。稍后，在介绍之后，你将看到无理性的一个证明。然而，为了理解这个证明，需要对代数和实数有透彻的了解。你以后就能做到这一点。

然而，有理数有一些限制，其中一些是情景性的，另一些则不是，由此，该数字要么是整数，要么导致一个未定义的数字。除了分子可以被分母整除之外，还适用以下限制

• 分母要么是$\mathbf {-1}$ 要么是$\mathbf {1}$，当分子是整数时。 这是一个所有人都应该知道的事实：将任何整数除以$1$，结果还是相同的整数。除以负数会得到一个负数。除以$-1$，假设分子是整数，你会得到分子的负数。无论哪种情况，只要分子是整数，除以$1$ 或者$-1$，结果都是整数。
• 分母是$\mathbf {0}$，对于任何有理数分子$\mathbf {m}$。 对于任何有理数分子$m$，除以零永远不是一件好事（在“现实”世界中）。我们将在第一节之后讨论为什么。现在，请记住，这根本无法用我们将在本章中讨论的数字来定义。
• 分子是$\mathbf {0}$，当有理数分母$\mathbf {n\neq 0}$。 与上面一点类似，这个小事实将在第 1 节之后得到严格的证明。

大多数教科书将有理数定义为两个整数的商，我们也不例外。因此，在我们将${\frac {0.5}{0.25}}$ 变成两个整数的商之前，我们不能说它不是整数：以下是解决这个问题的方法

例 1.1.a：确定以下商是否为整数 $${\frac {0.5}{0.25}}$$ 你们中的大多数人可能已经知道${\frac {1}{2}}=0.5$ 以及${\frac {1}{4}}=0.25$。因此，让我们将其转换为这种形式 $${\frac {0.5}{0.25}}={\frac {\frac {1}{2}}{\frac {1}{4}}}.$$ 将一个分数除以另一个分数可以用相同的方式表达如下 $${\frac {\frac {1}{2}}{\frac {1}{4}}}={\frac {1}{2}}\div {\frac {1}{4}}.$$ 从这里开始，大多数学生都知道该怎么做：${\text{K}}$eep the first fraction the same，${\color {Red}{\text{C}}}$hange the division to multiplication， and ${\color {Green}{\text{F}}}$lip the second fraction (take the reciprocal). $${\frac {1}{2}}\div {\frac {1}{4}}={\frac {1}{2}}{\color {Red}\times }{\color {Green}{\frac {4}{1}}}$$ 从这里开始，将两个分数相乘（将上面的数字相乘，下面的数字也相乘）得到： $${\frac {1}{2}}\times {\frac {4}{1}}={\frac {4}{2}}=2$$ 数字$2$属于整数集，因此，由于它是商的结果，${\frac {0.5}{0.25}}$也属于整数集。 $\blacksquare$

注意：如果你没有见过$\blacksquare$，它是“Quod Erot Demonstrandum”的简写，从拉丁语字面上翻译过来就是“已经证明的东西”。这仅仅是数学家们用于表示“我们已经完成了所有证明，没有留下任何未完成的任务”的代码语言。

实数包含我们在本节中讨论的所有集合。这意味着它包含整数、有理数和无理数。左侧的图像表示了目前你学习中会用到的集合。

注意用来表示特定集合的符号。

• 整数：$\mathbb {Z}$。添加正或负上标（例如，正上标$\mathbb {Z} ^{+}$）表示正整数或负整数。Z来自ganze Zahlen，字面意思是“整数”。
• 有理数：$\mathbb {Q}$，表示“商”。
• 实数：$\mathbb {R}$.

关于符号的快速说明: 通常，数学家想知道他们正在使用的变量类型。在 CLEP 考试中，明确说明了在特定问题中使用的变量除非另有说明，否则为实数，如下所示：“除非另有说明，否则任何函数的定义域假定为所有实数的集合，其中是实数。” 在符号术语中，“属于集合” 由 $\in$ 表示。因此，给定 $\mathbb {R}$ 代表实数，您可以定义 $x$ 使得 $x\in \mathbb {R}$。此符号在考试中不需要；但是，在处理问题时，它可能有助于快速解决问题。为了确保您完全理解哪些数字属于哪个，让我们看一个例子

示例 1.1.b: 将以下每个数确定为整数或有理数 (a)$-1.597$ (b)$-10$ (c)${\frac {8}{2}}$ (d)${\frac {5}{4}}$ (a) 首先，问一下，$-1.597$ 是整数吗？嗯，如果你除以两个整数却突然得到小数点以外的东西，那么它就不是整数，根据定义就成为有理数。由于该数字不是整数，并且该数字构成小数，那么它一定是两个数字相除的结果，从而形成了一个商：${\frac {a}{b}}=-1.597$。我们已经充分证明了这个数字是有理数（尽管不是严格的）：$-1.597\in \mathbb {Q}$。 (b) $-10$ 没有小数，可以写成 ${\frac {a}{1}}=a$ 的形式。这必须是整数：$-10\in \mathbb {Z}$。 (c) 仅仅因为它是有理数并不自动使其成为有理数。记住，如果 $2$ 可以除以 $m$，即分数的分子，它会自动使其成为整数。请注意，我们不是说分母对分子有因子，或者分母可以整除分子。相反，您可以轻松地用分母除以分子。这就是它必须是整数的原因：${\frac {8}{2}}\in \mathbb {Z}$。 (d) 因为 “4” 不能轻松地除以分子 “5”，所以该分数是有理数：${\frac {5}{4}}\in \mathbb {Q}$。

当然，上面每个例子都被定义为实数和有理数。无论如何，重要的是要理解何时一个限定条件会限制对变量的定义能力。很多时候，限制条件是公开的，这样就不会有人对数字可以或不可以是什么感到困惑。

现在轮到您尝试了。这个 WikiBooks 使用探索来帮助巩固概念，并挑战读者像数学家一样思考。数学中的问题并不总是简单的，有时，数学家需要将研究结果推广到每个人，使其在抽象和具体方面都适用。不过，现在轮到你了，所以试试看。

探索 1-1: 假设存在一个数 $x\in \mathbb {Z}$，它满足以下条件。确定以下条件 (a)-(c) 中的每一个是否属于有理数集 $\mathbb {Q}$ 或整数集 $\mathbb {Z}$。使用最具体的答案。

(a) ${\tfrac {x}{1}}$
(b) ${\tfrac {x}{y}}$，其中 $y\in \mathbb {Q}$

(c) ${\tfrac {1}{x}}$

(a) 因为 $x\in \mathbb {Z}$，任何数除以 1 都会等于它本身，因此 ${\frac {x}{1}}\in \mathbb {Z}$.

(b) 目前，我们无法确定 ${\frac {x}{y}}$ 是否属于有理数集，直到我们确保 $y\notin \mathbb {Q}$。因为 $y\in \mathbb {Q}$，设 $y={\frac {a}{b}}$，其中 $a\in \mathbb {Z}$ 且 $b\in \mathbb {Z}$。假设 ${\frac {a}{b}}$ 是 **互质** 的，这意味着 $a\nmid b$ ($a$ 不能整除 $b$)。知道 $y={\frac {a}{b}}$，以下为真
$${\dfrac {x}{\dfrac {a}{b}}}$$
将分数简化为${\frac {a}{b}}$的形式，得到${\frac {b\cdot x}{a}}$。这种情况有两种情况。

情况 1：$a\nmid x$，这意味着${\frac {b\cdot x}{a}}=b\cdot {\frac {x}{a}}\in \mathbb {Q}$。

情况 2：$a\mid x$。知道${\frac {b\cdot x}{a}}=b\cdot {\frac {x}{a}}$，设${\frac {x}{a}}=F$，其中$F\in \mathbb {Z}$。因为$F\in \mathbb {Z}$，$b\cdot F\in \mathbb {Z}$。

如果情况 1成立，那么${\frac {x}{y}}\in \mathbb {Q}$。鉴于这是一种可能性，${\frac {x}{y}}\in \mathbb {Q}$。如果情况 2 成立，那么分数的这个定义仍然成立，因为$\mathbb {Z}$是$\mathbb {Q}$的子集。因为这个问题要求最具体的答案，所以这是可以给出的最佳答案。

(c) 因为 $1\in \mathbb {Z}$ 且 $x\in \mathbb {Z}$，${\frac {1}{x}}\in \mathbb {Q}$，假设 $x\nmid 1$。

现在我们已经全面地向读者介绍了实数领域，现在是时候去探究它的性质了。

实数的最基本定义

回顾本章的引言，我们提到了数学的一个基本原理

数学就是规则，你从一组基本规则开始，这样你就可以操作和 *简化* … 任何 *表达式* — 一种使用 *两个* 基本运算（加法和乘法）之一的组合符号的书面形式。

为什么只有两个基本运算？毕竟还有减法和除法！然而，请注意我们在 **示例 1.1.a** 中所做的事情。表达式中“5”前面有一个减号，但有一个方法可以重写表达式：$10+20-5=10+20+(-5)$。我们段首的疑问现在似乎有了意义。 *我们定义了这些运算*。如果我们说只有两个基本运算，那么事实就是如此。减法和除法被称为 **逆运算**，因为它们与加法和乘法相同，唯一的区别是符号。为了表示这一点，我们将使用 **变量**，它们是表示一个数字的符号，可以输入该数字，只要满足任何存在的限制。如果你在代数 I 和 II 中从未习惯这个概念，我们将慢慢地介绍它们。现在，习惯这些符号只是表示一个可能的实数的想法。

• **加法逆定义**: $a-b$ 在本质上等同于 $a+(-b)$。
• **乘法逆定义**: ${\frac {a}{b}}$ 在本质上等同于 $a\cdot {\frac {1}{b}}$，其中 $b\neq 0$。

由于上面的符号是变量，并且上面的运算根据定义为真，因此可以输入任何数字。一个例子应该有助于在你的脑海中巩固这些定义。在下表中，分别在各自的列中给出输入 $a$ 和 $b$。给出 $a-b$ 和 $a+(-b)$ 的输出。请注意，$a-b$ 和 $a+(-b)$ 是相同的。

$${\begin{array}{|c|c|}a&b&a-b&a+(-b)\\\hline 1&3&1-3=-2&1+(-3)=-2\\\hline 3&4&3-4=-1&3+(-4)=-1\\\hline 5&5&5-5=0&5+(-5)=0\\\hline 7&6&7-6=1&7+(-6)=1\\\hline \vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\\hline 2a+1&b+3&2a+1-(b+3)&2a+\left(-\left[b+3\right]\right)\end{array}}\!$$

此表可帮助不熟悉变量运算的学生直观地理解其含义。请注意，最后一行是一个“规则”，它给出了数字的模式。最后，在继续之前，还需要建立最后一个定义。

乘法逆元的另一个定义

如果给定表达式 ${\frac {a}{b}}=a\cdot {\frac {1}{b}}$，则项 ${\frac {1}{b}}=b^{-1}$。

上述文本只是说 $b^{-1}$ 与 ${\frac {1}{b}}$ 是同一个东西。例如，$8^{-1}={\frac {1}{8}}$。现在您已经了解了实数最基本的定义，我们可以继续从我们的定义中推导出新的信息。

实数的闭门政策

让我们回到整数集。如果我们添加任何两个整数，$p+q$，您将得到一个整数作为结果。类似地，将任何两个整数相乘，$p\cdot q$，会得到另一个整数。但是，如果您将两个不同的整数相除，${\frac {p}{q}}=p\cdot q^{-1}$，您将不会始终得到一个整数。例如，${\frac {3}{4}}=0.75$，这不是一个整数。我们会说以下说法是正确的

在加法、减法和乘法下，整数集是封闭的。

封闭的意思是，使用该特定运算的整数集将始终给出另一个整数。与整数类似，实数也是封闭的。以下定义告诉我们最常见的形式

实数的封闭运算

在加法、减法、乘法和除法运算下（不包括分母为0的情况），对任何实数使用该运算都是封闭的。

这是一个简单的但强大的工具，可以记住数学词汇表。事实上，这个事实非常基本，以至于它可以用来证明一个数字是或不是整数、有理数或实数。要证明一个数字是否属于一个给定的集合，您必须证明它可以使用这些规则属于或不属于该集合。我们定义了这些操作，因此您必须证明一个数字在这些公理（定义）下没有定义。

这个想法是数学证明的关键，所以我们最好现在就介绍这个概念。此外，证明一个数字是整数是数论中一个非常重要的概念。你以为你对整数了如指掌？尝试数论（在你尽可能多地学习代数之后）来发现你错了多少！

实数定律（在等式下）

数字是一个社会。它们遵循由统治者制定的规则。在这种情况下，统治者是人类。我们没有发现“4”，我们只是说有4件事。数字是形容词，而不是名词，因此根据定义，它们不能被发现。因此，到目前为止我们谈论的一切都只是定义。请记住，有些东西是我们在做出定义的延伸。但是，人类使用这些定义已经很长时间了，因此我们能够“发现”关于数学的新事实。我们将在第二部分看到这些发现。但是，现在让我们定义一下人类几百年来一直在使用的规则！

加法结合律

对于所有实数 $a$，$b$ 和 $c$，$(a+b)+c=a+(b+c)$。也就是说，实数的加法分组不影响总和。

事实证明，证明这一点比基本的代数运算要复杂得多。不幸的是，对于好奇的学生来说，很难简单地解释这些。如果你想证明它们是正确的，你需要学习抽象代数。实际上，以下三个定义不能用代数或几何简单地证明（或至少展示），所以现在简单地接受它们为真。

加法交换律

对于所有实数 $a$ 和 $b$，$a+b=b+a$。也就是说，加法的顺序不影响结果。

乘法结合律

对于所有实数 $a$，$b$ 和 $c$，$(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$。也就是说，三个数相乘的括号分组不影响积。

乘法交换律

对于所有实数 $a$ 和 $b$，$a\cdot b=b\cdot a$.

分配律

对于所有实数 $a$，$b$ 和 $c$，$c\cdot (a+b)=c(a+b)=a\cdot c+b\cdot c=ac+bc$.

在本教材中，我们会将所有可以展示的证明列在下面的绿色框中。希望这能使后面的示例更容易被学生理解（因为本教材的很大一部分是帮助学生看到数学不是关于记忆，而是关于发现）。此外，对于那些对证明不感兴趣的学生（尽管他们应该感兴趣），可以跳过这一部分。但是，我们不建议这样做，除非你只是想记住事实，这可能不会让数学对你来说变得有趣。s

证明 1：对于任何正实数 $a,b,c$，分配律成立。 证明乘法交换律需要一点几何知识。矩形 $ABCD$ 的尺寸为 $c\cdot m$。在 ${\overline {AC}}=m$ 线段上某一点 $P$ 作高（即在 ${\overline {AC}}$ 线段上任意位置作垂线）。设 $m=a+b$。这里，${\overline {AP}}=a$ 以及 ${\overline {PC}}=b$。请参见左侧图像以供参考。 根据面积的定义，长乘以宽等于矩形中单位正方形的数量。整个矩形的面积为 $cm=c\left(a+b\right)$。作一条平行于矩形两边的垂直高线，则 ${\overline {PQ}}=c$。因此，两条线段的面积之和必须等于整个矩形的面积。所以，$ac+bc=c\left(a+b\right)$。这就使分配律对任何 $a>0$，$b>0$ 以及 $c>0$ 成立。 $\blacksquare$ 请注意，这个证明需要另一个定义，即矩形的面积。很难找到一个不涉及任何定义的证明。也许这是不可能的。另外，请注意，我们无法证明这种情况对所有实数都成立。要做到这一点，我们需要找到一种方法来表示给定的距离为负数。我们可以在以后学习图表时做到这一点。

现在，我们将接受分配律对所有实数都成立。

在我们继续之前，还有两个属性需要定义。请注意它们位于不同的部分。这样做是有原因的，正如您将在零因子性质和恒等元素中看到的那样。

零因子性质

对于所有实数 $a$ 和 $b$，$a\cdot b=0$ 当且仅当 $a=0$ 或 $b=0$ 或 $a=0$ 且 $b=0$。换句话说，对于所有实数 $a$ 和 $b$，$a\cdot b=0$ 当且仅当至少有一个因子为零。

假设我们发现以下等式为真

$(x-5)\cdot \left({\cfrac {{\dfrac {x+1}{4}}-{\dfrac {3}{2}}}{5}}\right)=0$

撇开这个看起来很吓人的等式，用一些基本的逻辑，答案就很容易找到。为了使该表达式为真，要么 $x-5=0$，要么 ${\cfrac {{\dfrac {x+1}{4}}-{\dfrac {3}{2}}}{5}}=0$，或者两者都成立。如果至少有一个因子为零，那么该表达式将始终为零。这只是我们人类多年来一直在使用的数学定义。如果你想解这样一个方程，请等待。如果你已经可以，请继续。否则，请继续阅读。

单位元

对于所有实数 $a$，以下始终为真

• $a+0=a$。当加 $a$ 和 $0$ 时，你得到相同的实数 $a$。
• $1\cdot a=a$。当乘以 $a$ 乘以 $1$ 时，你会得到相同的实数 $a$。

当您听到“身份”时，您会想到一个人的名字。然而，在数学中，身份仅仅意味着一个不改变另一个数字的数字。什么数字能让这个成立？让我们用一些基本的逻辑来弄清楚这一点。

• 加到另一个数字上，结果还是同一个数字，这个数字是什么？如果结果没有变化，那么逻辑上意味着差值是零，因为如果绝对没有变化，那么总体输出与初始输入之间的差值就是零。因此，对于任何实数 $a$，单位元必须是 $a-a$，或 $0$。
• 乘以另一个数字，结果还是同一个数字，这个数字是什么？我们可以用完全相同的逻辑找到我们要找的数字。如果我们在对一个结果进行乘法运算，我们需要某种方法来找到乘法运算时的总体变化。在这种情况下，除法将起作用。排除 $a=0$ 从实数中，${\frac {a}{a}}=1$。我们可以说将 $a=0$ 乘以 1 会得到同一个数字吗？是的，$0\cdot 1=0$，所以单位元对于所有实数都是成立的。

传递性质

如果对于实数 $a$，$b$，和 $c$，$a=b$，和 $b=c$，那么 $a=c$。

这仅仅是定义上的真理。例如，如果 $2+2=4$，和 $2\cdot 2=4$，那么 $2+2=2\cdot 2$。

检查您的理解

测试你的知识，看看你是否真的理解，这总是一个好主意。然而，当你无法想到任何问题时，自我测试往往很困难。因此，这里有一些问题，与你学到的所有知识相关。

A 部分

说明：在不使用计算器的情况下，在 1 分钟 30 秒内找到一种方法来计算下面的表达式。对于每个“文本框”，写下使值成立的数字。不要在方框中写逗号，因为它们会被解释为小数。

正确答案加 1 分
错误答案得分
忽略问题系数

1

$15\cdot 30\cdot 2=$

2

$17\cdot \left({\frac {1+2+3+4}{2}}\right)\cdot 800=$

3

$200-110+100-300+400+200=$

4

${\dfrac {17}{4+{\dfrac {1}{4}}}}=$

B 部分

说明：在不使用计算器的情况下，在 2 分钟内回答下面每个问题。

正确答案加 1 分
错误答案得分
忽略问题系数

确定右边这些数字是整数还是有理数。选择最具体的答案。

$\mathbb {Z}$	$\mathbb {Q}$
		${\frac {1}{2}}$
		${\frac {150}{2}}$
		${\frac {155}{2}}$
		${\dfrac {\frac {150}{2}}{\frac {1}{4}}}$
		${\dfrac {\frac {250}{100}}{\frac {1}{4}}}$
		${\dfrac {\frac {1}{4}}{\frac {1}{2}}}$
		${\dfrac {\frac {4}{5}}{\frac {2}{10}}}$
		${\dfrac {\frac {4}{5}}{\frac {2}{15}}}$
		${\tfrac {\frac {1}{10}}{\frac {1}{2}}}$
		${\dfrac {\frac {155}{2}}{\frac {7}{2}}}$

稍后将添加更多内容

代数入门

你可能已经看到了理解检查中要求的代数部分，并且可能想放弃。 "数学到底什么时候引入了字母；它已经够难了！" 好吧，你不必担心，因为一旦你理解了它背后的核心原理，它就很容易了（也就是说，直到你开始学习现代[抽象]代数）。下面概述了最基本的规则之一。

方程的现实

当给定一个**方程**时——表达式被设置为相等或不等——两边必须相等，或者至少一个表达式小于或大于另一个。

是$2+2=4$吗？是的，它是。我们知道这个运算必须是一个方程，因为它与它的陈述相符，即两件事加上两件事等于四件事。但是，当你引入*变量*——给方程引入变化来源的对象时会发生什么。如果一边等于另一边，则感兴趣的变量必须等于某个表达式，以便它与其他变量或非变量一起运算，使其等于另一边。看下面的例子，了解我们的意思。

$5T+2=17$

的值$T$必须等于某个常数才能使上述方程成立；否则，表达式不能相等。如果用一句话来说，上面的方程要求我们“找到使它成立的值$T$，使得将它乘以 5 再加上 2 等于 17”。在数学的早期，这类问题往往以这种方式提出。代数使这些问题更容易解决（无论是陈述还是评估）。在本节中，我们将讨论如何解一元一次方程和多元一次方程。然后，我们将确定如何在给定方程组的情况下找到变量的值。

简化复杂事物

然而，在我们进行这些有趣的操作之前，学生必须掌握方程的结构。学生学习的第一个概念是“项”。

项

**项**是一个单一的数学表达式，它要么是一个单一的数字（一个*常数*），要么是一个单一的变量，要么是相乘的变量，要么是常数乘以变量，每个项之间用加号（$+$）或分数符号（$/$）隔开。

例如，看下面的表达式：$14l+16w$。根据上述定义，它有两个项：$14l$和$16w$。 $14l$是一个变量乘以一个常数，这与$16w$类似。这两个项用加号隔开。组合项构成表达式。方程是两个表达式的相等或不等关系。这构成了方程和表达式的基本结构。然而，有时表达式中的项比需要的多。在这种情况下，需要**简化**方程或表达式。

简化方程或简化表达式

**简化方程**（或**表达式**）是指“同类项”被压缩并合并，但不会非法改变方程的相等或不等关系。

在我们继续完善上述定义（例如，什么是“同类项”？）之前，重要的是要了解一个示例。下面提供了一些未被简化的方程或表达式。

• $1+2+3+4+5$
• ${\frac {1}{3}}(3x+4x)+4y=30$
• $2xy+8yx+10y-10x=20$
• $2^{16}+2^{16}+2^{16}+2^{16}+2^{8}+2^{8}+2^{8}+2^{8}-2^{10}$

以下要点对应于上面等效的未简化表达式，按给定的顺序排列。

• $15$
• ${\tfrac {7}{3}}x+4y=30$
• $xy+y-x=2$
• $2^{18}$

在数学问题中，简化通常是你的目标，这在大学代数中尤其重要，因为简化的过程是找到使方程成立的感兴趣变量的唯一值的本质。尽管简化方程的操作非常简单，但学生可能会犯一些常见的错误，因为没有对“同类项”的明确定义。在学习同类项之前，正确理解这个概念非常重要。因此，以下提供了定义和示例。

同类项

同类项是指两个项，它们要么是常数，要么具有相同的变量，且具有相同的指数（表示一个项乘以同一个数的次数的值）。

以上定义是比较好的定义之一；但是，对于学生来说，它可能有点令人困惑。因此，需要进行探索。想象一下下面的表达式：$$2x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}-x^{3}+5x^{2}+10-100-10$$

上面的表达式非常混乱，所以让我们看看是否可以简化上面的表达式。首先，让我们寻找包含相同变量和指数的项。那些“相似”的项将以其对应的颜色突出显示。$${\color {Red}2x^{3}}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}{\color {Red}-x^{3}}+5x^{2}+{\color {blue}10-100-10}$$

注意负数是如何被高亮的。这是因为它是用加号分开的，对于 $a-b=a+(-b)$。因此，它们是不同的项。注意 $3x^{2}y$ 和 $5x^{2}$ 是“不同”的项。这是因为 $5x^{2}$ 缺少变量 $y$。因为它们没有相同的变量，所以这两个是不同项。下一步将是像这样改写上面的等式：$$={\color {Red}2x^{3}}{\color {Red}-x^{3}}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}+5x^{2}+{\color {blue}10-100-10}$$

为了合并上面的项，只需合并常数值或对应于同类项的常数值。这是因为这些常数值旁边的相应常数值可以被分解。例如，$2{\color {green}x}-5{\color {green}x}=(2-5){\color {green}x}=-3x$，其中变量 $x$ 乘以相应的常数值。根据这个性质，合并同类项的概念是有道理的。

只要乘以常数的变量完全相同，其中每个变量及其指数值都相同，那么这两个项就可以合并，因为分解允许将相应的常数相加。

这是分解背后的最重要的原则，它应该足够严格，以至于任何数学家（和学生）都可以同意“同类项”的定义是有意义的。够了，现在该完成我们提出的问题了。保留同类项的颜色，我们得到：$$={\color {Red}x^{3}}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}+5x^{2}{\color {blue}-100}$$

上面的答案是上面表达式可用的最简形式。请记住，最简形式有点主观，它取决于问题要问什么，因此没有真正的明确方法来确定“最简形式”。我们能做的最好的就是推断这种形式是否是最容易使用的形式。对于上面的表达式，可能是这种情况，这可能不是最简单的，但这是由于符号（我们将在 二项式定理 中更详细地介绍）。如果您好奇地想知道最简单的形式，虽然您可能现在还不理解，但它是：$$=\sum _{k=0}^{3}\left({\binom {3}{k}}x^{k}y^{3-k}\right)+5\left(x-2{\sqrt {5}}\right)\left(x+2{\sqrt {5}}\right)$$

关于简化方程的另一件事是需要提醒一下。给出了一个表达式，一些学生得到了不同的答案。您的工作是确定谁是正确的（是的，这些都是您的探索）。

探索 2-1: Amelia、Brady、Caroline、David 和 Emelie 想确定下面等式的最简形式

$$-2xy+4yx-10y+4x-9$$
但是，每个人都得到了不同的答案。确定哪个人得到了正确的答案，并解释您的选择。
(A) $-9$
(B) $6xy+4x-10y-9$
(C) $-2xy+4yx-10y+4x-9$
(D) $-2xy-2yx-9$

(E) $2xy+4x-10y-9$

(E) 根据乘法的交换律，$ab=ba$，所以如果$a=x$和$b=y$，那么$xy=yx$。因此，$-2xy+4yx=-2xy+4xy$，因此它们是同类项可以合并。将两个常数系数合并到它们对应的变量上，得到 $2xy$（注意$xy$前面的负号）。合并所有同类项，得到

$$2xy+4x-10y-9.$$

或者，您可能已经注意到定义中说：“同类项是指两个要么是常数，要么是*具有相同变量和相同指数*的项”（强调部分）。因为$-2xy+4yx$具有相同的变量，$x$和$y$，这两个可以合并。由于其他变量没有相同的情况，因此唯一正确的答案是 (E)。

如果您能理解上述探索，您基本上理解了简化方程的思想，也许还理解了乘法的结合律。无论如何，如果您答对了，恭喜您。

探索 2-2：Avery、Barron、Christine、Daryl 和 Ezekiel 想确定以下方程的最简形式

$$x^{2}+3x-5-2(4x+5)$$

但是，每个人都得到了不同的答案。确定哪个人得到了正确的答案，并解释您的选择。
(A) $x^{2}-5x+5$
(B) $x^{2}-5x-15$
(C) $x^{2}-5x$
(D) $x^{2}-5x-10$

(E) $x^{2}+11x+5$

(B) 根据乘法分配律，$c(a+b)=ac+bc$，所以如果 $a=4x$，$b=5$，以及 $c=-2$，那么

${\begin{aligned}-2(4x+5)&=(-2)(4)+(-2)(5)\\&=-8x-10\\\end{aligned}}$.

因此，$x^{2}+3x-5-8x-10$ 是结果。合并所有“同类项”，得到

$$x^{2}-5x-15.$$

上述探索可能就是 CLEP 考试试图用这种方式诱导你选择错误答案。因为每个选项可能是学生在尝试简化表达式时会犯的常见错误。这些通常是考试的第一道题，所以最好不要因为像没有将负 4 分配给所有项或忘记第一个负数之类的尴尬错误而做错。

在方程中解一个变量

这里我们将深入的细节可能显得过多。但是，这种放大对于解释为什么我们确信某些东西以它们的方式工作是必要的。此外，一些学生欣赏他们可能会问的问题的答案。因此，请耐心等待，我们将彻底拆解这些简单问题。作为另一个好处，你将比目前在大学上代数课的学生更了解代数，所以你应该把这看作是一种福气。这种福气体现在以下这条涵盖性原则中：

对于包含变量的方程，该变量只有在反向运算时才是正确的。也就是说，使用逆运算，另一边的运算现在被转移到另一边，没有变量。

这个基本属性使我们能够解方程。毕竟，由于两边都以相同的值改变，因此等号之间不应有差异。这给了我们以下基本定义：

加法等式性质

如果$a,b,c\in \mathbb {R}$，并且 $a=b$，那么

$a+c=b+c$

减法等式性质

如果$a,b,c\in \mathbb {R}$，并且 $a=b$，那么

$a-c=b-c$

乘法等式性质

如果$a,b,c\in \mathbb {R}$，并且 $a=b$，那么

$ac=bc$

除法等式性质

如果$a,b,c\in \mathbb {R}$，并且 $a=b$，那么

${\frac {a}{c}}={\frac {b}{c}}$

以上这些性质，以及上一节列出的实数性质，在尝试解方程时将非常有用。在接下来的示例中，我们将在进行这些操作时说明这些性质。因此，了解我们如何呈现我们的工作并将该风格融入你的探索工作中是一个好主意。尽管这可能是一项选择题测试，但如果学生继续学习更高数学，那么了解如何进行数学交流，尤其是在纸上，就非常重要。

定义：隔离变量

将目标变量**隔离**的过程是这样的：在等式的一侧，目标变量没有任何常数加减或乘除，除了分别加减0和乘除1，并且该变量等于常数或表达式，而表达式中另一侧没有目标变量。

如果有人没有见过这个过程的例子，以上陈述可能有点令人困惑，所以下面给出两个例子，一个只有单个变量，另一个有多个变量。然后，这些例子将以更简洁的方式展示过程。

示例 2.2.a：求解$x$的值，使等式成立：$10+5x=210$. 从现在开始，由于等式两侧都成立，我们不再声明两侧相等。但是，在解决方程时要牢记这一点，因为如果两侧必须相等，那么在两侧执行相同的操作才能使它们相等！我们将逐步引导您完成此过程，以便您能够看到如何隔离目标变量。问题中的方程如下所示： $10+5x=210$ 在等式两侧都加上$-10$。加$-10$的效果是使等式左侧变成对$+5x$加减单位元。 $10+({\color {Red}-10})+5x=210+({\color {Red}-10})$ ${\color {Red}0}+5x=200$ 由于单位元不会改变等式左侧，所以我们可以安全地忽略它。因为$5$乘以变量$x$，为了使$x$不变，在等式两侧都乘以${\frac {1}{5}}$。乘以${\frac {1}{5}}$的效果是使等式左侧变成对$x$乘以单位元。 $\left({\color {Red}{\frac {1}{5}}}\right)\cdot 5x=\left({\color {Red}{\frac {1}{5}}}\right)\cdot 200$ ${\color {Red}1}x=40$ 由于单位元不会改变等式左侧，所以我们可以安全地忽略它。由此，我们成功地将目标变量$x$单独隔离出来。我们了解到，使等式成立的$x$的值为$x=40$.

我们知道这个方程是正确的，因为在隔离变量时，我们确保方程始终保持不变。这个过程保证了 $x$ 的值总是会得到正确的答案。然而，如果你对自己的工作没有把握，一个很好的方法是将答案“代入”方程，看看它是否成立。以下是操作方法

${\begin{aligned}210&=10+5(40)\\&=10+200\\&=210\end{aligned}}$

如果一侧的表达式经过运算后得到的结果与另一侧的表达式相同，那么你找到的变量 $x$ 的值就一定是正确的，因为它满足了方程。不幸的是，有时在 CLEP 考试中，你可能不会总是得到 *单变量方程*。可能会有你得到多个变量的情况。与上面我们所做的相同，只是这次你需要更加确定你得到的答案一定是正确的，因为尽管你可以将你得到的答案代入方程，但这可能有点繁琐。

我们会一步一步地引导你完成这个过程。毕竟，不熟悉方程操作的学生，如果没有一步一步的指导，很容易迷失方向。另外，对于理解代数的学生来说，看到这些问题有助于他们了解如何一步一步地解决问题。请注意，这些步骤并不一定是最有效的。现在，将它们视为一个个小问题，为后面的大问题做好准备。

示例 2.2.b：求使方程成立的 $\Delta x$ 的值：$\Delta F={\frac {\Delta x}{\Delta t}}m-{\frac {1}{2}}$. 解决任何问题的第一步是不要慌张。不要被细节困住；只要努力找出答案。当然，CLEP 考试是选择题，但最好学习如何在没有过多依赖选择题技巧的情况下解决这些问题。技巧只应该作为最后的手段，用于你在有限的时间内无法解决的问题。这个问题看似很难，但实际上并不难，使用技巧可能比直接解决它更慢。 请记住，我们解决问题时的理念是一样的：对一侧进行的操作，也要对另一侧进行相同的操作。在我们开始之前，让我们再写一遍方程 $\Delta F={\frac {\Delta x}{\Delta t}}m-{\frac {1}{2}}$ 让我们从两边都加上 ${\frac {1}{2}}$ 开始。这将 *消除* 右边的常数项，并将其移到另一边。加上 ${\frac {1}{2}}$ 的效果是使方程的左侧为将单位元加到 ${\frac {\Delta x}{\Delta t}}m$ $\Rightarrow \Delta F+\left({\color {Red}{\frac {1}{2}}}\right)={\frac {\Delta x}{\Delta t}}m-{\frac {1}{2}}+\left({\color {Red}{\frac {1}{2}}}\right)$ $\Rightarrow \Delta F+\left({\color {Red}{\frac {1}{2}}}\right)={\frac {\Delta x}{\Delta t}}m+\left({\color {Red}0}\right)$ $\Rightarrow \Delta F+{\frac {1}{2}}={\frac {\Delta x}{\Delta t}}m$ 接下来，消除乘以目标变量的分数项。在这里，我们会放慢速度，逐个解决，然后再介绍我们缓慢工作带来的一个巧妙的结果。现在，这样想：如果要消除某个被除的项，我们需要使用逆运算。因此，我们需要将分数项乘以。首先，让我们将目前为止的结果改写成一个简单的形式 ${\frac {\Delta x}{\Delta t}}m=\left(m\Delta x\right)\left(\Delta t\right)^{-1}$. 这样做是等价的，因为我们知道 ${\tfrac {\Delta x}{\Delta t}}m=\left(\Delta x\left(\Delta t\right)^{-1}\right)m$。由于乘法满足交换律，我们知道这些项可以以任何顺序相乘。此外，由于我们知道乘法也满足结合律，我们知道分组不会影响乘法。因此，我们可以将以下表达式改写如下 ${\begin{aligned}\left(\Delta x\left(\Delta t\right)^{-1}\right)m&=\Delta x\left(\Delta t\right)^{-1}m\\&=m\Delta x\left(\Delta t\right)^{-1}\\&=\left(m\Delta x\right)\left(\Delta t\right)^{-1}\\&={\frac {m\Delta x}{\Delta t}}\end{aligned}}$. 花点时间理解上面缩进行的所有步骤是值得的。我们只是简单地消除了不必要的括号，调整了一些项的位置，然后又加上了括号。你可以将这些括号看作是分数的分子。 无论如何，我们知道上面的表达式等于 $\Delta F+{\frac {1}{2}}$，因此我们在一边进行的操作，也必须在另一边进行。为了消除除法，我们必须乘以，如下所示。 $\Rightarrow \left(\Delta F+{\frac {1}{2}}\right)\cdot \left({\color {Red}\Delta t}\right)=\left(m\Delta x\right)\left(\Delta t\right)^{-1}\cdot \left({\color {Red}\Delta t}\right)$ $\Rightarrow \left(\Delta F+{\frac {1}{2}}\right)\cdot \left({\color {Red}\Delta t}\right)=\left(m\Delta x\right)\left({\color {Red}1}\right)$ $\Rightarrow \left(\Delta F+{\frac {1}{2}}\right)\cdot \Delta t=\left(m\Delta x\right)$. 请注意 $F+{\frac {1}{2}}$ 周围的括号。这一点很重要，因为我们将整个项乘以 $\left(\Delta t\right)$。稍后我们会详细解释为什么这一点很重要，但现在，让我们继续。 请注意，我们几乎完成了对变量 $\Delta x$ 的隔离。为了完成这一步，我们必须将 $m$ 转移到另一边。因此，进行逆运算。乘法的逆运算为除法。因此，两边都乘以 $m^{-1}$。 $\Rightarrow \left(\Delta F+{\frac {1}{2}}\right)\Delta t\cdot \left({\color {Red}m^{-1}}\right)=m\cdot \left({\color {Red}m^{-1}}\right)\cdot \Delta x$ $\Rightarrow \left(\Delta F+{\frac {1}{2}}\right)\Delta tm^{-1}=\Delta x$. 读者可能也想知道为什么我们没有在 $\left(\Delta F+{\frac {1}{2}}\right)\Delta t$ 周围加上括号。同样，我们很快就会谈到这一点。相反，请注意：我们已经完成了这个问题。

我们知道有些读者可能会问，为什么我们没有将这个奇怪的符号 $\Delta$（大写 Delta）从 $x$ 中分离出来。一方面，问题要求的是 $\Delta x$，但另一方面，$\Delta$ 可能是一个重要缩写，表示某物的变化：$x$ 的变化。这个方程看起来可能有点乱，因为它需要定义两个不同的 $x$ 和 $t$ 以及 $F$。为了避免混淆许多科学家，尤其是你，可以用 delta 表示感兴趣变量的变化。这就是它的工作方式，因此，接触这种表示法是一个好主意。如果我们要重新定义上面的方程，不使用任何 $\Delta$，那么我们将写成以下形式

$F-F_{0}={\frac {x-x_{0}}{t-t_{0}}}m-{\frac {1}{2}}$，化简后得到$\left(F-F_{0}+{\frac {1}{2}}\right)\left(t-t_{0}\right)\left(m\right)^{-1}=x-x_{0}$。你可以看到为什么$\Delta$ 在科学界如此流行。

这个题目的一个比较奇怪的地方在于括号。我们想知道为什么我们给$\Delta F+{\frac {1}{2}}$ 加了括号，却没有给$\left(\Delta F+{\frac {1}{2}}\right)\Delta t$ 加括号。第一个更容易解释，所以我们先从简单的开始。

1. 任何有限项实际上都等于某个值。当我们添加项，例如$x+y$ 时，它必须等于另一个项，比如$A$。当我们将整个表达式乘以一个项$C$ 时，实际上是将最终结果$A$ 乘以$C$。如果$x+y=C$，并且我们正在将$A$ 乘以$C$，那么$AC=C(x+y)$。这就是为什么在添加项时，我们必须用括号括起我们要乘的项。没有规定乘法和加法是可交换或可结合的（但要记住它是可分配的）。
2. 根据第一个前提的推论，如果$\left(\Delta F+{\frac {1}{2}}\right)\Delta t$ 被某个项，比如$m^{-1}$ 乘以，那么如果$\Delta F+{\frac {1}{2}}=B$，那么$B\cdot \Delta t\cdot m^{-1}$。因为乘法是可交换和可结合的，所以没有必要给$B\Delta t$ 加括号。因此，这个表达式不需要括号。

从上面的问题中，我们可以学到一个技巧。回顾一下，我们之前说过，我们正在做的事情让问题变得有点复杂，特别是分数项。这是因为我们没有利用分数乘以感兴趣项的常用技巧。然而，在使用这个“技巧”之前，需要理解它。技巧是可以的，但那不是数学的全部。这就是为什么数学对许多学生来说很无聊的原因。这个技巧是什么呢？

技巧：乘以倒数

定义：倒数是一个分数 ${\frac {a}{b}}$，它交换分子和分母的位置，形成分数 ${\frac {b}{a}}$.

技巧：当一个感兴趣的变量，比如 $x$，乘以一个分数项，比如 ${\frac {a}{b}}$，得到 $c$，乘以倒数可以将感兴趣的变量“隔离”。

让我们慢慢地拆解它。分数的倒数实际上是交换分子和分母的位置。例如，${\frac {3}{4}}$ 的倒数是 ${\frac {4}{3}}$。当你乘以倒数时，你实际上做的是使以下等式成立

${\begin{aligned}{\frac {a}{b}}\cdot {\frac {b}{a}}&=ab^{-1}\cdot ba^{-1}\\&=\left(aa^{-1}\right)\left(b^{-1}b\right)\\&=1\cdot 1\\&=1\end{aligned}}$.

因此，乘以倒数将缩短完成问题所需的时间。让我们看看它如何在之前的问题中工作。如果以下等式成立，

${\begin{aligned}\Delta F+{\frac {1}{2}}&={\frac {\Delta x}{\Delta t}}m\\&=\Delta x\left(\Delta t\right)^{-1}m\\&=m\left(\Delta t\right)^{-1}\Delta x\\&={\frac {m}{\Delta t}}\Delta x\end{aligned}}$,

那么，将等式两边乘以倒数 ${\frac {m}{\Delta t}}$，得到

$\left(\Delta F+{\frac {1}{2}}\right){\frac {\Delta t}{m}}=\Delta x$.

我们以很少的延迟得到了相同的答案。唯一的区别是答案看起来不一样。然而，它们实际上是一样的。如果 $\left(\Delta F+{\frac {1}{2}}\right)\Delta tm^{-1}=\Delta x$，那么由于结合律，

$\left(\Delta F+{\frac {1}{2}}\right)\left(\Delta tm^{-1}\right)=\Delta x$

$\Rightarrow \left(\Delta F+{\frac {1}{2}}\right)\left({\frac {\Delta t}{m}}\right)=\Delta x$

与上一段相同的答案。 我们所采取的冗长复杂步骤给了我们同样的答案！ 这就是数学的真正美妙之处。 隐藏美妙之处就失去了上面问题中发生的所有复杂性。

我们并不是说不要记住这个技巧。 但是，我们是要你将这种推理牢记在心。 如果你做不到，那就只记住这个技巧，因为无论你以什么方式可以节省考试时间，都是最好的。

下面的颜色表示上面示例答案中给出的完整解释的简洁论点。

示例 2.2.b（重复）： 找出使以下等式成立的 $\Delta x$ 的值： $\Delta F={\frac {\Delta x}{\Delta t}}m-{\frac {1}{2}}$. 此示例是上面示例的简洁论点。 必须给出简洁的解释，以便每个人都能理解你在做什么。 沿着一条巨大的代数线走下去实际上会让人困惑，因此这是必要的。 ${\begin{aligned}\Delta F&={\frac {\Delta x}{\Delta t}}m-{\frac {1}{2}}\\\Delta F&=\Delta x{\frac {m}{\Delta t}}-{\frac {1}{2}}&\left(\Delta x{\frac {m}{\Delta t}}={\frac {\Delta x}{\Delta t}}m\right)\\\Delta F+{\frac {1}{2}}&=\Delta x{\frac {m}{\Delta t}}&{\text{(Additive property of equality.)}}\\{\frac {\Delta t}{m}}\left(\Delta F+{\frac {1}{2}}\right)&=\Delta x&{\text{(Multiplicative inverse property of equality.)}}\\\Delta x&={\frac {\Delta t}{m}}\left(\Delta F+{\frac {1}{2}}\right)&{\text{(Symmetric property of equality.)}}\end{aligned}}$

注意我们如何使用不同的字母。 始终牢记问题要求你找到什么。

示例 2.2.c： 在以下给定方程式中求解 $a$ ${\frac {1}{5}}+2a=15+{\frac {5}{2}}\cdot a$. 此示例将解释每个步骤。 此示例的重复将演示更简洁的论点。 请密切注意重复，以便你能理解这些信息。 在每个示例的结尾（除了需要解释的文字问题和长问题），将提供对所呈现的多步方程的简洁求解。 应用减法恒等式，使以下等式成立。 $\Leftrightarrow {\frac {1}{5}}-15={\frac {5}{2}}a-2a$ 化简并合并同类项 $\Leftrightarrow -{\frac {224}{5}}={\frac {1}{2}}a$ 根据等式乘法性质，等式两边都乘以 $2$ $\Leftrightarrow -{\frac {448}{5}}=a$ 根据等式对称性质， $a=b\Leftrightarrow b=a$，所以 $a=-{\frac {448}{5}}\blacksquare$ 简洁的论证 ${\begin{aligned}{\frac {1}{5}}+2a&=15+{\frac {5}{2}}a\\{\frac {1}{5}}-15&={\frac {5}{2}}a-2a&{\text{(Addition property of equality.)}}\\-{\frac {224}{5}}&={\frac {1}{2}}a&{\text{(Simplify and combine like-terms.)}}\\-{\frac {448}{5}}&=a&{\text{(Multiplication property of equality.)}}\\a&=-{\frac {448}{5}}\blacksquare &{\text{(Symmetric property of equality.)}}\end{aligned}}$

下一个问题将引导我们回到单变量方程，然后介绍单变量方程问题的更难的变体。

例 2.2.d：求解以下方程中 $z$的值 $z\cdot {\dfrac {-{\frac {1}{2z^{2}}}}{2+{\frac {1}{2z}}}}=-2$. 代数中的分数可能非常棘手。这就是为什么它在大学代数课程中教授的原因。在讨论 有理函数 时，了解如何操作分数将非常重要。尽管它在 CLEP 大学代数考试中不是独立的章节，但能够简化这些函数将非常重要，这样就可以轻松地确定其图形。 应用乘法性质（在 代数证明简介 中证明），即 $c\cdot {\frac {a}{b}}={\frac {ac}{b}}$ ${\dfrac {-z\cdot {\frac {1}{2z^{2}}}}{2+{\frac {1}{2x}}}}={\dfrac {\frac {1}{2z}}{2+{\frac {1}{2z}}}}=-2$ 为了使下一步有意义，我们需要证明一个性质。 证明: ${\dfrac {\frac {a}{b}}{c}}={\frac {a}{bc}}$ 在本证明中，我们将采用一个定理，即 $m^{-1}\cdot n^{-1}=(mn)^{-1}$（称为底数的倍数）。该定理将在指数章节中进行证明。 首先，我们将${\dfrac {\frac {a}{b}}{c}}$改写为${\frac {a}{b}}\div c$. ${\dfrac {\frac {a}{b}}{c}}={\frac {a}{b}}\div c$ 然后，我们应用除法的定义 $\Leftrightarrow {\frac {a}{b}}\div c=a(b)^{-1}(c)^{-1}$ 我们应用底数的倍数定理 $\Leftrightarrow a(b)^{-1}(c)^{-1}=a(bc)^{-1}$ 从而得出结论 $\Leftrightarrow {\dfrac {\frac {a}{b}}{c}}={\frac {a}{bc}}\Box$ 这可以用以下简洁的论证表示 ${\begin{aligned}{\dfrac {\frac {a}{b}}{c}}&={\frac {a}{b}}\div c&{\text{(Definition of division.)}}\\&=a(b)^{-1}(c)^{-1}&{\text{(Definition of division.)}}\\&=a(bc)^{-1}&{\text{(Multiples of base theorem.)}}\\&={\frac {a}{bc}}\Box &{\text{(Definition of division.)}}\end{aligned}}$ 根据上述证明，我们最终可以使用底数的倍数引理（用来证明我们想要证明的内容的“小”定理） $\Leftrightarrow -{\dfrac {1}{2z\left(2+{\frac {1}{2z}}\right)}}=-2$ 在分数的分母中应用分配律 $\Leftrightarrow -{\frac {1}{4z+1}}=-2$ 应用等式的除法性质，将两边除以$-1$ $\Leftrightarrow {\frac {1}{4z+1}}=2$ 这里将使用等式的乘法性质。稍后将介绍另一种解题方法 $\Leftrightarrow 1=2(4z+1)$ 将 $2$ 分配到 $4z+1$ $\Leftrightarrow 1=8z+2$ 减去 $2$ 并应用等式减法性质 $\Leftrightarrow -1=8z$ 最后，用 $8$ 除并应用等式除法性质 $\Leftrightarrow -{\frac {1}{8}}=z$ 因为 $-{\frac {1}{8}}=z$，根据等式对称性质，$z=-{\frac {1}{8}}\blacksquare$ 简要说明 ${\begin{aligned}z\cdot {\dfrac {-{\frac {1}{2z^{2}}}}{2+{\frac {1}{2z}}}}&=-2\\{\dfrac {\frac {1}{2z}}{2+{\frac {1}{2z}}}}&=-2&\left(c\cdot {\frac {a}{b}}={\frac {ac}{b}}\right)\\-{\dfrac {1}{2z\left(2+{\frac {1}{2z}}\right)}}&=-2&\left({\dfrac {\frac {a}{b}}{c}}={\frac {a}{bc}}\right)\\-{\frac {1}{4z+1}}&=-2&{\text{(分配律)}}\\{\frac {1}{4z+1}}&=2&{\text{(等式除法性质)}}\\1&=2(4z+1)&{\text{(等式乘法性质)}}\\1&=8z+2&{\text{(分配律)}}\\-1&=8z&{\text{(等式减法性质)}}\\-{\frac {1}{8}}&=z&{\text{(等式除法性质)}}\\x&=-{\frac {1}{8}}\blacksquare &{\text{(等式对称性质)}}\end{aligned}}$

这个例子还可以应用另一个技巧。实际上，这是等式的另一个性质，在大学代数课上并不常见，如下所示。

在新的编辑之后添加了新的属性。

示例 2.2.e：一个物体以每 $t$ 秒的速度正向增加。这个物体质量为 $400{\text{ kg}}$，以 $5{\frac {\text{m}}{{\text{s}}^{2}}}$ 的加速度沿直线路径运动。如果一个光电门距离汽车的起始位置 $T$ 秒，测得汽车的速度为 $17{\frac {\text{m}}{\text{s}}}$，已知第一个光电门测得汽车的初始速度为 $2{\frac {\text{m}}{\text{s}}}$，求汽车达到最终速度所需的时间，${\overrightarrow {v}}$。 这个题目看起来很吓人，特别是那些单位和数字。深呼吸，将上面的信息分成几块。先读一句，直到你理解为止。通常，给定的信息应该仔细阅读。另一个技巧是画草图，如下所示。 画了一辆汽车的速度-时间图及其对应的向量图，以模拟文字问题中描述的情况。向量图是垂直的，这样可以节省空间。你可能在大学代数中看到物理学的共同主题。习惯这一点，因为物理学喜欢代数。 首先，我们需要问：“我们如何将方程建模到实际情况中？”一个好的开始是使用我们必须使用的数字和变量。一个好的技巧是写下对问题有用的信息。在这里，我们将列出问题中的所有数字和信息，这将有助于计算。 每 $t$ 秒正向增加的速度 $400{\text{ kg}}$ 的物体。 恒定的 $5{\frac {\text{m}}{{\text{s}}^{2}}}$ 加速度。 在时间 $T$ 秒的速度为 $17{\frac {\text{m}}{\text{s}}}$。 汽车的初始速度为 $2{\frac {\text{m}}{\text{s}}}$。 以上所有信息可以在写方程式时使用。接下来，找出问题在问什么。根据上面的文字，它要求我们“找出汽车达到最终速度所需的时间，${\overrightarrow {v}}$..." 因此，由于我们正在寻找达到 $17{\frac {\text{m}}{\text{s}}}$ 所需的时间，我们可以使用第三、第四和第五个要点得到以下方程 $17=5T+2$ 让我们确保每个人都理解这里发生了什么。 注意我们决定不保留单位。这是为了不迷惑学生；此外，我们知道最终单位应该是（秒），所以没有必要用单位来显示工作。此外，它可以帮助我们不陷入太多细节。但是，请始终记住在最后加上单位！ 我们决定将感兴趣的变量放在 $5$ 旁边。 这是因为 $5$ 代表着每秒不断增加的速度， $t$。 只有仔细阅读问题（或像我们一样列出信息）的人才能理解这一点。 我们没有使用 $t$ 的原因是它是一个中间变量。 我们将要做的基本上是用 $T$ “替换”这个变量，因为这是我们想要确定的东西。 这个“替换”的概念将在示例 2.2.d之后正式化。 这个方程式中还缺少另一个信息，即“$400{\text{ kg}}$”。 这很简单：问题没有问汽车上的力[脚注 1]。 相反，它是问汽车到达时间 $T$ 时的速度所用的时间。 由于汽车从 $2{\frac {\text{m}}{\text{s}}}$ 开始，不可能改变每秒的速度。 同样地，最终速度也不能改变，因此不可能改变每秒的速度。 这是定义决定的。 无论如何，我们终于可以开始隔离变量了。 使用与之前相同的步骤。 这里，让我们在等式的两边都加上 $-2$，以便将单位元添加到 $5T$ $\Rightarrow 17+({\color {Red}-2})=5T+2+({\color {Red}-2})$ $\Rightarrow 15=5T+({\color {Red}0})$ $\Rightarrow 15=5T$. 最后，用乘以 $5$ 到 $T$ 的逆运算，即 ${\frac {1}{5}}$，来将等式的两边都乘以，这样单位元就乘以了 $T$ $\Rightarrow 15\cdot \left({\color {Red}{\frac {1}{5}}}\right)=5T\cdot \left({\color {Red}{\frac {1}{5}}}\right)$ $\Rightarrow 3=({\color {Red}1})T$ $\Rightarrow T=3$. 汽车花了 **3 秒钟** 达到最终速度，${\overrightarrow {v}}$

事实证明，这辆特殊的汽车可以在 3 秒内达到 $17{\tfrac {\text{m}}{\text{s}}}$。如果你对我们如何得出答案感到困惑，那么你应该感到困惑。这是一个对建模方程的预习，特别是线性方程。你将在后面看到类似的例子。然而，现在，你已经完成了。关于这个问题最令人困惑的部分是单位。许多学生可能在数学课上没有接触过这样的物理问题，因此他们可能仅仅因为这个文字问题的性质而无法正确解答。

从更积极的角度来看，你可能已经注意到我们在解决这些问题时存在一种模式。实际上，我们正在做的是一种“反向操作顺序”。我们的计划是在简单地给出答案之前，展示三个实际操作的例子。简而言之，简化方程的人将以一种与系统地逆转操作顺序一致的方式进行简化。在进行此过程之前，请确保尽可能地简化方程。此过程的最终演示见 **例 2.2.g**。现在，让我们再看一个文字问题。

例 2.2.f：假设两个质量分别为 $M$ 和 $m$ 的块体连接到滑轮上，其中 $M$ 放在一个木制桌子上，动摩擦系数为 $\mu _{k}=0.5$，而 $m$ 悬挂在空中。假设系统速度和方向没有变化，则以下方程模拟了这种情况 $${\overrightarrow {F_{f}}}-{\overrightarrow {F_{w}}}=0$$ 其中 ${\overrightarrow {F_{f}}}=-gM\mu _{k}$ 以及 ${\overrightarrow {F_{w}}}=-gm$。根据以下情况，悬挂在空中的物体的质量有什么特点？ 哇，这个题看起来好吓人！问题的大部分“恐怖因子”来自建模方程的情况。大多数学生会想先理解问题在讲什么，然后再做题。但是，这不是物理学——这是大学代数，所以不用太担心。我们会逐步指导你，这样你就可以看到如何分离感兴趣的变量。问题中的方程在下面重新写出 (1.2.2.1) ${\overrightarrow {F_{f}}}-{\overrightarrow {F_{w}}}=0$ 如果你以前从未读过数学教科书，(1.2.2.1) 表示一个方程，我们将在后面的教科书中提到。小数点表示“章节/部分/小节/方程参考顺序”。 首先，无论我们看到的是什么等于另一个物体，我们都会使用传递性质来简化我们的工作。例如，${\overrightarrow {F_{f}}}=-gM\mu _{k}$ 和 ${\overrightarrow {F_{w}}}=-gm$，因此将它们“代入”方程式 1.2.1。 (1.2.2.2) $-gM\mu _{k}-\left(-gm\right)=0$ 由于乘法的结合律和交换律，$-\left(-gm\right)=-1\left(-1\cdot gm\right)=-1\cdot -1\cdot g\cdot m=gm$，因此该方程式必须等效于 (1.2.2.3) $-gM\mu _{k}+gm=0$ 这个问题正在寻找关于悬浮在空中的质量的真相，因此将变量 $m$ 隔离出来。在我们这样做之前，请注意 $g$ 出现在两个项中，$-gM\mu _{k}$ 和 $mg$，因此基于这两个项都具有 $g$ 因子的事实，$-gM\mu _{k}+gm=g\left(-M\mu _{k}+m\right)$。在下面重新编写因式分解后的形式 (1.2.2.4) $g\left(-M\mu _{k}+m\right)=0$ 根据零因数性质，$g=0$ 或 $-M\mu _{k}+m=0$。[脚注 2] 由于给定情况，我们将忽略$g$，以了解更多关于$m$的信息。由于$-M\mu _{k}+m=0$ 的写法，将$-M\mu _{k}$ 移到另一边，在等式两边都加上$M\mu _{k}$。这样，左侧的单位元将被加到$m$ (1.2.2.5) $-M\mu _{k}+\left({\color {Red}M\mu _{k}}\right)+m=0+\left({\color {Red}M\mu _{k}}\right)$ (1.2.2.6) ${\color {Red}0}+m={\color {Red}M\mu _{k}}$ 由于单位元不改变左侧，我们可以安全地忽略它。至此，我们已经完成了。我们知道动摩擦系数$\mu _{k}=0.5={\frac {1}{2}}$，所以悬浮在空中的木块的质量是木桌上木块质量的一半。这很可能是你在选择题中找到的答案。

在这里，我们能够利用代数来找出系统在方向和速度没有变化时的真相。你可以看到为什么物理学喜欢代数，正是因为这个原因。事实上，其他科学领域也喜欢代数。然而，物理学可能是最大的爱好者。从我们对方程的经验来看，你可能已经注意到我们使用了我们在开头谈到的性质。如果你跳过了那一部分，或者没有理解它，你就是在自掘坟墓。代数需要那些基础，所以如果你不理解它们，现在就必须理解！在你最终理解了这些基本概念之后，就该学习更多关于新定义了。

定义：单变量方程

单变量方程是指在一个方程中，只有一个感兴趣的变量始终出现。

以下是这些方程的例子

• $2x+5=5x-2$
• ${\frac {7x}{10}}+{\frac {7}{10x}}=100$

请注意，变量$x$ 可以出现在方程的两边，但仍然被称为单变量方程。

定义：文字方程

文字方程是指在一个方程中，至少有两个不同的变量始终出现。

以下是这些方程的例子

• ${\frac {\mathbf {F} }{m}}=\mathbf {a}$
• $\Delta \mathbf {x} =\mathbf {v} _{0}t+{\frac {1}{2}}\mathbf {a} t^{2}$
• $\Psi _{s}=-iCRT$，其中压力常数$R=0.0831$ 升/摩尔开尔文。

有时，CLEP 考试可能会要求你解释方程式。会提供一些信息，你需要根据该方程式求解或解释新信息。这些题是考试中最难的题。

定义：替换

替换是指用值或其他表达式替换变量的行为。这在非正式情况下被称为为变量“代入”。

在示例 2.2.e中，因为${\overrightarrow {F_{f}}}-{\overrightarrow {F_{w}}}=0$，并且${\overrightarrow {F_{f}}}=-gM\mu _{k}$ 以及${\overrightarrow {F_{w}}}=-gm$，我们可以根据已知信息进行替换。这就是我们如何得到（1.2.2.3）的原因。

因为我们还没有介绍过单变量方程式中目标变量在两边的示例，让我们来做下面的问题。

示例 2.2.g：求解使方程式成立的$x$ 的值。 $${\frac {20(1+x)}{x}}=10$$ 这个方程式其实很简单。建议你在我们解释如何解题之前尝试一下，既可以检验你的知识，也可以核对你的答案。 一个常见的学生误解需要尽快解决，那就是：不要将括号内的$x$ 除掉。这样做有两个原因。 $x\nmid (1+x)$。括号表示它们是两个不同的数字。 即使在将 20 分配给括号中的每一项之后，${\frac {20+20x}{x}}\neq {\frac {40}{x}}$。请注意，${\frac {20+20x}{x}}=(20+20x)\left(x^{-1}\right)=20x^{-1}+20x\left(x^{-1}\right)$，因此一般来说，${\frac {a}{b}}+{\frac {c}{b}}={\frac {a+c}{b}}$。由于这一事实，${\frac {20+20x}{x}}={\frac {20}{x}}+{\frac {20x}{x}}={\frac {20}{x}}+20$。这是真正用 $x$ 除以表达式的唯一方法。但是，这种方法实际上可能比我们即将向您展示的方法更慢。 如果用 $x$ 除法很慢，那么我们如何快速完成它呢？请注意，我们正在用另一个 $x$ 除以 $x$。一个消除它们的好方法是将底部的 $x$ 移到另一边。因为除法的逆运算为乘法，所以执行乘法运算，以便将单位元素乘以左侧。 ${\frac {20(1+x)}{x}}\cdot {\color {red}x}=10\cdot {\color {red}x}$ $\Rightarrow 20(1+x)=10{\color {red}x}$. 有些学生可能想要将 20 分配给括号中的每一项。虽然这在处理表达式时可能没问题，但由于我们正在处理方程式，让我们通过将两边都乘以 ${\frac {1}{10}}$ 来使这个过程更快。 这样做可以，因为 $20(1-x)$ 等同于将 $20$ 乘以某个变量 $1-x=C$，所以 ${\frac {1}{10}}\cdot 20C={\frac {20C}{10}}=2C$。 因此， $\Rightarrow 20(1+x)\cdot {\color {red}{\frac {1}{10}}}=10\cdot {\color {red}{\frac {1}{10}}}\cdot x$ $\Rightarrow {\color {red}2}(1+x)=x$. 然后，你可以将 2 分配给括号中的每一项。 $\Rightarrow 2+2x=x$. 现在，将两边都加上 $-2x$。 这样做是为了将一边隔离为 $x$。 $\Rightarrow 2+2x+({\color {Red}-2x})=x+({\color {Red}-2x})$ $\Rightarrow 2={\color {Red}-x}$. 由于 $x$ 尚未被隔离（你正在将 $-1$ 乘以 $x$），将两边都乘以 ${\frac {1}{-1}}$。 $\Rightarrow 2\cdot ({\color {Red}{\frac {1}{-1}}})=-x\cdot ({\color {Red}{\frac {1}{-1}}})$ $\Rightarrow {\color {Red}-}2=x$. 简要说明 ${\begin{aligned}{\frac {20(1+x)}{x}}&=10\\20(1+x)&=10x&{\text{(Multiplication prop. of equality.)}}\\2(1+x)&=x&{\text{(Division prop. of equality.)}}\\2+2x&=x&{\text{(Distributive prop.)}}\\2&=-x&{\text{(Subtraction prop. of equality.)}}\\-2&=x&{\text{(Division prop. of equality.)}}\\x&=-2&{\text{(Symmetric prop. of equality.)}}\blacksquare \end{aligned}}$

在上面的例子中，我们提到，可能可以通过两边同时乘以$x$ 来更快地解出$x$。让我们来看看，对于下面的等式，如何解出$x$ 会很困难。

${\frac {20}{x}}+20=10$

首先，请注意，包含$x$ 的一边加上了$20$，所以最好先消除这个常数。两边同时加上$-20$

${\frac {20}{x}}+20+({\color {red}-20})=-10+({\color {red}-20})$

${\frac {20}{x}}+{\color {red}0}={\color {red}-10}$

请注意，上面的表达式可以改写成这种形式：$20x^{-1}=-10$。因为每个包含分数的问题都可以被视为简单的乘法，所以根据这个想法，可以将两边同时乘以${\frac {1}{20}}$ 来将$x$ 隔离出来。

$\left({\color {red}{\frac {1}{20}}}\right)\cdot 20x^{-1}=-10\cdot \left({\color {red}{\frac {1}{20}}}\right)$

$\left({\color {red}1}\right)\cdot x^{-1}=-\left({\color {red}{\frac {1}{2}}}\right)$

因为 $x$ 的倒数等于 $-{\frac {1}{2}}$，我们可以对等式两边取倒数的倒数。也就是说，取 ${\frac {1}{x}}$ 和 $-{\frac {1}{2}}$ 的倒数。这意味着解集将是

$x=-2$

由于上述示例的构建方式，您可能不确定哪种方法更快。然而，我们使用的方法（方框中的）在思维处理方面更快。熟悉代数运算的学生可能会使用上述方法（不在方框中），并且可能很快完成。然而，在介绍这些代数运算时，假设读者对代数不熟悉，我们假设使用方框中的方法会更快。

解多个变量的方程

请注意，在示例 2.2.d 中，我们通过将信息代入已知条件中，成功地消除了许多变量。这让我们了解了解多个变量的方程。您很难找到不需要解两个变量的情况。下面是一个例子，也许可以帮助您了解这种情况。但是，请注意，我们将不会给出解决方案。我们将在探讨解决方案的过程中进行探索。

示例 2.3.a：一对夫妇有一个共同基金，John 和 Mary 会从他们的收入中拨出一部分来支付必要的费用。John 愿意从他的收入中拨出 52% 来支付收入，而 Mary 愿意从她的收入中拨出 35% 来支付必要的费用。如果必要的费用每月 800 美元，而这对夫妇的总收入每月为 2,150 美元，那么 Mary 至少需要拨出多少钱才能履行她的承诺？ 这是一个非常有趣的问题。首先，我们需要知道 Mary 和 John 赚了多少钱。当然，我们可以直接询问他们更多细节，但让我们玩得开心一点。首先，让我们写下我们知道的是真的 Mary 和 John 的总收入每月为 2,150 美元。 Mary 希望从她的收入中拨出 35%。 John 希望从他的收入中拨出 52%。 必要的费用总计为 800 美元。Mary 和 John 希望从他们的收入中拨出一部分，以便能够支付全部费用。 由于我们不知道每个人赚了多少钱，让我们定义一些变量。用 $m$ 表示 Mary 每月的收入，用 $j$ 表示 John 每月的收入。由于我们知道 Mary 和 John 的总收入每月为 3,500 美元，以下方程成立 (1.2.3.1) $m+j=2150$ 由于我们知道 Mary 和 John 从他们的收入中拨出一部分用于支付每月费用，我们知道以下方程也成立 (1.2.3.2) $0.35m+0.52j=800$ 这就是我们拥有所有信息。但是，我们如何确定 Mary 和 John 的收入呢？

这是一个很有挑战性的问题，我们将在后面再回到它。但是，现在，把它看作我们很快就能解决的挑战问题。现在，让我们用抽象空间来代替现实世界。为什么要这样做呢？因为现实世界很混乱，而抽象世界遵循我们的规则和逻辑，尽管我们必须对它保持精准。

示例 2.3.b：如果 $2xy-4=-10$ 和 $y=-1$ 是方程组的一部分，求 $x$。 再次回到熟悉领域。这个问题在代入方面似乎与示例 2.2.d 类似。这种技术在这种情况下的效果尤其好，并且可以使我们的生活更加轻松。让我们将我们眼前的信息作为方程组逐条列出。我们通常使用左手边的括号来表示这些系统。有时，这些系统也可以用将两个方程写在一起的方式表示。 ${\begin{cases}2xy-4=-10\\y=-1\end{cases}}$ 请注意，该系统已定义 $y=-1$，由于它是该系统的一部分，我们可以在 $2xy-4=-10$ 中使用此信息。在进行此操作之前，让我们先求解第一个等式中的 $x$。我们将始终如一地进行此过程。到目前为止，您应该已经熟悉了这种代数运算，您可能不再需要我们。但是，我们仍然会解释一些我们认为需要解释的操作。让我们从使用代数对系统中的第一个方程式开始 $2xy-4=-10$ $\Rightarrow 2xy=-6$ 回想一下，乘法是可交换的。由于我们试图隔离 $x$，即我们感兴趣的变量，并且 $2y$ 乘以 $x$，可以将两边都除以 $2y$。对此的理由仅仅是结合律和交换律的问题，我们在 **例 2.2.b** 中已经详细解释过。请记住，这种结合律和交换律允许学生像以下那样除法 ${\begin{aligned}\Rightarrow x&=-{\frac {6}{2y}}\\&=-{\frac {3}{y}}\end{aligned}}$ 我们将在下一页进一步探讨这种分析。无论如何，这帮助我们求解了 $x$。利用我们所知道的，$y=-1$，我们可以执行以下操作来找到问题的答案 ${\begin{aligned}x&=-{\frac {3}{(-1)}}\\&=3\,\blacksquare \end{aligned}}$

我们所做的是 **用代入法求解**，这是一种技术，可以将系统中一个方程式中隔离的变量用于求解另一个方程式中感兴趣的变量。请记住，这可以对任何方程组进行，这也为我们提供了关于我们对方程组可以做什么的信息

系统的第一现实

当给出两个方程式时，始终可以求解其中一个方程组中的一个变量，然后将找到的结果代入另一个方程式。

“系统”这个词暗示着某种根深蒂固的东西，一个由相互合作的不同部分组成的机制。如果所有这些部分共同努力帮助找到系统中每个变量的解，那么可能可以使用这些单独的方程式来帮助求解另一个变量。有时，方程式不需要有两个不同的变量。请看下一个问题。

**例 2.3.c**：如果 ${\frac {5}{x}}=200$，那么 $54000-{\frac {200}{x}}$ 等于多少？ 使用方程组来解决这类问题可能看起来很不寻常。我们相信大多数学生会本能地知道如何完全解决这个问题。但是，系统与该问题之间的关系是不言而喻的。这个问题中包含两个方程式；我们知道要使用这两个方程式来解决这个问题。因此，假设以下内容为真 (1.2.3.3) ${\frac {5}{x}}=200$ (1.2.3.4) $54000-{\frac {200}{x}}=y$ 我们有两个未知数，$(x,y)$，我们想找到$y$，隐式地。为此，我们需要知道$x$ 是什么。唯一能帮助我们的是 (1.2.3.3)。首先，我们需要求解$x$。 ${\begin{aligned}{\frac {5}{x}}&=200\\&\Rightarrow 5x^{-1}=200\\&\Rightarrow x^{-1}=40\\&\Rightarrow x=40^{-1}={\frac {1}{40}}\end{aligned}}$ 现在我们知道了$x$ 等于什么，我们终于可以找到解集$(x,y)$。唯一可以找到$y$ 的方程是 (1.2.3.4)。因此 ${\begin{aligned}54000-{\frac {200}{x}}&=54000-{\frac {200}{40^{-1}}}\\&=54000-200\left(40^{-1}\right)^{-1}\\&=54000-200\cdot 40&{\text{This step will be justified in the next chapter.}}\\&=54000-8000\\&=46000\blacksquare \end{aligned}}$

然而，有时用代入法求解并不总是最有效的。例如，在这种情况下，或许可以使用以下事实：${\frac {5}{x}}=200$ 由于（1.2.3.4）包含项 ${\frac {200}{x}}$。这些项是相似的，因为它们之间存在一个常数倍数 $k$。根据这一逻辑，$k\cdot {\frac {5}{x}}={\frac {200}{x}}$ 意味着 $k={\frac {200}{5}}=40$。根据传递性质，${\frac {5}{x}}=200$ 意味着 $40\cdot 200={\frac {200}{x}}=8000$。因此，$54000-{\frac {200}{x}}=54000-8000=46000$.

大多数情况下，代入法是速度最快的。但是，在某些情况下，消去一个变量可能会大幅度改善情况。这种方法之所以有效，有其自然的理由，这与运算有关。

例 2.3.d：如果方程组中包含 $mv={\frac {\sqrt {3}}{2}}mv_{1}+{\sqrt {2}}mv_{2}$ 和 $0={\frac {1}{2}}mv_{1}-{\sqrt {2}}mv_{2}$，求 $v_{1}$ 和 $v_{2}$ 关于 $v$ 的表达式。 人们可能会尝试代入所需的信息来找到 $v$ 和 $v_{1}$。然而，仅靠代入法无法提供足够的信息来解答这个问题。这是因为 $v_{2}$ 需要更多信息，才能更容易地进行处理。我们需要将这些方程放在一起考虑。但首先，我们对它们进行标记。 (1.2.3.5) $mv={\frac {\sqrt {3}}{2}}mv_{1}+{\sqrt {2}}mv_{2}$ (1.2.3.6) $0={\frac {1}{2}}mv_{1}-{\sqrt {2}}mv_{2}$ 这两个方程是同一个系统的一部分。对于一个方程成立的条件，同样适用于另一个方程。然而，如果它们是同一个系统的一部分，那么在组合这两个不同的关系时，对一边进行的任何操作也必须对另一边进行。这个代数的基本原理可以扩展到不止一个系统。我们可以用以下方法充分证明这一点：令 $A=mv$ 且 $B=0$。根据传递性质，$mv={\frac {\sqrt {3}}{2}}mv_{1}+{\sqrt {2}}mv_{2}$ 或 (1.2.3.5)，以及 $0={\frac {1}{2}}mv_{1}-{\sqrt {2}}mv_{2}$ 或 (1.2.3.6)，意味着 (1.2.3.7) $A=mv={\frac {\sqrt {3}}{2}}mv_{1}+{\sqrt {2}}mv_{2}$ (1.2.3.8) $B=0={\frac {1}{2}}mv_{1}-{\sqrt {2}}mv_{2}$ 如果我们让 $A$ 和 $B$ 代表不同的方程，因为这些方程根据传递性质各自与另一边存在着关系，那么组合方程是一个有效的操作。 $\blacksquare$ （在我们解决问题的过程中，我们发现了一个重要的结论，需要先证明这个结论是正确的，然后才能使用它。这被称为**引理**，它经常以隐蔽的方式出现。请留意引理。）从我们上面学到的知识，我们可以组合两个不同的方程，它不会破坏任何东西。因此，让我们找到 $A+B$ ${\begin{aligned}A+B&=mv+0\\&=\left({\frac {\sqrt {3}}{2}}mv_{1}+{\sqrt {2}}mv_{2}\right)+\left({\frac {1}{2}}mv_{1}-{\sqrt {2}}mv_{2}\right)\\&={\frac {\sqrt {3}}{2}}mv_{1}+{\sqrt {2}}mv_{2}+{\frac {1}{2}}mv_{1}-{\sqrt {2}}mv_{2}\\&=\left({\frac {\sqrt {3}}{2}}+{\frac {1}{2}}\right)mv_{1}+{\color {Red}{\sqrt {2}}mv_{2}-{\sqrt {2}}mv_{2}}\\&=\left({\frac {\sqrt {3}}{2}}+{\frac {1}{2}}\right)mv_{1}+{\color {Red}0}\end{aligned}}$ 希望现在您能够顺利地按照代数运算步骤进行，无需任何指导。无论如何，我们找到了将两个关系式 (1.2.3.7) 和 (1.2.3.8) 相加得到的方程式。 (1.2.3.9) $A+B=mv=\left({\frac {\sqrt {3}}{2}}+{\frac {1}{2}}\right)mv_{1}$ 如果我们回顾问题，我们想要用 $v$ 表示 $v_{1}$，所以让我们来做一下。首先简化方程式。注意 $m$ 是方程式两边的公因数，因此可以安全地除掉它，假设 $m\neq 0$。 $mv=\left({\frac {\sqrt {3}}{2}}+{\frac {1}{2}}\right)mv_{1}$ $\Rightarrow v=\left({\frac {\sqrt {3}}{2}}+{\frac {1}{2}}\right)v_{1}$ $\Rightarrow {\frac {v}{\left({\frac {\sqrt {3}}{2}}+{\frac {1}{2}}\right)}}=v_{1}$ 这一步将在下一章中进行解释。我们已经完成了第一部分。 $\Rightarrow {\frac {2v}{\left({\sqrt {3}}+1\right)}}=v_{1}$ 我们已经回答了问题的前半部分。但是，我们需要找到 $v_{2}$。我们可以利用 (1.2.3.8) 很容易地做到这一点，因为我们可以使用零因子性质。让我们重新写一下下面的方程。 ${\begin{aligned}0&={\frac {1}{2}}mv_{1}-mv_{2}{\sqrt {2}}\\&=m\left({\frac {1}{2}}v_{1}-v_{2}{\sqrt {2}}\right)\end{aligned}}$ $\Rightarrow m=0{\text{ or }}{\frac {1}{2}}v_{1}-v_{2}{\sqrt {2}}=0$ 我们可以安全地忽略 $m$ 并处理另一个因子。 $\Rightarrow {\frac {1}{2}}\left({\frac {2v}{\left({\sqrt {3}}+1\right)}}\right)-v_{2}{\sqrt {2}}=0$ 现在用 $v$ 求解 $v_{2}$。 $\Rightarrow v_{2}{\sqrt {2}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {2v}{\left({\sqrt {3}}+1\right)}}\right)$ ${\begin{aligned}\Rightarrow v_{2}&={\frac {1}{\sqrt {2}}}\cdot {\frac {1}{2}}\left({\frac {2v}{\left({\sqrt {3}}+1\right)}}\right)\\&={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}\left({\frac {2v}{\left({\sqrt {3}}+1\right)}}\right)\\&={\frac {2v}{2{\sqrt {2}}\left({\sqrt {3}}+1\right)}}\\&={\frac {v}{{\sqrt {2}}\left({\sqrt {3}}+1\right)}}\end{aligned}}$ 我们已经找到了这个问题的两个解：$v_{1}={\frac {2v}{\left({\sqrt {3}}+1\right)}}$ 和 $v_{2}={\frac {v}{{\sqrt {2}}\left({\sqrt {3}}+1\right)}}\blacksquare$。

上述问题演示了方程组的下一个原理，我们已经在上面的问题中证明了它是正确的。方程组的有用之处在于，能够将方程组的这两个原理结合起来，帮助解决问题。使用算法的便利性是数学家遵循的原则之一，因为它可以帮助轻松地解决如果没有算法就几乎不方便甚至不可能解决的问题。

系统中的第二个现实

当给出两个方程时，总可以将系统中的两个方程结合起来。

方程组可以组合或单独求解，这两种操作可以以任意多种方式组合，以轻松且可靠地求解我们想要得到的两个变量。如果可能，最好 **用消元法求解**，即将两个方程组合起来，消去一个变量，然后通过组合后的方程求解另一个变量。这在上面的问题中得到了证明，也是我们找到使用系统第二现实的实用原因的方式。

从上面你学到的知识，你应该能够解决任何涉及两个方程组的问题。在我们回到最初的问题之前，让我们回顾一个问题；但是，让我们添加更多信息并稍微改变一下情况，以便我们可以了解物理学是如何再次出现在这本书中的。

**示例 2.3.e**：假设两个质量非零的块 $M$ 和 $m$ 连接到一个滑轮上，其中 $M={\frac {3}{2}}m$ 放在一个木制桌子上，动摩擦系数为 $\mu _{k}=0.5$，而 $m$ 悬挂在空中。以下方程模拟了这种情况 $${\begin{cases}\mathbf {F} _{T}+\mathbf {F} _{f}=Ma\\\mathbf {F} _{T}+\mathbf {F} _{w}=-ma\end{cases}}$$ 其中 $\mathbf {F} _{f}=-gM\mu _{k}$，和 $\mathbf {F} _{w}=-gm$，其中 $g$ 是一个常数，大约等于 $10{\tfrac {\text{m}}{{\text{s}}^{2}}}$。根据以下情况，以下哪些必须为真？选择所有适用的选项。 桌子上的块的摩擦力，$\mathbf {F} _{f}$，如果它在桌子上，将是悬挂在空中的质量 $m$ 的九倍。 桌子上的块的张力，$\mathbf {F} _{T}$，是悬挂在空中的质量的九倍。 系统的加速度大小，$a$，是 $1{\tfrac {\text{m}}{{\text{s}}^{2}}}$。 我们又遇到了一个棘手的难题，不过这次有选项。这些选项实际上是伪装成真假题的一种问题。我们要确定哪个陈述是正确的，并且只选择正确的陈述。选项限定了我们的关注点，所以我们要集中精力在陈述的内容上。从我们根据现有信息可以轻松判断的选项开始。 真或假？ 桌子上的方块的摩擦力，$\mathbf {F} _{f}$，如果方块在桌子上，将会是质量$m$的9倍。错！ 这是最容易评估的一个，因为我们拥有所有必要的信息。 $\mathbf {F} _{f}=-gM\mu _{k}$ $M={\frac {3}{2}}m$ $g\approx 10{\tfrac {\text{m}}{{\text{s}}^{2}}}$ $\mu _{k}=0.5$ 这只是一个简单的代入练习。如果这个是正确的，我们很容易找到一个答案。如果不是，我们也没浪费太多时间。 ${\begin{aligned}\mathbf {F} _{f}&=-gM\mu _{k}\\&=-{\frac {3}{2}}\cdot {\frac {1}{2}}\cdot 10m&{\text{[Clearly false, but let us continue.]}}\\&=-{\frac {3}{2}}\cdot 5m\\&=-{\frac {15}{2}}m\\\end{aligned}}$ 很明显，摩擦力不会是悬挂在空中的质量的9倍，因为10、2或5都不是9的倍数。不过，最终答案还是证实了这一点。 真或假？系统的加速度，$a$，是$1{\frac {\text{m}}{{\text{s}}^{2}}}$。正确！ 看一下上面的方程组。令$A={\color {Green}\mathbf {F} _{T}+\mathbf {F} _{f}=Ma}$ 和 $B={\color {Red}\mathbf {F} _{T}+\mathbf {F} _{w}=-ma}$。方程中是否存在可以通过这两个方程的组合消除的项？是的，可以从 $B$ 中减去 $A$，得到以下结果 ${\begin{aligned}A-B&=Ma-[-ma]=(M+m)a\\&=\left(\mathbf {F} _{T}+\mathbf {F} _{f}\right)-\left(\mathbf {F} _{T}+\mathbf {F} _{w}\right)\\&={\color {Red}\mathbf {F} _{T}}+\mathbf {F} _{f}-{\color {Red}\mathbf {F} _{T}}-\mathbf {F} _{w}\\&={\color {Red}\mathbf {F} _{T}}-{\color {Red}\mathbf {F} _{T}}+\mathbf {F} _{f}-\mathbf {F} _{w}\\&={\color {Red}0}+\mathbf {F} _{f}-\mathbf {F} _{w}\end{aligned}}$ 正如我们所知，以下方程描述了这种情况 (1.3.3.10) $\mathbf {F} _{f}-\mathbf {F} _{w}=(M+m)a$ 就像在**示例 2.2.d** 中一样，我们可以代入我们在上述问题中看到的熟悉信息。在这种情况下，$\mathbf {F} _{f}=-gM\mu _{k}$ 和 $\mathbf {F} _{w}=-gm$ 将在这里需要。因此，我们的下一个方程出现了 (1.3.3.11) $-gM\mu _{k}-(-gm)=(M+m)a$ 由于乘法的结合律和交换律，$-\left(-gm\right)=gm$（如果学生需要回忆为什么，请参见**示例 2.2.d**），因此该方程必须等效于 (1.3.3.12) $-gM\mu _{k}+gm=(M+m)a$ 请注意，$g$ 是左手边两项的公因子，因此 $-gM\mu _{k}+gm=g\left(-M\mu _{k}+m\right)$。以下是因式分解后的形式 (1.3.3.13) $g\left(-M\mu _{k}+m\right)=(M+m)a$ 回顾一下，我们试图解出 $a$，所以让我们继续将等式两边都除以$M+m$。 (1.3.3.14) ${\frac {g\left(-M\mu _{k}+m\right)}{M+m}}=a$ 在此时，我们拥有所有必要的信息来确定上述陈述是否属实。我们知道以下内容： $g=10{\tfrac {\text{m}}{{\text{s}}^{2}}}$ $\mu _{k}=0.5$ $M={\frac {3}{2}}m$ 以上这些都是帮助我们判断加速度是否为正值的信息。这应该是朝着正确方向迈出的良好一步，因为如果加速度为负值，那么我们就知道这个问题已经结束了，可以继续评估其他选择是否为真。无论如何，让我们代入已知的信息。 ${\begin{aligned}a&={\frac {10\left(-{\frac {3}{2}}m\cdot {\frac {1}{2}}+m\right)}{{\frac {3}{2}}m+m}}\\&={\frac {10m\left(1-{\frac {3}{2}}\cdot {\frac {1}{2}}\right)}{m\left({\frac {3}{2}}+1\right)}}&{\text{(Eliminate the }}m{\text{.)}}\\&={\frac {10\left(1-{\frac {3}{4}}\right)}{{\frac 3{2}}+1}}\\&={\frac {10\cdot {\frac 1{4}}}{\frac 5{2}}}\\&={\frac {\frac 5{2}}{\frac 5{2}}}\\&=1{\tfrac {\text{m}}{{\text{s}}^{2}}}\end{aligned}}$ 这是找到答案所需的最后一块信息。我们想要评估加速度是否确实为$1{\tfrac {\text{m}}{{\text{s}}^{2}}}$，事实证明，我们确实找到了表明这是一个可能答案的信息。 真或假？ 桌面上方块的张力 $\mathbf {F} _{T}$ 是 空气中悬挂质量的九倍。正确！ 这是一个奇怪的陈述。根据方程组，如果 $\mathbf {F} _{T}$ 对于一个或另一个并不不同，那么张力怎么可能对于每个块都不同呢？然而，粗略地看并不算分析，我们确实可以肯定，我们的结论太过仓促，无法成立。回顾方程组。 ${\begin{cases}\mathbf {F} _{T}+\mathbf {F} _{f}=Ma\\\mathbf {F} _{T}+\mathbf {F} _{w}=-ma\end{cases}}$ 现在我们已经知道了加速度的值，我们可以利用这些信息来回答关于质量为$M$的物体的张力的问题（这意味着我们必须使用第一个方程来保持它关于$M$）。然而，在物理学中，通常最好保持解的一般性，以确保我们从已知内容中学习到新东西。牢记$\mathbf {F} _{T}$是未知的，$\mathbf {F} _{f}=-gM\mu _{k}$，并且$a={\frac {g\left(-M\mu _{k}+m\right)}{M+m}}=1$。根据我们所知道的 (1.3.3.15) $\mathbf {F} _{T}-gM\mu _{k}=M{\frac {g\left(-M\mu _{k}+m\right)}{M+m}}$ 这里，$g$是方程右侧的一个因子，因为 ${\begin{aligned}{\frac {g\left(-M\mu _{k}+m\right)}{M+m}}&=\left(g\left(-M\mu _{k}+m\right)\right)\left(M+m\right)^{-1}\\&=g\left(-M\mu _{k}+m\right)\left(M+m\right)^{-1}&{\text{[}}g{\text{ is on the very left here.]}}\\&=g{\frac {-M\mu _{k}+m}{M+m}}\\&=g{\frac {m-M\mu _{k}}{M+m}}&\left[-M\mu _{k}+m=m-M\mu _{k}\right]\end{aligned}}$ 我们可以抓住机会求解$\mathbf {F} _{T}$，在 (1.3.3.15) 中找到。 $\Rightarrow \mathbf {F} _{T}=Mg{\frac {\left(-M\mu _{k}+m\right)}{M+m}}+Mg\mu _{k}$ $\Rightarrow \mathbf {F} _{T}=Mg\left({\frac {-M\mu _{k}+m}{M+m}}+\mu _{k}\right)$ 注意方程式 (1.3.3.14) 在等式右侧再次出现，只是这次缺少了一个 $g$ 的 *因子*。因为 ${\frac {g\left(-M\mu _{k}+m\right)}{M+m}}=a$，我们可以很容易地将上面的等式改写如下 $\Rightarrow \mathbf {F} _{T}=Mg\left({\frac {a}{g}}+\mu _{k}\right)$ 回想一下，$M={\frac {3}{2}}m$，$g=10{\tfrac {\text{m}}{{\text{s}}^{2}}}$，$\mu _{k}=0.5$ 以及 $a=1{\tfrac {\text{m}}{{\text{s}}^{2}}}$。根据我们所知，我们可以得出结论 ${\begin{aligned}\mathbf {F} _{T}&=Mg\left({\frac {a}{g}}+\mu _{k}\right)\\&=Ma+M\mu _{k}g\\&={\frac {3}{2}}ma+{\frac {3}{2}}mg\mu _{k}\\&={\frac {3}{2}}m\left(a+g\mu _{k}\right)\\&={\frac {3}{2}}m\left(1+10\cdot {\frac {1}{2}}\right)\\&={\frac {3}{2}}m\left(6\right)\\&=9m{\text{ Newtons}}\end{aligned}}$ 根据以上计算，$\mathbf {F} _{T}$ 用 $m$ 表示就是悬挂在空中的质量的 9 倍。从字面上看，这是真的！

我们已经找到了方程组在现实生活场景、抽象代数问题和证明中的应用。然而，我们仍然需要学习另一种工具。下面的抽象问题是我们在进行两个探索之前对它的最后演示。

例 2.3.f：将一个初始正数乘以混合数 $1{\tfrac {1}{3}}$，然后用这个结果除以初始数和 $1{\tfrac {1}{3}}$ 的和。然后，用这个结果减去另一个数与初始数之比。这个操作的结果是 $50$。已知初始数与混合数 $1{\tfrac {1}{3}}$ 的和的两倍的倒数的两倍减去这个结果等于 $50$ 乘以初始数的一半，求这两个数中较大的那个。 对于大多数学生来说，这种类型的问题很难回答，因为他们习惯于回答那些通常比较直观的问题。但是，如果你参加数学竞赛，你可能会遇到这样的问题（尽管语言很复杂）。 这里有一个有用的提示。当题目看起来很冗长时，把它变成一个等式！这样会使问题变得容易得多，希望你现在已经明白了。让我们来解码这个题目。设初始数为 $x$，另一个数为 $y$。让我们来理解题目中所说的内容。 注意：混合分数 $1{\tfrac {1}{3}}$ 等于 $1+{\frac {1}{3}}={\frac {3}{3}}+{\frac {1}{3}}={\frac {4}{3}}$，所以从现在开始我们将使用这个表达式。 将一个初始正数乘以混合数 $1{\tfrac {1}{3}}$，然后用这个结果除以初始数和 $1{\tfrac {1}{3}}$ 的和。 简单来说，$x$ 乘以 ${\frac {4}{3}}$。然后，这个乘积再除以这两个数的和。因此，表达式为 ${\frac {{\tfrac {4}{3}}x}{x+{\tfrac {4}{3}}}}$ 然后，用这个结果减去另一个数与初始数之比。 用 ${\frac {y}{x}}$ 减去前面的表达式，得到一个新的表达式 ${\frac {{\tfrac {4}{3}}x}{x+{\tfrac {4}{3}}}}-{\frac {y}{x}}$ 这个操作的结果是 $50$。 使这个表达式等于 $50$，这样就得到了这个问题中的第一个等式。 (1.2.3.16) ${\frac {{\tfrac {4}{3}}x}{x+{\tfrac {4}{3}}}}-{\frac {y}{x}}=50$ 给定初始数字和混合数 $1{\tfrac {1}{3}}$ 之和的两倍的倒数的两倍减去该结果的一半，将等于初始数字一半的 $50$ 倍... 这有点太多了，让我们进一步分解这些信息。 "给定两倍的初始数字和混合数 $1{\tfrac {1}{3}}$ 之和的两倍的倒数..." 将两倍 $x+{\tfrac {4}{3}}$ 的倒数乘以二。这意味着将 ${\frac {1}{2\left(x+{\tfrac {4}{3}}\right)}}$ 乘以二，从而得到部分表达式 $2\cdot {\frac {1}{2\left(x+{\tfrac {4}{3}}\right)}}$ 注意：虽然你们中有些人可能想要通过分母中的二来消除乘以分数的二，但最好保留二这个因子，至少在看到整个方程之前。 "...减去该结果的一半..." 从之前的表达式中减去 ${\frac {y}{2}}$. $2\cdot {\frac {1}{2\left(x+{\tfrac {4}{3}}\right)}}-{\frac {y}{2}}$ "...将等于 $50$ 倍初始数字的一半..." 使我们现在得到的表达式等于 $50\cdot {\frac {x}{2}}$，从而得到下一个方程 (1.2.3.17) $2\cdot {\frac {1}{2\cdot \left(x+{\tfrac {4}{3}}\right)}}-{\frac {y}{2}}=50\cdot {\frac {x}{2}}$ 尽管这些方程看起来很吓人，但我们已经让我们的生活变得轻松了许多。现在我们只需要找到其中一个数字，无论是初始数字还是另一个数字。在这种情况下，找到初始数字会更容易，因为我们可以找到一种方法来消除另一个数字。 回想一下我们只是允许这两个方程相互加减。我们通过传递性来证明这一点。此外，我们通过平等性质引入了方程，即对一侧所做的任何操作都必须对另一侧进行。好吧，由于加减和乘除都是明确的候选者，因此可以说将整个方程乘以任何因子都是可以的。 因为这个原理在孤立情况下有效，所以我们需要确保它在与我们已经知道的内容结合使用时有效。假设以下情况为真 (1.2.3.18) $A={\frac {{\tfrac {4}{3}}x}{x+{\tfrac {4}{3}}}}{\color {Red}-{\frac {y}{x}}}=50$ (1.2.3.19) $S_{1}=2\cdot {\frac {1}{2\cdot \left(x+{\tfrac {4}{3}}\right)}}-{\frac {y}{2}}=50\cdot {\frac {x}{2}}$ 我们的目标是将 $-{\frac {y}{2}}$ 转化为 ${\frac {y}{x}}$，以便我们可以进行以下操作：$A+S_{1}$。这将消除 ${\frac {y}{x}}$，它在 (1.2.3.18) 中用红色突出显示。 首先，注意 $S_{1}$ 中有一个公因子 ${\frac {1}{2}}$。由于 ${\frac {y}{x}}$ *没有* ${\frac {1}{2}}$ 的因子，我们可以将 $S_{1}$ 乘以 $2$，使 $-y$ 和 ${\frac {y}{x}}$ 之间有一个公因子 $1$。下面的操作将用红色标记我们要消除的目标（尽我们所能）。这给了我们以下结果 ${\begin{aligned}2S_{1}&=2\left[2\cdot {\frac {1}{2\cdot \left(x+{\tfrac {4}{3}}\right)}}-{\color {Red}{\frac {y}{2}}}\right]&\left[{\text{Recall }}C{\tfrac {1}{a}}={\tfrac {C}{a}}{\text{.}}\right]\\&=2\left[{\frac {2}{2\cdot \left(x+{\tfrac {4}{3}}\right)}}-{\color {Red}{\frac {y}{2}}}\right]&{\text{[Recall the distributive property.]}}\\&={\color {Green}2}\cdot \left[{\frac {2}{{\color {Green}2}\cdot \left(x+{\tfrac {4}{3}}\right)}}\right]-{\color {Green}2}\left({\frac {\color {Red}y}{\color {Green}2}}\right)&{\text{[Green colors will be eleminated.]}}\\&={\frac {2}{x+{\tfrac {4}{3}}}}-{\color {Red}y}\end{aligned}}$ 这个相同的原则应用于方程 (1.2.3.17) 的右边，由于该部分的练习非常简单，我们将在最终答案中将所有中间计算留给读者作为练习。由此，我们可以得到下一个方程。 (1.2.3.20) $2S_{1}={\frac {2}{x+{\tfrac {4}{3}}}}{\color {Red}-y}=50x$ 红色高亮显示的变量是我们感兴趣的变量，它包含一个 $-1$ 的因子，而这个因子在目标表达式 ${\frac {y}{x}}$ 中不存在，因此我们需要用 $-1$ 除以 $2S_{1}$，以便它能够抵消并使我们更接近 ${\frac {y}{x}}$。(或者，根据乘法的一个基本原理——负数乘以负数等于正数，我们可以乘以 $-1$）。由于这一步的难度很低，我们将把这个关键操作留给读者作为练习。 经过这种操作之后，我们缺少一个因子 ${\frac {1}{x}}$，因为 $y$ 和 ${\frac {y}{x}}$ 之间的唯一区别就是 ${\frac {1}{x}}$ 的因子。因此，我们需要将 $-2S_{1}$ 乘以它。因此，以下操作是成立的 ${\begin{aligned}{\frac {1}{x}}\cdot \left(-2S_{1}\right)&={\frac {1}{x}}\left[-{\frac {2}{x+{\tfrac {4}{3}}}}+{\color {Red}y}\right]\\&={\frac {1}{x}}\cdot \left[-{\frac {2}{x+{\tfrac {4}{3}}}}\right]+{\frac {1}{x}}\cdot {\color {Red}y}\\&=-{\frac {2}{x\left(x+{\tfrac {4}{3}}\right)}}+{\color {Red}{\frac {y}{x}}}\end{aligned}}$ 我们的计划终于揭晓了——目标已达成。令 $-{\frac {2}{x}}S_{1}=S_{2}$. 根据我们在 **示例 2.3.d** 中证明的内容，该引理表明我们可以通过加减来合并两个方程。然而，根据上述陈述，在进行运算 $A+S_{2}$ 时，根据传递性质，$A+S_{2}=A-{\frac {2}{x}}S_{1}$，这意味着我们可以在乘以常数或变量时合并两个方程。这就是我们的引理！该运算成立。首先，我们将通过解决问题来写出我们工作的结果。（另外，方程的另一边留作读者的另一个简单练习。） (1.2.3.21) $-{\frac {2}{x}}S_{1}=-{\frac {2}{x\left(x+{\tfrac {4}{3}}\right)}}+{\color {Red}{\frac {y}{x}}}=-50$ 剩下的就是进行我们一直在等待的运算：$A-{\frac {2}{x}}S_{1}$ ${\begin{aligned}A-{\frac {2}{x}}S_{1}&={\frac {{\tfrac {4}{3}}x}{x+{\tfrac {4}{3}}}}{\color {Red}-{\frac {y}{x}}}-{\frac {2}{x\left(x+{\tfrac {4}{3}}\right)}}+{\color {Red}{\frac {y}{x}}}=50-50\\&={\frac {{\tfrac {4}{3}}x}{x+{\tfrac {4}{3}}}}-{\frac {2}{x\left(x+{\tfrac {4}{3}}\right)}}=0\end{aligned}}$ (1.2.3.22) $A-{\frac {2}{x}}S_{1}={\frac {{\tfrac {4}{3}}x}{x+{\tfrac {4}{3}}}}-{\frac {2}{x\left(x+{\tfrac {4}{3}}\right)}}=0$ 这仅仅是我们计划的第一阶段。现在我们需要解出$x$。使用公分母来评估表达式会比较好，因为我们可以利用零因子定理。毕竟，分母不能等于零，而分数项为零。因此，分子必须为零。如果分数是单一的，那就很容易评估了。 注意分母项有一个公因数$x+{\frac {4}{3}}$（红色）。由于问题的设计方式，缺失的因数是$x$。因此，最好将${\frac {x}{x}}$乘以第一个分数。如果你不明白，最好在下面跟着做。 ${\begin{aligned}{\frac {{\tfrac {4}{3}}x}{\color {Red}x+{\tfrac {4}{3}}}}-{\frac {2}{x\left({\color {Red}x+{\tfrac {4}{3}}}\right)}}&={\frac {x}{x}}\cdot {\frac {{\tfrac {4}{3}}x}{\color {Red}x+{\tfrac {4}{3}}}}-{\frac {2}{x\left({\color {Red}x+{\tfrac {4}{3}}}\right)}}\\&={\frac {{\tfrac {4}{3}}x^{2}}{\color {Green}x\left(x+{\tfrac {4}{3}}\right)}}-{\frac {2}{\color {Green}x\left(x+{\tfrac {4}{3}}\right)}}&{\text{(The common denominator is highlighted in green.)}}\\&={\frac {{\tfrac {4}{3}}x^{2}-2}{x\left(x+{\tfrac {4}{3}}\right)}}=0\end{aligned}}$ (1.2.3.23) ${\frac {{\tfrac {4}{3}}x^{2}-2}{x\left(x+{\tfrac {4}{3}}\right)}}=0$ 由于分数项等于零，这意味着分子必须等于零。因此，为了使我们的生活更轻松，我们只关注分子。 (1.2.3.24) ${\frac {4}{3}}x^{2}-2=0$ 下面的因式分解形式可能看起来莫名其妙。但是，这将在本维基教科书的多项式章节中解释。现在，就假装你理解了，跟着做就可以了。 ${\begin{aligned}{\frac {4}{3}}x^{2}-2&={\frac {4}{3}}\left(x^{2}-{\frac {3}{2}}\right)\\&={\frac {4}{3}}\left(x-{\frac {\sqrt {3}}{\sqrt {2}}}\right)\left(x+{\frac {\sqrt {3}}{\sqrt {2}}}\right)\\&={\frac {4}{3}}\left(x-{\frac {\sqrt {6}}{2}}\right)\left(x+{\frac {\sqrt {6}}{2}}\right)=0\end{aligned}}$ (1.2.3.25) $x-{\frac {\sqrt {6}}{2}}=0$ 或 $\Rightarrow x+{\frac {\sqrt {6}}{2}}=0$ 题目要求我们从一个正数开始，因此我们只关注会导致该方程正数解的那个方程。 $x-{\frac {\sqrt {6}}{2}}=0$ $\Rightarrow x={\frac {\sqrt {6}}{2}}$ 在宣称我们完成了这道题之前，让我们确保我们的数学推导是有效的。我们需要确保我们没有陷入将 (1.2.3.23) 变成 ${\frac {0}{0}}$ 的陷阱。为了做到这一点，我们可以利用零因子定理。因为我们不能让分母等于 $0$，如果我们将分母设为零，我们就知道 $x$ 不能等于什么。如果我们的解 $x$ 最终导致分母等于零，那么我们就没有对问题中提出的原始问题得到解。 (1.2.3.26) $x\left(x+{\tfrac {4}{3}}\right)\neq 0$ 根据零因子定理，$x\neq 0$ 且 $x+{\tfrac {4}{3}}\neq 0$。“求解” $x$ 表明我们的解不会使分母等于零。虽然我们不会显式地证明这一点，但很明显 $x={\frac {\sqrt {6}}{2}}$ 是一个有效的解。 有些读者可能认为问题已经解决了。然而，我们仅仅处于寻找解决方案计划的第二阶段。问题要求我们找到 _更大_ 的数字，也就是最大的数字，并声明该数字的大小。因此，我们需要求解 $y$ 并将其与 $x$ 进行比较，然后才能说我们完成了问题。如果我们找到了更大的数字，这可能会浪费时间，但如果我们找到了错误的数字，我们会失去分数，因此最好确定答案。 由于 (1.2.3.18) 和 (1.2.3.19) 有一些 $y$，我们将使用这两个方程式中的一个。如果一个人很聪明，可能会尝试使用一个简化后的方程式。我们将允许学生这样做。我们将选择使用 (1.2.3.18)，因为我们不需要代入 $x$ 太多，这将使计算变得更容易。无论学生选择哪个方程式（包含 $y$），计算将很繁琐。 (1.2.3.27) ${\frac {{\tfrac {4}{3}}\left({\tfrac {\sqrt {6}}{2}}\right)}{\left({\tfrac {\sqrt {6}}{2}}\right)+{\tfrac {4}{3}}}}-{\frac {y}{\left({\tfrac {\sqrt {6}}{2}}\right)}}=50$ 让我们希望我们下面设计的评分方案易于理解。所有可以消去的数字将以红色突出显示，而可以因式分解的项将以绿色突出显示。此外，如果你还记得，平方根函数有一些奇怪的特性，将数字乘以它本身将得到平方根内的数字（此类运算用橙色标记）。记住这些信息，让我们应用一些数学。 ${\begin{aligned}{\frac {{\tfrac {\color {Green}4}{3}}\left({\tfrac {\sqrt {6}}{\color {Green}2}}\right)}{\left({\tfrac {\sqrt {6}}{2}}\right)+{\tfrac {4}{3}}}}-{\frac {y}{\left({\tfrac {\sqrt {6}}{2}}\right)}}&={\frac {\tfrac {2{\sqrt {6}}}{3}}{\tfrac {3{\sqrt {6}}+8}{6}}}-{\frac {2y}{\sqrt {6}}}\\&={\frac {{\color {Green}6}\cdot 2{\sqrt {6}}}{{\color {Green}3}(3{\sqrt {6}}+8)}}-{\frac {2y}{\color {Orange}{\sqrt {6}}}}\cdot {\frac {\sqrt {6}}{\color {Orange}{\sqrt {6}}}}\\&={\frac {2\cdot 2{\sqrt {6}}}{3{\sqrt {6}}+8}}-{\frac {{\color {Green}2}y{\sqrt {6}}}{\color {Green}6}}\\&={\frac {4{\sqrt {6}}}{3{\sqrt {6}}+8}}-{\frac {y{\sqrt {6}}}{3}}\\&={\frac {3(4{\sqrt {6}})-y{\color {Orange}{\sqrt {6}}}(3{\color {Orange}{\sqrt {6}}}+8)}{3(3{\sqrt {6}}+8)}}\\&={\frac {3\cdot 4{\sqrt {6}}-y\cdot 6\cdot 3-y{\sqrt {6}}\cdot 8}{3\cdot 3{\sqrt {6}}+3\cdot 8}}\\&={\frac {12{\sqrt {6}}-18y-8y{\sqrt {6}}}{9{\sqrt {6}}+24}}\\&={\frac {12{\sqrt {6}}-(18+8{\sqrt {6}})y}{9{\sqrt {6}}+24}}=50\\\end{aligned}}$ (1.2.3.28) ${\frac {12{\sqrt {6}}-(18+8{\sqrt {6}})y}{9{\sqrt {6}}+24}}=50$ 我们的计划即将完成，我们只需要解出 $y$。最简单的方法是用公式（1.2.3.28）左侧的分母乘以等式两边。从那里，很容易证明 $y<x$，而无需完全完成计算。我们将把这一步留给读者作为非平凡的练习。 根据我们提供的信息，可以肯定地说 $x>y$，因此较大的那个是 $x$。就大小而言，较大的是 $$x={\frac {\sqrt {6}}{2}}\blacksquare$$

这个例子用于介绍重要的概念证明，可以这么说，它涉及到对方程组进行的运算。如果了解归纳假设，就可以很容易地证明我们对方程组制定的运算适用于任何包含$n$个方程的系统。无论哪种方式，我们对系统最终的现实都会展现出来。

系统的第三个现实

给定两个方程时，始终可以将两个方程组合成一个系统，使得该系统中的至少一个方程乘以一个常数。

本文中描述的三个现实将适用于任何以某种方式涉及方程组的问题。我们将在本维基教科书的第二组章节中更多地探讨这些想法，包括多于两个方程的想法。现在，让我们充分地探讨这个概念。

探索 2-3：一对夫妇有一个共同的基金，约翰或玛丽都会从他们的收入中留出一部分，用于支付必要的支出。约翰愿意从他的收入中留出 52% 来支付必要的支出，而玛丽愿意从她的收入中留出 35% 来支付必要的支出。如果必要的支出每月 800 美元，而这对夫妇的总收入每月 2150 美元，玛丽为了履行她的承诺必须至少留出多少钱？

从我们在示例 2.3.a中建立的设置继续，可以消除 (1.2.3.1) 中找到的某些变量，以求解 $m$。因为我们想要找到 $m$，我们应该消除 $j$。可以将 (1.2.3.1) 乘以 $-0.52$。然后，通过将这两个方程相加，我们可以算出 $m$。这将导致 $-0.17m=-318$。我们发现玛丽的收入是 $1170.59$ 美元。但是，这并不能回答最初的问题：“玛丽应该留出多少钱来支付必要的支出？”将 32% 的收入乘以该数字即可得到答案：$598.59$ 美元。

注意：接下来的探索需要平方差公式：$x^{2}-y^{2}=(x+y)(x-y)$。在我们的 多项式 章节中可以找到该公式的解释。

探索 2-4：如果两个数的平均数是它们和的两倍除以它们的差，并且这两个平方数的差是 4，那么最小的数 $s$ 可能是多少？

设这两个数为 $a$ 和 $b$。以下是对情况的建模

$${\frac {a+b}{2}}={\frac {2\left(a+b\right)}{a-b}}{\text{ where }}a^{2}-b^{2}=\left(a-b\right)\left(a+b\right)=4$$ 由于有两个包含相同变量的方程，因此将它们放入一个方程组中： $${\begin{cases}{\frac {1}{2}}\left(a+b\right)=2{\frac {\left(a+b\right)}{a-b}}\\\left(a-b\right)\left(a+b\right)=4\end{cases}}$$ 由于交叉相乘，以下陈述也为真：$$\left(a+b\right)\left(a-b\right)=4\left(a+b\right)$$ 从那里求解

$\left(a+b\right)\left(a-b\right)=4=4\left(a+b\right)$

$\Rightarrow 1=\left(a+b\right)$

将该值代入方程组的第二个方程，并求解 $a-b$

$\left(a-b\right)\left(a+b\right)=4$

$\Rightarrow \left(a-b\right)\cdot 1=4$

$\Rightarrow \left(a-b\right)=4$

之后，将两个推导出的方程代入另一个方程组，并求解 $a$ 和 $b$: $${\begin{cases}\left(a-b\right)=4\\\left(a+b\right)=1\end{cases}}$$ 将两个方程相加并求解 $a$

$2a=5\Rightarrow a={\frac {5}{2}}=2{\frac {1}{2}}$.

代入任一方程并求解 $b$: $a+b=1\Rightarrow {\frac {5}{2}}+b=1\Rightarrow b=-{\frac {3}{2}}=-1{\frac {1}{2}}$.

因为 $b<a$，$b=s=-1{\frac {1}{2}}$.

稍后将添加更多探索。

不等式中的变量求解

在很多情况下，我们需要了解某些变量的值如何告诉我们整个运算的限制。例如，我们可能需要了解变量的限制，以便我们能够满足某些特定条件。

不等式是指一方不一定精确等于另一方的等式。也就是说，一方可能大于 ($>$) 或小于 ($<$) 另一方。从这些推论中，可以得出一些真理。这种可能性给了我们第一个性质。

对于任何两个实数 $a$ 和 $b$，只存在以下可能性之一

• $a<b$
• $a=b$
• $a>b$

该性质表明，两个数字不可能同时小于且等于另一个数字。这是不可能的。这就是所谓的 **严格不等式**。

存在 **大于或等于** ($\geq$) 和 **小于或等于** ($\leq$)。 然而，对于大于或等于，它只是在说 $a\geq b$，其中 **或者** $a$ 大于 $b$ **或者** $a=b$。 它并不意味着两者都成立，而是两者都可能成立。 对于小于或等于，也适用同样的推理。 因此，一个数字只能处于上述状态之一。

不等式的传递性质

对于任意三个实数 $a$，$b$，和 $c$， 存在以下唯一可能性之一:

• 如果 $a\leq b\leq c$， 那么 $a\leq c$。
• 如果 $a\geq b\geq c$， 那么 $a\geq c$。

当任一前提为严格不等式时，结论为严格不等式

• 如果 $a\leq b<c$， 那么 $a<c$。
• 如果 $a<b\leq c$， 那么 $a<c$。
• 如果 $a\geq b>c$， 那么 $a>c$。
• 如果 $a>b\geq c$， 那么 $a>c$。

这个性质应该是有道理的。假设$a<b<c$。因为 $b<c$ 并且 $a<b$，我们可以安全地得出结论$a<c$。当涉及到寻找相似的不等式时，这个性质非常重要，尤其是在想要证明某个不等式可能是不可行的时候。请注意，$a<b<c$ 等价于“$a<b$ 并且 $b<c$”。这被称为 **链式记法**。

不等式的逆性质

对于任何两个实数 $a$ 和 $b$，我们可以得出结论

• 如果 $a<b$，那么 $b>a$。
• 如果 $a>b$，那么 $b<a$。

这应该是有道理的。如果 $-3<10$，那么很明显 $10>-3$。因为这是一个性质，所以它被定义为真。

不等式的加法性质

对于任何三个实数 $a$，$b$，和 $c$，在不等式的两边加上任何实数 $c$ 将得到以下结果

• 对于 $a<b$，$a+c<b+c$。
• 对于 $a>b$，$a+c>b+c$。

假设一个数字处于$a<b$的状态。如果在不等式的两边都加上另一个实数$c$，那么$a+c<b+c$。这是有道理的，因为如果$a<b$，那么在两边都加上一个常数不会影响不等式，因为两边都增加了相同的值。因此，$a$仍然小于$b$。

对于将两边乘以同一个实数，也有类似的想法。但是，它比这更复杂一些。我们需要考虑$c>0$和$c<0$的情况。假设有两个实数$a$和$b$，使得$a<b$。如果两边都乘以$c>0$，那么$ac<bc$，因为两边都乘以了相同的数，所以积仍然必须是$ac<bc$。

不等式的乘法性质

对于任何三个实数$a$，$b$，和$c\neq 0$，将实数$c$乘以不等式的两边得到以下结果

• 如果$a<b$且$c>0$，那么$ac<bc$。
• 如果 $a<b$ 且 $c<0$，则 $ac>bc$。
• 如果 $a>b$ 且 $c>0$，则 $ac>bc$。
• 如果 $a>b$ 且 $c<0$，则 $ac<bc$。

类似的除法思想对于任何 $c\neq 0$ 都成立

不等式的除法性质

对于任何三个实数 $a$，$b$ 和 $c\neq 0$，用实数 $c$ 除不等式的两边，得到以下结果

• 如果 $a<b$ 且 $c>0$，则 ${\frac {a}{b}}<{\frac {b}{c}}$。
• 如果 $a<b$ 且 $c<0$，则 ${\frac {a}{b}}>{\frac {b}{c}}$。
• 如果 $a>b$ 且 $c>0$，则 ${\frac {a}{b}}>{\frac {b}{c}}$。
• 如果 $a>b$ 且 $c<0$，则 ${\frac {a}{b}}<{\frac {b}{c}}$。

这些性质有它们特殊的应用，在一些问题中非常有用，特别是在不等式组中。

不等式的加法逆性质

对于任意两个实数 $a$ 和 $b$，将不等式的两边乘以 $-1$，得到以下结果

• 如果 $a<b$，则 $-a>-b$。
• 如果 $a\leq b$，则 $-a\geq -b$。
• 如果 $a>b$，则 $-a<-b$。
• 如果 $a\geq b$，则 $-a\leq -b$。

不等式的乘法逆性质

对于任意两个非零实数 $a$ 和 $b$，将两边取其乘法逆元，得到

• 如果 $a<b$，则 ${\frac {1}{a}}>{\frac {1}{b}}$。
• 如果 $a\leq b$，则 ${\frac {1}{a}}\geq {\frac {1}{a}}$.
• 如果 $a>b$，则 ${\frac {1}{a}}<{\frac {1}{a}}$.
• 如果 $a\geq b$，则 ${\frac {1}{a}}\leq {\frac {1}{a}}$.

虽然这些性质比等式的性质要多得多，但理解这些性质非常重要，尤其是在处理方程组时。

以后会添加更多内容。

练习

说明：有些问题需要您从五个选项中选择一个。对于这些问题，请选择给出的最佳选项。
有些问题需要您在提供的框中键入数值答案。
有些问题需要您选择一个或多个答案选项。

1 初始的兩倍多四等於初始的三倍少三。初始是多少？

2 求解 $x$:
$12x+6={\frac {2x-7}{6}}$

	$-{\tfrac {22}{19}}$
	$-{\tfrac {19}{22}}$
	$-{\tfrac {43}{90}}$
	$-{\tfrac {13}{70}}$
	$-{\tfrac {13}{35}}$

3 初始的两倍少二等于初始的三倍少更大的两倍。如果更大的比初始的十二倍少二十四，那么初始和更大的和是多少？

使用以下信息回答下面的问题:
$$Mv_{M0}=Mv_{M}+mv_{m}$$

4 一个质量为 $M$ 的方块以速度 $v_{M0}$ 运动，另一个质量为 $m={\frac {1}{4}}M$ 的方块，与一根绷紧的绳子连接，绳子高出地面 2 米，处于静止状态。较大的方块与较小的方块碰撞，导致较小的方块在空中上升到高度 $h=0.5{\text{ m}}$，在 $\Delta \theta ={\frac {\pi }{6}}$ 弧度 $1.5$ 秒内。描述运动的方程在上面给出。角速度的切向速度为 $v={\frac {\Delta \theta }{r}}$ 下面的方程决定了外部系统的动能。如果一侧的动能与另一侧的动能不同，则认为该系统是非弹性的。根据以下信息，该系统保证哪些是正确的？选择所有适用选项。注意： $g\approx 10{\tfrac {\text{m}}{{\text{s}}^{2}}}$.
$${\frac {1}{2}}M{v_{M0}}^{2}={\frac {1}{2}}M{v_{M}}^{2}+mgh$$

	较小的方块的最终速度与 $10{\tfrac {\text{m}}{\text{s}}}$ 成正比。
	碰撞后，较大的方块的运动方向与较小的方块相反。
	该系统是弹性的。

5 求解 $x$：$x+2x+\ldots +9x+10x+11x=66$

$x=$

6 设 $a\in \mathbb {R}$ 且 $b\in \mathbb {Z} ^{+}$。如果 $0>c>ab$ 且 $a=b^{-1}+c$，那么哪些结论一定是正确的？请选择所有适用的结论。

	$ac^{-1}>b^{-1}$
	$1+bc>c$
	$a-b^{-1}<0$

7 如果 $x\left({\frac {5}{2}}x+{\frac {5}{2}}\right)\left({\frac {1}{3}}x-{\frac {2}{3}}\right)=0$，求解满足 $x\geq 1$ 的唯一解。(1.5 分)

$x=$

8 如果 $x+c=y+c$，且 $xc<yc$，那么在给定条件下，哪个不等式是正确的？

	$x-c<y-c$
	$x\left(c+1\right)-c\geq y\left(c-1\right)$
	$x\left(c+1\right)-c\leq y\left(c-1\right)$
	$x-c>y-c$
	在这种情况下，不存在正确的 不等式。

9 已知 $x$，$y$，$z$ 是大于零的常数实数，且 $xz\leq yz\leq z$，哪些结论一定是正确的？请选择所有适用的结论。

	$1\geq x^{-1}y\geq x^{-1}$
	$x\leq y\leq 1$
	$xy^{-1}z\leq z\leq y^{-1}z$

以后会添加更多内容。

脚注

1. 汽车上的“力”指的是合力，即 $\mathbf {F} _{\text{net}}=m\mathbf {a}$. 加速度 $\mathbf {a} ={\frac {\mathbf {v} -\mathbf {v} _{0}}{T}}$，题目中给出为 $5{\frac {\text{m}}{{\text{s}}^{2}}}$。质量 $m=400{\text{ kg}}$。由此，我们可以确定合力为 $\mathbf {F} _{\text{net}}=\left(400{\text{ kg}}\right)\left(5{\frac {\text{m}}{{\text{s}}^{2}}}\right)=2000{\text{ kg}}\cdot {\frac {\text{m}}{{\text{s}}^{2}}}=2,000{\text{ Newtons}}$.
2. 注意我们提到了 $g=0$ 或 $-M\mu _{k}+m=0$。 这是因为并不总是真的，两者都必须等于零。 我们只需要至少一个为真。 在这里，$g\approx -9.81$，这不是零！ 但是，在代数的背景下，我们说的是，如果我们要用 $g\left(-M\mu _{k}+m\right)=0$ 的因式分解形式，那么我们可以说因式 $g=0$ 或因式 $-M\mu _{k}+m=0$，这样我们就可以忽略 $g$ 以了解更多关于 $m$ 的信息。 在了解了这一点之后，我们现在可以确定 $-M\mu _{k}+m=0$。 否则，该方程将毫无意义。 或者，如果有人没有在两个项中都看到 $g$ 的因子，那么他们可以简单地执行相同的步骤，然后乘以 ${\frac {1}{g}}$。 这就是我们确切的意思
   $gm-gM\mu _{k}=0\Rightarrow gm=gM\mu _{k}\Rightarrow m=M\mu _{k}$