微积分/微分/微分基础/练习
用导数的极限定义求下列函数的导数。
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10. 利用导数的定义证明对于任何固定的实数 ,
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}[c\cdot f(x)]=c\cdot {\frac {d}{dx}}[f(x)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e100ac3ba73695d9c36ad8ada81efba4c2a01129)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}[c\cdot f(x)]&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {c\cdot f(x+\Delta x)-c\cdot f(x)}{\Delta x}}\\&=c\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}\\&=c{\frac {d}{dx}}[f(x)]\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c07443c9244e623f4190ad90f2f8dda344f84a57)
求下列函数的导数
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![{\displaystyle f(x)=3{\sqrt[{3}]{x}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7b861dfb68b951e23d614557d2cb071669b0851)
![{\displaystyle f'(x)={\frac {1}{\sqrt[{3}]{x^{2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94b10c8c5e4cbed34f88eb9719f071d312ee68a5)
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![{\displaystyle f'(x)={\frac {-2}{x^{3}}}+{\frac {1}{\sqrt[{3}]{x^{2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f3c4021f5bbdf8fa04027a4fe4c907a8c10cc18)
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![{\displaystyle f(x)={\frac {3}{x^{4}}}-{\sqrt[{4}]{x}}+x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff2d5e5287d1e1f9e9a3f66fe3d81364fbed337c)
![{\displaystyle f'(x)={\frac {-12}{x^{5}}}-{\frac {1}{4{\sqrt[{4}]{x^{3}}}}}+1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05c20d3197b7b30c1a5a6492e0b36998f19c1dc0)
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![{\displaystyle f'(x)={\frac {2}{\sqrt[{3}]{x^{2}}}}-{\frac {0.4}{x^{0.6}}}-{\frac {18}{x^{3}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afda870d55f5f874bfde34936a0bafe945ccd502)
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![{\displaystyle f(x)={\frac {1}{\sqrt[{3}]{x}}}+{\sqrt {x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa56b0f9f1e3f9dbd84b8e241f26eec58e0f966e)
![{\displaystyle f'(x)={\frac {-1}{3{\sqrt[{3}]{x^{4}}}}}+{\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/244d0f0859c7036984f53a7fd8ed474028a5afcc)
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三角函数
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更多微分
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![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}[(x^{3}+5)^{10}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/322d22bf641e5d6a35d63be10b39c7353404dfcd)
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![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}[x^{3}+3x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/052c718ffadbb9cb4954b7dd5791f055ff1ce77c)
67.
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}[(x+4)(x+2)(x-3)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/160ae1c70a96f198eb4c1fd16d0ed2940ce4acfb)
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![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}[{\frac {x+1}{3x^{2}}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9320f75bc1f03266f545ee487bd178d212956699)
69.
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}[3x^{3}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d330c0494fcf0513cd524464634f6360c2ed4c23)
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![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}[x^{4}\sin(x)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c54697e3e6e8b7be626f8ad40a67ef061ab14bde)
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![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}[2^{x}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70c4dd6b628068248913d496b20327629fc271d2)
72.
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}[e^{x^{2}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70feadeaf0a4d91cf66a795d8d2f169e942ec523)
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![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}[e^{2^{x}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea1c7dffc918e0d7462c5f97f9a145db84a16597)
隐函数求导
[edit | edit source]使用隐函数求导法求 y'
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对数微分
[edit | edit source]使用对数微分求
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![{\displaystyle y=x({\sqrt[{4}]{1-x^{3}}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24d04c97ee04319439a96db44e9efa9e702123a0)
![{\displaystyle y'={\sqrt[{4}]{1-x^{3}}}+{\frac {3x^{3}}{4(1-x^{3})^{\frac {3}{4}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28e6b605b503ecc19dc8eb0fa9804e1dbfbaeb5c)
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对于每个函数，，(a) 确定 的哪些值使得 的切线是水平的，以及 (b) 求在给定点处 的切线方程。
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87. 求定义由 的图像在点 (1,-1) 处的切线方程。
88. 求定义由 的图像在点 (1,0) 处的切线方程。
高阶导数
[edit | edit source]89. 的二阶导数是多少？
90. 使用归纳法证明，n 次多项式的第 (n+1) 阶导数为 0。
91. 令 是 的导数。证明 的导数是 .
92. 假设一个连续函数 在区间 上有三个根。如果 ，那么使用
- (a) 中值定理；
- (b) 罗尔定理；
- (c) 极值定理。
![{\displaystyle f(d)=c\in \left[f(-2),0\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e01c7ca0cd767dd136159e9462217fc21b9c2d7)
![{\displaystyle d\in \left[-2,2\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1c71d40549760ce0871c0d4f89deba85405eff4)
![{\displaystyle x\in \left[-2,2\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0628c1d0afabfc0fb43f3719fbf2eb8ccd4e516)
93. 令 ，其中 是 的反函数。令 可微。求 ？如果不能确定，为什么不能确定 ？
94. 令 ，其中 是一个常数。
如果可能，求一个 的值，使以下每个条件都成立。如果不可能，请证明为什么不能。
- (a) 函数 连续但不可微。
- (b) 函数 既连续又可微。
