微积分/洛必达法则

洛必达法则

有时，我们会遇到一个极限，其结果为 ${\frac {0}{0}}$ 或 ${\frac {\infty }{\infty }}$，被称为不定极限。然而，仍然可以通过洛必达法则来解决这些问题。这个法则在解释其他极限如何推导出方面至关重要。

定义：不定极限

如果 ${\frac {f(a)}{g(a)}}$ 存在，其中 $\lim _{x\to a}f(x)=\lim _{x\to a}g(x)=0$ 或 $\lim _{x\to a}f(x)=\lim _{x\to a}g(x)=\infty$，则极限 $\lim _{x\to a}{\frac {f(x)}{g(x)}}$ 被称为不定极限。

以下所有表达式都是不定形式。

${\frac {0}{0}},{\frac {\pm \infty }{\pm \infty }},\infty -\infty ,0\cdot \infty ,0^{0},\infty ^{0},1^{\infty }$

这些表达式被称为不定，因为你无法在不定形式中确定它们的确切值。根据具体情况，每个不定形式都可能计算为各种不同的值。

定理

如果 $\lim _{x\to a}{\frac {f(x)}{g(x)}}$ 是类型为 ${\frac {0}{0}}$ 或 ${\frac {\pm \infty }{\pm \infty }}$ 的不定极限，

然后 $\lim _{x\to a}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to a}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}$，其中 $a\in {\overline {\mathbb {R} }}$。

换句话说，如果函数的极限是不定式的，则该极限等于分子导数除以分母导数。如果 _该_ 极限也是不定式的，则可以重复使用洛必达法则，直到极限不再是 ${\frac {0}{0}}$ 或是 ${\frac {\infty }{\infty }}$。

0/0 情况的证明

假设对于实函数 $f$ 和 $g$，$\lim _{x\to a}f(x)=\lim _{x\to a}g(x)=0$，并且 $\lim _{x\to a}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}$ 存在。因此 $f'(x)$ 和 $g'(x)$ 在 $a$ 周围的区间 $(a-\delta ,a+\delta )$ 内存在，但可能在 $a$ 本身不存在。因此，对于任意 $x\in (a-\delta ,a+\delta )$，在任意区间 $[x,a]$ 或 $[a,x]$ 内，$f$ 和 $g$ 是连续且可微的，除了可能在 $a$。定义

${\begin{array}{l}F(x)={\begin{cases}f(x)&x\neq a\\\lim \limits _{x\to a}f(x)&x=a\end{cases}}\\G(x)={\begin{cases}g(x)&x\neq a\\\lim \limits _{x\to a}g(x)&x=a\end{cases}}\end{array}}$

注意 $\lim _{x\to a}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to a}{\frac {F(x)}{G(x)}}$，$\lim _{x\to a}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}=\lim _{x\to a}{\frac {F'(x)}{G'(x)}}$，以及 $F,G$ 在任何区间 $[a,x]$ 或 $[x,a]$ 内连续，在任何区间 $(a,x)$ 或 $(x,a)$ 内可微，当 $x\in (a-\delta ,a+\delta )$ 时。

柯西中值定理（参见 3.9）告诉我们，对于某个 $c\in (a,x)$ 或 $c\in (x,a)$，有 ${\frac {F(x)-F(a)}{G(x)-G(a)}}={\frac {F'(c)}{G'(c)}}$。由于 $F(a)=G(a)=0$，我们有 ${\frac {F(x)}{G(x)}}={\frac {F'(c)}{G'(c)}}$，对于 $x,c\in (a-\delta ,a+\delta )$。

由于 $c\in (x,a)$ 或 $c\in (a,x)$，根据 夹逼定理

$\lim _{x\to a}x=a\quad \Rightarrow \quad \lim _{x\to a}c=a$

这意味着

$\lim _{x\to a}{\frac {F'(c)}{G'(c)}}=\lim _{x\to a}{\frac {F'(x)}{G'(x)}}$

所以，当 $x\to a$时，对最后一个等式取极限得到 $\lim _{x\to a}{\frac {F(x)}{G(x)}}=\lim _{x\to a}{\frac {F'(x)}{G'(x)}}$，这等价于更常用的形式 $\lim _{x\to a}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to a}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}$。

例子

示例 1

求 $\lim _{x\to 0}{\frac {\sin(x)}{x}}$

由于将 0 代入 x 会得到 ${\frac {0}{0}}$，使用洛必达法则对分子和分母求导，得到

$\lim _{x\to 0}{\frac {{\frac {d}{dx}}\left(\sin(x)\right)}{{\frac {d}{dx}}(x)}}=\lim _{x\to 0}{\frac {\cos(x)}{1}}$

将 0 代入 x，这里得到 1。请注意，用洛必达法则证明这个极限在逻辑上是错误的，因为需要使用同一个极限来证明正弦函数的导数存在：这将是循环论证的一种形式。证明这个极限等于一的另一种方法是使用夹逼定理。

示例 2

求 $\lim _{x\to 0}x\cot(x)$

首先，需要将函数改写成不确定的极限分数

$\lim _{x\to 0}{\frac {x}{\tan(x)}}$

现在它是不确定的。对分子和分母求导

$\lim _{x\to 0}{\frac {1}{\sec ^{2}(x)}}$

再次将 0 代入 $x$ 得到 1。

示例 3

求 $\lim _{x\to \infty }{\frac {4x+22}{5x+9}}$

这次，将 $\infty$ 代入 x，得到 ${\frac {\infty }{\infty }}$。因此，使用洛必达法则得到

$\lim _{x\to \infty }{\frac {4}{5}}$

因此，${\frac {4}{5}}$ 是答案。

示例 4

找到$\lim _{x\to \infty }\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}$

将x的值代入极限得到

$\lim _{x\to \infty }\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}=1^{\infty }$（不定式）。

设$k=\lim _{x\to \infty }\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}=1^{\infty }$

$\ln(k)$	$=\lim _{x\to \infty }\ln \left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}$
	$=\lim _{x\to \infty }x\ln \left(1+{\frac {1}{x}}\right)$
	$=\lim _{x\to \infty }{\frac {\ln \left(1+{\frac {1}{x}}\right)}{\frac {1}{x}}}={\frac {\ln(1)}{\frac {1}{x}}}={\frac {0}{0}}$

现在我们通过对$x$求分子和分母的导数来应用洛必达法则。

$\ln(k)=\lim _{x\to \infty }{\frac {\ln \left(1+{\frac {1}{x}}\right)}{\frac {1}{x}}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {{\frac {d}{dx}}\left[\ln \left(1+{\frac {1}{x}}\right)\right]}{{\frac {d}{dx}}\left({\frac {1}{x}}\right)}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {x}{x+1}}$

因为

$\lim _{x\to \infty }{\frac {x}{x+1}}={\frac {\infty }{\infty }}$

我们再次应用洛必达法则

$\ln(k)=\lim _{x\to \infty }{\frac {x}{x+1}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {1}{1}}=1$

所以

$k=e$

并且

$\lim _{x\to \infty }\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}=e$

同样地，此极限也得到相同的结果

$\lim _{x\to \infty }\left(1+x\right)^{\frac {1}{x}}=e$

注意

这并没有证明 $1^{\infty }=e$，因为使用相同的方法

$\lim _{x\to \infty }\left(1+{\frac {2}{x}}\right)^{x}=1^{\infty }=e^{2}$

练习

使用洛必达法则计算以下极限

1. $\lim _{x\to 0}{\frac {x+\tan(x)}{\sin(x)}}$

2. $\lim _{x\to \pi }{\frac {x-\pi }{\sin(x)}}$

3. $\lim _{x\to 0}{\frac {\sin(3x)}{\sin(4x)}}$

4. $\lim _{x\to \infty }{\frac {x^{5}}{e^{5x}}}$

5. $\lim _{x\to 0}{\frac {\tan(x)-x}{\sin(x)-x}}$