微积分/欧拉方法

欧拉方法是一种基于函数的一阶导数值来估计函数值的方法。

求解 $y(x)$ 的通用算法是

$y_{n+1}=y_{n}+\Delta x_{\rm {step}}\cdot f(x_{n},y_{n}),$

其中 f 是 $y'(x)$ 。换句话说，新的值 $y_{n+1}$ 是旧值 $y_{n}$ 与步长 $\Delta x_{\rm {step}}$ 乘以变化 $f(x_{n},y_{n})$ 的和。

可以将该算法想象成一个拿着地图旅行的人：现在我站在这里，根据周围的环境，我朝那个方向走 1 公里。然后，我再次查看地图，确定我的方向，并再次朝那个方向走 1 公里。我重复这个过程，直到完成我的旅行。

欧拉方法主要用于求解以下形式的微分方程

$y'=f(x,y),y(x_{0})=y_{0}$

示例

一个简单的例子是求解方程

$y'=x+y,y(0)=1.$

这将得到 $f=y'=x+y$ ，因此，更新规则为

$y_{n+1}=y_{n}+0.1(x_{n}+y_{n})$

这里使用步长 $\Delta x_{\rm {step}}=0.1$ 。

跟踪算法生成的连续值的最佳方法是绘制一个表格，其中包含以下列：$n,x_{n},y_{n},y_{n+1}$ 。

以上方程式可以是例如人口模型，其中 y 是人口规模，x 是时间。