微积分/函数值近似

虽然许多情况下，一个值确实可以并且确实有一个精确的表示，可以用某个函数来描述，但在许多现实世界的环境中，特别是当需要对这些值进行近似时，这种方法是有用的。例如，建筑工人可能需要一个长为 ${\sqrt {2}}$ 英尺的房间。但是，这个值没有用，因为大多数尺子没有 ${\sqrt {2}}$ 的刻度。因此，工人们需要这个长度的近似值，才能建造一个长为 ${\sqrt {2}}$ 英尺的房间。

有些数字以前很难近似，现在仍然很难近似，但微积分使近似更容易。数值分析 子领域研究用于近似数字的算法，包括但不限于残差（值与真实值之间的偏差）、小数精度级别以及达到一定精度水平所需的程序执行次数。

虽然本节不会替代数值分析（甚至没有接近），但本节希望能介绍一些有效的算法，将值近似到令人惊讶的精度水平。

在深入本节之前，第 2.4 节已经介绍了一种使用微积分作为依据来近似函数解的方法，称为二分法。因此，使用微积分来近似值并不令人惊讶。

线性近似

图 1：函数在 $\alpha$ 处的切线很好地近似了 $f(c)$。

回顾导数的定义之一：它是函数 $f$ 在点 $x=\alpha$ 处的切线的斜率。考虑函数 $f$ 在 $x=\alpha$ 周围的局部行为，如果 $c-\alpha$ 很小 并且 $f(c)-f(\alpha )$ 很小，则切线可以很好地近似值 $f(c)$（参见图 1）。

线性近似

如果可微且连续的函数 $y=f(x)$ 在某个点 $f(\alpha )$ 的值已知，该点处的导数为 $f^{\prime }(\alpha )$，并且对于所有小的 $\epsilon _{0}>0$，都有 $|f(c)-f(\alpha )|=\epsilon _{0}$，那么在区间 $\left(x-\delta ,x+\delta \right)$ 上，对于某个小的 $\delta >0$，$f(c)$ 的值可通过以下公式近似。

(1) $f(c)\approx f^{\prime }(\alpha )(c-\alpha )+f(\alpha )$

证明：注意，在某个可微函数 $f(x)$ 上，$x=\alpha$ 处的切线方程如下：

(2) $h(x)=f^{\prime }(\alpha )(x-\alpha )+f(\alpha )$

其中 $h(x)$ 是切线的方程。

如果我们尝试通过切线来获得 $f(c)$（真实值），并且对于所有小的 $\epsilon _{0}>0$，都有 $|f(c)-f(\alpha )|=\epsilon _{0}$，那么 $h(c)\approx f(c)$。因此，

$f(c)\approx h(c)=f(\alpha )+f^{\prime }(\alpha )(c-\alpha )\qquad \square$

请注意，为了使用此技术，需要满足以下条件：

1. $f(x)$ 在 $x=\alpha$ 处可微，并在 $\left[\alpha ,c\right]$ 上连续。
2. $|c-\alpha |$ 很小，并且 $|f(c)-f(\alpha )|$ 很小。否则，可能会出现一些非常奇怪的近似值。
3. $f(x)$ 在 $\left[\alpha ,c\right]$ 上是 单调的。（您将在第 6.2 节中更全面地了解这一点。）

如果这些条件中的任何一个不成立，那么此技术将不起作用或用处不大。

示例 3.17.1：近似 ${\sqrt {1.01}}$ 令 $f(x)={\sqrt {x}}$。${\sqrt {1.01}}=f(1.01)$ 的精确值。 $f^{\prime }(x)={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}$ 在 $x=1$ 处的切线方程为 $y-f(1)=f^{\prime }(1)(x-1)\Leftrightarrow y=f^{\prime }(1)(x-1)+f(1)$ $y={\frac {1}{2}}x+{\frac {1}{2}}$ 令 $g(x)=y$。 假设 $g(1.01)\approx f(1.01)$。 那么，$f(1.01)\approx g(1.01)={\frac {1}{2}}(1.01)+{\frac {1}{2}}=1.005$。 因此，${\sqrt {1.01}}\approx 1.005$。 $\blacksquare$

线性逼近的好处是，我们不需要使用更难理解的函数，而是使用线性函数来估计函数的值，这可以说是我们所能使用的最简单的计算方法，假设导数的值很容易找到。

确定过高或过低估计

请注意，对于任何使用切线逼近（与线性逼近相同）获得的逼近，都存在一个余项，它将使逼近等于我们可以从函数中获得的真实值。 也就是说，

(3) $f(c)=f(\alpha )+f^{\prime }(\alpha )(c-\alpha )+R_{2}$

其中 $R_{2}$ 是余项。 不幸的是，这并不能让我们对残差进行精确估计，尤其是在我们无法找到该项的确切值的情况下。 虽然有一种技术可以确定这种类型估计的残差的上限，但将在第 6.11 节中进行，时间还很早。

目前，我们最好的解决方案是确定我们给出的估计值低于还是高于真实值，这可以通过以下技术来完成。

高于或低于切线逼近的真实值

• 如果 $f$ 在 $\alpha$ 和 $c$ 之间的区间内是凹向下的，则逼近将是一个过高估计。
• 如果 $f$ 在 $\alpha$ 和 $c$ 之间的区间内是凹向上的，则逼近将是一个过低估计。

理由：假设 $f(x)$ 是 $\left[\alpha ,c\right]$ 中的二次可微函数，并且 $\alpha <c$。

情况 1(A): 假设 $f^{\prime }(\alpha )>0$ 且 $f^{\prime \prime }(x_{0})<0$，其中 $x_{0}\in \left[\alpha ,c\right]$。那么，在 $(\alpha ,f(\alpha ))$ 的切线 $h(x)$ 斜率为正，且 $h(c)>f(c)$（见图 1 中的底部函数）。

情况 1(B): 假设 $f^{\prime }(\alpha )>0$ 且 $f^{\prime \prime }(x_{0})>0$，其中 $x_{0}\in \left[\alpha ,c\right]$。那么，在 $(\alpha ,f(\alpha ))$ 的切线 $h(x)$ 斜率为正，且 $h(c)<f(c)$。

情况 2(A): 设 $f^{\prime }(\alpha )<0$ 且 $f^{\prime \prime }(x_{0})<0$ 对 $x_{0}\in \left[\alpha ,c\right]$ 成立。那么，在 $(\alpha ,f(\alpha ))$ 的切线， $h(x)$ 的斜率为负，且 $h(c)>f(c)$.

情况 2(B): 设 $f^{\prime }(\alpha )<0$ 且 $f^{\prime \prime }(x_{0})>0$ 对 $x_{0}\in \left[\alpha ,c\right]$ 成立。那么，在 $(\alpha ,f(\alpha ))$ 的切线， $h(x)$ 的斜率为负，且 $h(c)<f(c)$ （参见 图 1 中的底部函数）。

由于向下凹函数无论切线斜率如何，都有 $h(c)>f(c)$，而向上凹函数无论切线斜率如何，都有 $h(c)<f(c)$，我们已经证明了我们想要证明的内容。 $\square$

例 3.17.2: ${\sqrt {1.01}}\approx {\frac {1}{2}}(1.01)+{\frac {1}{2}}=1.005$ 是高估还是低估？ 设 $f(x)={\sqrt {x}}$. $f^{\prime }(x)={\frac {1}{2}}x^{-{\frac {1}{2}}}={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}$ $f^{\prime \prime }(x)=-{\frac {1}{2}}x^{-{\frac {3}{2}}}$ 函数在所有$x\geq 1$处向下凹，因为 ${\begin{aligned}f^{\prime \prime }(x)&=-{\frac {1}{2}}(x)^{-{\frac {3}{2}}}\\&=-{\frac {1}{2x^{3/2}}}\end{aligned}}$. $\Rightarrow -{\frac {1}{2}}\leq -{\frac {1}{2x^{3/2}}}<0$对于所有$x\geq 1$. 最后一个推论的合理性在于$\lim _{x\to \infty }f^{\prime \prime }(x)=0$（作为一个练习，请自行证明这一点）。如果$f^{\prime \prime }(x)$是单调递减且有界的（事实的确如此——你可以用多种方式证明这一点），那么我们可以确定所示的不等式是正确的。 因为$f(x)$在从$x=1$到$x=1.01$的整个范围内都是向下凹的，${\sqrt {1.01}}\approx 1.005$是对真实值的过高估计。 $\blacksquare$

线性逼近的问题

虽然线性（或切线）逼近是一种强大且易于使用的工具，可用于逼近函数，但它也存在问题。这些问题在介绍该技术时就已暗示过。每个问题都将强调为什么该工具可能并不总是非常有用。

示例3.17.3：使用切线逼近逼近${\sqrt[{3}]{0.01}}$ 令 $f(x)={\sqrt[{3}]{x}}=x^{1/3}$。由于我们正在逼近 $f(0.01)$，我们可以使用在 $x=0$ 处的切线逼近来获得在 $f(0.01)$ 的逼近。不幸的是，$f^{\prime }(0)=\lim _{x\to 0}{\dfrac {\sqrt[{3}]{x}}{x}}$ 不收敛到有限值。因此这意味着切线是垂直的或不存在。由于导数在 $x=0$ 处不存在，因此无法使用线性方法获得准确的逼近。 $\blacksquare$

例 3.17.4：使用切线逼近来逼近 $(-0.8)^{4}-1.5(-0.8)^{2}$ 令 $f(x)=x^{4}-{\frac {3}{2}}x^{2}$。由于我们正在逼近 $f(-0.8)$，且 $-0.8-(-1)=0.2$ 是 $x$ 的一个小的差异，我们可以使用在 $x=-1$ 处的切线逼近来获得在 $f(-0.8)$ 的逼近。 $f(-1)=(-1)^{4}-1.5(-1)^{2}=1-1.5=-0.5$ $f^{\prime }(x)=4x^{3}-3x$ 在 $x=-1$ 处的切线方程为： $y-f(-1)=f^{\prime }(-1)(x+1)\Leftrightarrow y=f^{\prime }(-1)(x+1)+f(-1)$ $y=-x-1.5$ 令 $g(x)=y$。假设 $g(-0.8)\approx f(-0.8)$. 那么，$f(-0.8)\approx g(-0.8)=-(-0.8)-1.5=-0.7$。因此，$(-0.8)^{4}-1.5(-0.8)^{2}\approx -0.7$. 然而，这个近似值与实际值相差甚远。它在 $x=-0.8$ 处的函数实际值范围内存在 $R_{2}=0.1496$ 的误差。造成这种大误差的原因在于一个微妙的方面。 虽然导数在 $\alpha =-1$ 处存在，但函数在 $\left[-1,-0.8\right]$ 上不是单调的：函数既会下降也会上升。回顾你的阅读内容，一个函数是单调递减的，当且仅当对于任意 $x_{1},x_{2}\in \left[a,b\right]$ 且 $x_{1}<x_{2}$，$h(x_{1})>h(x_{2})$。然而，对于上述 $f(x)$ 存在反例，如果你将函数绘制出来就会很明显。 点击查看函数图像 因此，使用切线来近似 $(-0.8)^{4}-1.5(-0.8)^{2}$ 的值是不可取的。 $\blacksquare$

因为这将在第 6.2 节中更全面地学习，假设所有习题都具有单调函数。这个例子只是为了说明这种方法常遇到的一个常见陷阱。

牛顿-拉夫森方法

虽然切线近似非常有用，但它们往往只在您知道附近的值时才有用。但是，如果不存在附近的值来帮助估计其值，那么获得所需精确值的精确估计将非常困难。

牛顿-拉夫森法（在第 3.13 节中介绍）是一种有用的方法来确定函数的零点，无论它是多项式、超越、无理数、指数等。但是，牛顿-拉夫森法也可以用来近似特定函数的值。

牛顿-拉夫森方法

假设 $\alpha$ 是感兴趣的值。令 $x=\alpha$。存在某个函数 $f(x)$ 使得 $f(\alpha )=0$。如果需要 $\alpha$ 的近似值，则迭代地找到 $\alpha$，如下所示

(4) $\alpha \approx x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}$

如果您阅读了第 3.13 节，那么您应该已经了解并证明了这个等式。

例 3.17.5：近似 ${\sqrt {72}}$。 令 $x={\sqrt {72}}$。我们需要对这个等式进行操作，以便我们可以得到 $f(\alpha )=0$。 ${\begin{aligned}x&={\sqrt {72}}\\x^{2}&=72\\x^{2}-72&=0\\\end{aligned}}$ 由此，令 $f(x)=x^{2}-72$。由于 $x={\sqrt {72}}$ 是该方程的根，我们可以使用牛顿-拉夫森法来近似 ${\sqrt {72}}$。首先，我们选择一个初始猜测。由于 $f(8)=-8<0<f(9)=9$，并且 $f(9)>\left|f(8)\right|>0$，$x_{0}=8$ 是一个很好的初始猜测。在开始之前，我们需要函数的导数，可以很容易地证明它是 $f^{\prime }(x)=2x$。现在我们开始寻找根。 ${\begin{aligned}x_{1}&=8-{\frac {-8}{2\cdot 8}}&=8.5\\x_{2}&=8.5-{\frac {8.5^{2}-72}{2\cdot 8.5}}&=8.47058823529\\x_{3}&=8.47058823529-{\frac {8.47058823529^{2}-72}{2\cdot 8.47058823529}}&=8.48529411765\end{aligned}}$ 为了方便起见，我们将在此处停止。然而，我们获得的值已经是精确到四位小数。 $\blacksquare$

例 3.17.6：近似 ${\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}$。 令 $x={\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}$。我们需要操纵这个等式，以便我们可以获得 $f(\alpha )=0$。请记住尽可能消除平方根，这样我们的工作就会更容易。 ${\begin{aligned}x&={\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}\\x^{2}&=2+2{\sqrt {6}}+3\\x^{2}-5&=2{\sqrt {6}}&\\x^{4}-10x^{2}+25&=4\cdot 6\\x^{4}-10x^{2}+1&=0\end{aligned}}$ 请注意，该方程有四个可能的根，但我们只关心其中一个。回顾 $1+1=2<{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}<4=2+2$ 请注意 $f(3)=-8<0<f(4)=97$，所以我们选择 $x_{0}=3$。 令 $f(x)=x^{4}-10x^{2}+1$。那么，$f^{\prime }(x)=4x^{3}-20x$。 请注意 $4x(x^{2}-5)=0\Rightarrow x=0\vee x=\pm {\sqrt {5}}$ 意味着 $f^{\prime }(x)\neq 0$ 对于 $x\in \left({\sqrt {5}},4\right)$。 最后，请注意 $x_{n+1}=x_{n}-{\frac {x_{n}^{4}-10x_{n}^{2}+1}{4x_{n}^{3}-20x_{n}}}$ 无法简化。我们将不得不使用这些值进行运算。（请记住，即使没有计算器，过去许多人使用 计算尺 来处理这些复杂的值。与模拟计算尺相比，我们现在可以利用触手可及的电子计算机）。 现在我们开始找到根。 ${\begin{aligned}x_{1}&=3-{\frac {-8}{48}}={\frac {19}{6}}&\approx 3.16666666667\\x_{2}&={\frac {19}{6}}-{\dfrac {\frac {1657}{1296}}{\frac {3439}{54}}}={\frac {86569}{27512}}&\approx 3.14659057866\\x_{3}&=3.14659057866-{\frac {0.0201173085466}{61.686167862}}&\approx 3.14626445516\end{aligned}}$ 为了方便起见，我们将在此时停止计算。然而，我们已经获得的值在小数点后六位数已经准确了。 $\blacksquare$

失效分析

图 2: $x^{3}-2x+2$ 在 $0$ 和 $1$ 处的切线与 $x$ 轴分别相交于 $1$ 和 $0$，说明了为什么牛顿法对于某些起点会在这两个值之间振荡。

当然，正如我们从第 3.13 节所知，牛顿-拉夫森法并不完美，在某些情况下会失效。一个明显的情况是当某个点的导数为零时。由于该导数位于分母中，一旦发生这种情况，我们就无法找到下一个可能的根。然而，还有一些其他的情况。 参考

起点进入循环

对于某些函数，一些起点可能会进入无限循环，阻止收敛。令

$f(x)=x^{3}-2x+2\!$

并以 $0$ 为起点。第一次迭代产生 $1$，第二次迭代返回 $0$，因此该序列将在两者之间交替，而不会收敛到根（参见图 2）。此方程的真实解是 $-1.76929235\ldots$。在这种情况下，应该选择另一个起点。

导数在根处不存在

牛顿法发散的一个简单例子是求零的立方根。立方根是连续的，无限可微的，除了$x=0$，它的导数没有定义。

$f(x)={\sqrt[{3}]{x}}.$

对于任何迭代点$x_{n}$，下一个迭代点将是

$x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f^{\prime }(x_{n})}}=x_{n}-{\frac {{x_{n}}^{\frac {1}{3}}}{{\frac {1}{3}}{x_{n}}^{-{\frac {2}{3}}}}}=x_{n}-3x_{n}=-2x_{n}.$

该算法超过了解，落在$y$轴的另一侧，比最初更远；应用牛顿法实际上使每次迭代的解距离翻倍。

事实上，对于每个$f(x)=|x|^{\alpha }$，其中$0<\alpha <{\frac {1}{2}}$，迭代将发散到无穷大。在极限情况下$\alpha ={\frac {1}{2}}$，迭代将在点$x_{0}$和$-x_{0}$之间无限地交替，因此它们在这种情况下也不收敛。

不连续导数

如果导数在根处不连续，则收敛可能无法在根的任何邻域内发生。考虑函数

$f(x)={\begin{cases}0&{\text{if }}x=0\\x+x^{2}\sin \left({\dfrac {2}{x}}\right)&{\text{if }}x\neq 0\end{cases}}$

$f^{\prime }(x)={\begin{cases}0&{\text{if }}x=0\\1+2x\sin \left({\dfrac {2}{x}}\right)-2\cos \left({\dfrac {2}{x}}\right)&{\text{if }}x\neq 0\end{cases}}$

在根的任何邻域内，该导数随着 $x$ 从右侧（或左侧）逼近 $0$ 时不断变化符号，而 $f(x)\geq x-x^{2}>0$ 对于 $0<x<1$ 成立。

因此，${\dfrac {f(x)}{f^{\prime }(x)}}$ 在根附近是无界的，即使函数在所有地方都是可微的（因此是连续的），牛顿法几乎在根的任何邻域内都会发散，即使

• 该函数在所有地方都是可微的（因此是连续的）；
• 根处的导数不为零；
• $f$ 是无限可微的，除了在根处；并且
• 导数在根的邻域内是有界的（与 $f(x)/f^{\prime }(x)$ 不同）。

欧拉法

正如以下示例所示，欧拉法不像牛顿法那样快速地趋近于近似值。造成这种现象的原因有很多，但欧拉法并没有因为这个问题而失去实用价值。这些示例将展示欧拉法在何处具有实用价值。

示例 3.17.7：近似 ${\sqrt {6}}$。 令 $y={\sqrt {x}}$。我们需要找到一个微分方程 $y^{\prime }=f(x,y)$。请注意，我们将在最后一步做一些对于近似 $y(6)$ 很重要的操作。 ${\begin{aligned}y(x)&={\sqrt {x}}\\y^{\prime }(x)&={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}\\y&={\frac {1}{2y(x)}}\end{aligned}}$ 这里展示的最后一步非常重要。我们需要近似 ${\sqrt {x}}$。但是，如果我们试图近似 ${\sqrt {x}}$，如果我们需要使用平方根来进行近似，那么就无法做到这一点。相反，由于 $y={\sqrt {x}}$ 并且欧拉法为我们提供了新的 $y$ 值，我们可以得到一个近似值。 接下来，我们需要选择一个初始点，$(x_{0},y_{0})$。这是我们唯一使用函数 $y(x)$ 的实际值的点。在这种情况下，由于我们想要 ${\sqrt {6}}$，我们将选择 $y(4)=2$。从那里，我们可以选择步长，它可以是任意的。在这里，我们将选择 $\Delta x_{\rm {step}}=1$ ${\begin{array}{l || c|c || c}n&x_{n}=x_{n-1}+\Delta x_{\rm {step}}&y_{n}=y_{n-1}+\Delta x_{\rm {step}}\cdot f(x_{n-1},y_{n-1})&f(x_{n},y_{n})\\\hline 1&4&2.00000&{\frac {1}{2\cdot 2.00}}=0.25000\\2&5&2.25000&{\frac {1}{2\cdot 2.25}}=0.22222\\3&6&2.47222&{\frac {1}{2\cdot 2.47222}}\end{array}}$ 如这里所示，对 ${\sqrt {6}}$ 的近似值为 $2.47222$。它的绝对误差为 $0.0227325$，在大多数情况下，这已经相当不错了。例如，如果要设计一个盒子，那么这是一个可以接受的误差范围。 $\blacksquare$

虽然误差范围看起来很大，与 ${\sqrt {1.01}}$ 的局部线性近似值（绝对误差为 $0.0000124$）相比，但请记住，我们的步长远大于示例 3.17 中显示的步长。如果我们选择更小的步长，那么近似值会更准确（尽管可能有点麻烦）。例如，如果步长为 $\Delta x_{\rm {step}}=0.25$，那么绝对误差将约为 $0.005$。