微积分/极值和拐点

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最大值和最小值分别是函数达到最高值或最低值的点。极值（表示最大值或最小值）有两种类型：全局和局部，有时分别称为“绝对”和“相对”。全局最大值是指在函数的整个范围内取最大值的点，而全局最小值是指在函数的整个范围内取最小值的点。另一方面，局部极值是指函数在紧邻区域内的最大值或最小值。

在许多情况下，极值看起来像函数图形上的山峰或碗底。全局极值也总是局部极值，因为它是在函数的整个范围内取得最大值或最小值，因此也是其邻近范围内的最大值或最小值。函数也可以没有极值，无论是全局还是局部： $y=x$ 就是一个简单的例子。

在任何极值处，图形的斜率必然为 0（或未定义，例如 $-|x|$ ），因为图形必须在极值处停止上升或下降，并开始向相反方向移动。因此，极值也常称为驻点或拐点。因此，函数的一阶导数在极值处等于 0。如果图形有一个或多个这些驻点，可以通过将一阶导数设为 0 并求解所得方程的根来找到这些点。

但是，斜率为零并不保证是最大值或最小值：还存在第三类称为鞍点的驻点。考虑函数

f(x)=x^{3}

导数为

f'(x)=3x^{2}

在 $x=0$ 处的斜率为 0。我们有一个斜率为 0 的点，但虽然这使其成为一个驻点，但这并不意味着它是最大值或最小值。查看函数图形你会发现 $x=0$ 既不是最大值也不是最小值，它只是一个函数变平的点。真正的极值要求一阶导数的符号发生变化。这很有道理 - 你必须上升（正斜率）到最大值并下降（负斜率）从最大值。在上升和下降之间，在光滑的曲线上，会出现一个斜率为零的点 - 最大值。最小值将表现出类似的性质，只是顺序相反。

这导致了一个对驻点进行分类的简单方法 - 将 x 值稍微左移和右移代入函数的导数。如果结果的符号相反，那么它就是一个真正的最大值/最小值。你也可以使用这些斜率来确定它是最大值还是最小值：左边的斜率对于最大值是正的，对于最小值是负的。但是，你必须谨慎使用这种方法，因为如果你选择的点离极值太远，你可能会在另一个极值的另一侧取点，从而错误地对该点进行分类。

极值测试

对驻点进行分类的一种更严格的方法称为极值测试或二阶导数测试。如前所述，一阶导数的符号必须发生变化，驻点才能成为真正的极值。现在，函数的二阶导数告诉我们一阶导数的变化率。因此，如果二阶导数在驻点处为正，则梯度正在增加。事实上，它是一个驻点本身意味着这只能是一个最小值。相反，如果二阶导数在该点处为负，则它是一个最大值。

现在，如果二阶导数为 0，我们遇到了问题。它可能是一个拐点，也可能仍然是一个极值。下面的例子说明了这两种情况 - 所有这些情况在所讨论的驻点处都有二阶导数等于 0

$y=x^{3}$ 在 $x=0$ 处有一个拐点
$y=x^{4}$ 在 $x=0$ 处有一个最小值
$y=-x^{4}$ 在 $x=0$ 处取得最大值。

然而，这不是一个无法解决的问题。我们需要做的是继续求导，直到在第 $(n+1)$ 次导数处，在驻点获得非零结果。

f'(x)=0\ ,\ f''(x)=0\ ,\ \ldots \ ,\ f^{(n)}(x)=0\ ,\ f^{(n+1)}(x)\neq 0

如果 $n$ 为奇数，则驻点为真正的极值点。如果第 $(n+1)$ 次导数为正，则为最小值；如果第 $(n+1)$ 次导数为负，则为最大值。如果 $n$ 为偶数，则驻点为拐点。

例如，让我们考虑函数

f(x)=-x^{4}

现在我们求导，直到在驻点 $x=0$ 处获得非零结果（假设我们已经像往常一样找到了这个点）。

f'(x)=-4x^{3}

f''(x)=-12x^{2}

f'''(x)=-24x

f^{(4)}(x)=-24

因此， $n+1$ 为 4，所以 $n$ 为 3。这是一个奇数，四阶导数为负，因此我们有一个最大值。请注意，所给出的方法都不能告诉您这是一个全局极值还是局部极值。为此，您需要将函数设置为极值的高度，然后寻找其他根。

临界点

临界点 是函数导数为 0 或未定义的点。假设我们想要在一个闭区间上找到一个连续函数的最大值或最小值。该函数在该区间上的极值将出现在一个或多个临界点和/或一个或两个端点处。我们可以用反证法证明这一点。假设函数 $f(x)$ 在区间 $(a,b)$ 的点 $x=c$ 处取得最大值，其中函数的导数已定义且不为 $0$ 。如果导数为正，则比 $c$ 略大的 $x$ 值将导致函数增加。由于 $c$ 不是端点，其中至少一些值在 $[a,b]$ 中。但这与 $f(c)$ 是 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的最大值的假设相矛盾。类似地，如果导数为负，则比 $c$ 略小的 $x$ 值将导致函数增加。由于 $c$ 不是端点，其中至少一些值在 $[a,b]$ 中。这与 $f(c)$ 是 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的最大值的假设相矛盾。对于最小值也可以进行类似的论证。

示例 1

考虑区间 $[-1,1]$ 上的函数 $f(x)=x$ 。不受限制的函数 $f(x)=x$ 没有最大值或最小值。然而，在区间 $[-1,1]$ 上，很明显最小值将是 $-1$ ，出现在 $=-1$ 处，最大值将是 $1$ ，出现在 $x=1$ 处。由于不存在临界点（ $f'(x)$ 存在且处处等于 $1$ ），极值必须出现在端点处。