微积分/极值定理

极值定理

如果f是一个连续函数，在区间[$a,b$]上封闭，那么f在该区间上同时具有最小值和最大值。

这引入了我们关于全局极值和局部极值的概念。（分别也称为绝对极值或相对极值。）

这是为什么呢？让我们举个例子。

$f(x)=x^{2}$，并在区间[-1,2]上封闭。找出所有极值。

${\frac {dy}{dx}}=2x$

在(0,0)处存在一个临界点（导数为零的点）。为了练习，让我们用二阶导数检验来评估它是否是极小值或极大值。（你应该从图中知道它是极小值。）

${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=2$

$f''(c)>0$，因此它一定是极小值。

如前所述，可以在封闭区间上找到全局极值。如何找到呢？评估区间端点处的y坐标，并将它与临界点的y坐标进行比较。在封闭区间上寻找极值时，它被称为局部极值；而在整个图形上寻找极值时，它被称为全局极值。

1: 临界点: (0,0) 这是区间内最低的值。因此，它是局部极小值，同时也是全局极小值。

2: 左端点 (-1, 1) 这个点既不是临界点，也不是最高/最低值，因此它不属于任何类别。

3: 右端点 (2, 4) 这是区间内最高的值，因此它是局部极大值。

这个例子是为了向你展示极值定理。关键点是：在一个封闭区间上，函数将同时具有极小值和极大值。但是，如果该区间是所有实数的开放区间，那么(0,0)将是一个局部极小值。在封闭区间上，始终记得评估端点以获得全局极值。

一阶导数检验

回想一下，函数的一阶导数描述了函数图形上每个点的斜率，只要函数在该点被定义并可微分。

递增/递减

• 如果 $f'(x)<0\$，那么 $f(x)\$ 正在递减。

• 如果 $f'(x)>0\$，那么 $f(x)\$ 正在递增。

局部极值

• 如果 ${\frac {dy}{dx}}|_{x=c}=f'(c)=0$ 且 $f'(x)\$ 在 $x=c\$ 处改变符号，那么在 $x=c\$ 处存在一个局部极值。

• 如果 $f'(x)<0\$ 对于 $x<c\$ 且 $f'(x)>0\$ 对于 $x>c\$，那么 $f(c)\$ 是一个局部最小值。

• 如果 $f'(x)>0\$ 对于 $x<c\$ 且 $f'(x)<0\$ $x>c\$，那么 $f(c)\$ 是一个局部最大值。

例 1

Let $f(x)=3x^{2}+4x-5\$. Find all local extrema.

• 求 ${\frac {dy}{dx}}$

$f(x)=3x^{2}+4x-5\$

$f'(x)=6x+4\$

• 令 ${\frac {dy}{dx}}=0$ 来寻找局部极值。

$6x+4=0\$

$6x=-4\$

$x=-{\frac {2}{3}}$

• 确定在 $x=-{\frac {2}{3}}$ 处是否存在局部最小值或最大值。

选择一个比 $-{\frac {2}{3}}$ 小的x值

$f'(-1)=6(-1)+4=-2<0\$

选择一个比 $-{\frac {2}{3}}$ 大的x值

$f'(1)=6(1)+4=10>0\$

因此，在 $x=-{\frac {2}{3}}$ 处存在局部最小值，因为 $f'(-{\frac {2}{3}})=0$ 并且 $f'(x)\$ 在 $x=-{\frac {2}{3}}$ 处改变符号。

Answer: local minimum: $x=-{\frac {2}{3}}$.

二阶导数测试

回顾一下，函数的二阶导数描述了该函数图形的凹凸性。

• 如果 ${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}|_{x=c}=f''(c)=0$ 并且 $f''(c)\$ 在 $x=c\$ 处改变符号，则在 $x=c\$ 处存在拐点（凹凸性改变）。

• 如果 $f''(x)<0\$，则 $f(x)\$ 的图形是凹向下的。

• 如果 $f''(x)>0\$，则 $f(x)\$ 的图形是凹向上的。

示例 2

Let $f(x)=x^{3}+2x+7\$.  Find any points of inflection on the graph of $f(x)\$.

• 求 ${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}$.

$f(x)=x^{3}+2x+7\$

$f'(x)=3x^{2}+2\$

$f''(x)=6x\$

• 令 ${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=0$.

$6x=0\$

$x=0\$

• 确定 $f''(x)\$ 在 $x=0\$ 处是否改变符号。

选择一个小于 0 的 x 值。

$f''(-1)=6(-1)=-6<0\$

选择一个大于 0 的 x 值。

$f''(1)=6(1)=6>0\$

因此，在 $x=0\$ 处存在拐点，因为 $f''(0)=0\$ 且 $f''(x)\$ 在 $x=0\$ 处改变符号。

Answer: point of inflection: $x=0\$.