微积分/罗尔定理

罗尔定理

如果一个函数，$f(x)\$，在闭区间$[a,b]\$上连续，在开区间$(a,b)\$上可微，且$f(a)=f(b)\$，那么在区间$(a,b)\$中至少存在一个数 c，使得$f'(c)=0\ .$

罗尔定理在证明均值定理中很重要。

示例

示例

$f(x)=x^{2}-3x$。证明罗尔定理在这个函数中某个地方成立。为此，计算x截距，并将这些点用作你的区间。

解决方案

1: 问题希望我们使用x截距作为我们区间的端点。

将表达式因式分解得到$x(x-3)=0$。x = 0 和x = 3 是我们的两个端点。我们知道f(0) 和f(3) 相同，因此满足罗尔定理的第一部分 (f(a) = f(b))。

2: 现在根据罗尔定理，我们知道在这些点之间，斜率将为零。在哪里？很简单：求导数。

$dy \over dx$ $=2x-3$

因此，在$x=3/2$处，我们有一个斜率为零的位置。我们知道$3/2$（或 1.5）位于 0 和 3 之间。因此，罗尔定理对这种情况（对所有情况而言）都是正确的。这只是一个演示。