微积分/有限极限

非正式有限极限

现在，我们将尝试更仔细地重述上一章的想法。我们当时说，方程式 $\lim _{x\to 2}f(x)=4$ 意味着，当 $x$ 越来越接近 2 时，$f(x)$ 越来越接近 4。这究竟意味着什么？"接近"到底有多接近？我们可以用来处理这个问题的第一种方法是，当 $x=1.99\ ,\ f(x)=3.9601$ 时，它非常接近 4。

然而，有时函数可能做一些完全不同的事情。例如，假设 $f(x)=x^{4}-2x^{2}-3.77$，所以 $f(1.99)=3.99219201$。接下来，如果你取一个更接近 2 的值，$f(1.999)=4.20602$，在这种情况下，你实际上距离 4 更远了。原因是，当 $x$ 趋近于 2 时，代入得到 4.23。

解决方法是找出函数在任意接近该点时的行为。特别是，我们要说，无论我们希望函数有多接近 4，只要我们使 $x$ 足够接近 2，那么它就会到达那里。在这种情况下，我们将写

$\lim _{x\to 2}f(x)=4$

并说"当 $x$ 趋近于 2 时，$f(x)$ 的极限等于 4" 或 "当 $x$ 趋近于 2 时，$f(x)$ 趋近于 4。" 一般来说

定义：（极限的新定义）

我们称 $L$ 为当 $x$ 趋近于 $c$ 时 $f(x)$ 的极限，如果当 $x$ 足够接近（且不等于）$c$ 时，$f(x)$ 任意接近 $L$ 。

当满足上述条件时，我们记为

$\lim _{x\to c}f(x)=L$

或者

$f(x)\to L\quad {\mbox{as}}\quad x\to c$

单边极限

有时，需要考虑当我们从某个特定方向逼近某个 $x$ 值时会发生什么。为了解决这个问题，我们引入单边极限。在左极限中，$x$ 从左侧逼近 $a$ 。类似地，在右极限中，$x$ 从右侧逼近 $a$ 。

例如，如果我们考虑 $\lim _{x\to 2}{\sqrt {x-2}}$ ，就会出现问题，因为 $x$ 无法从左侧逼近 2（函数在此处未定义）。但是，如果 $x$ 仅从右侧逼近 2，我们想说 ${\sqrt {x-2}}$ 逼近 0。

定义：（单边极限的非正式定义）

如果 $f(x)$ 在 $x$ 充分接近且大于 $c$ 时， $f(x)$ 变得任意接近 $L$ ，我们称 $L$ 为 $f(x)$ 当 $x$ 从右侧逼近 $c$ 时的极限。

当满足上述条件时，我们记为

$\lim _{x\to c^{+}}f(x)=L$

类似地，如果 $f(x)$ 在 $x$ 充分接近且小于 $c$ 时， $f(x)$ 变得任意接近 $L$ ，我们称 $L$ 为 $f(x)$ 当 $x$ 从左侧逼近 $c$ 时的极限。

当满足上述条件时，我们记为

$\lim _{x\to c^{-}}f(x)=L$

在我们的例子中，左侧极限 $\lim _{x\to 2^{-}}{\sqrt {x-2}}$ 不存在。

然而，右手极限，$\lim _{x\to 2^{+}}{\sqrt {x-2}}=0$ 。

事实上，$\lim _{x\to c}f(x)$ 存在当且仅当 $\lim _{x\to c^{+}}f(x)$ 和 $\lim _{x\to c^{-}}f(x)$ 存在并且彼此相等。在这种情况下，$\lim _{x\to c}f(x)$ 将等于相同的数字。

在我们的例子中，一个极限甚至不存在。因此，$\lim _{x\to 2}{\sqrt {x-2}}$ 也不存在。