微积分/极限/极限导论

极限是进入微积分的第一步，它解释了该学科的复杂性。它用于定义导数和积分的过程。它还在其他情况下被用来直观地展示“逼近”的过程。

导论

直观的极限概念

极限是任何数学家手中的强大工具之一。我们将对极限进行一种方法的解释。因为数学的出现仅仅是由于方法……还记得吗？！

我们将极限表示为以下形式

$\lim _{x\to a}f(x)$

这读作“当 $x$ 趋近于 $a$ 时，$f$ 的极限”。这是需要记住的重要内容，它是全世界都接受的基本符号。

我们将在后面讨论如何确定 $f(x)$ 在 $a$ 处是否存在极限，以及如果存在，极限是多少。现在，我们将从直观的角度来看。

假设我们感兴趣的函数是 $f(x)=x^{2}$，我们感兴趣的是当 $x$ 趋近于 $2$ 时的极限。使用上面的符号，我们可以将我们感兴趣的极限写成如下形式

$\lim _{x\to 2}x^{2}$

评估此极限的一种方法是选择接近 2 的值，计算每个值的 $f(x)$，然后观察当它们越来越接近 2 时会发生什么。有两种方法可以接近 2 附近的值。一种是从下方接近，另一种是从上方接近。

$x$	1.7	1.8	1.9	1.95	1.99	1.999
$f(x)=x^{2}$	2.89	3.24	3.61	3.8025	3.9601	3.996001

上面的表格是自下而上的情况。

$x$	2.3	2.2	2.1	2.05	2.01	2.001
$f(x)=x^{2}$	5.29	4.84	4.41	4.2025	4.0401	4.004001

上面的表格是自上而下的情况。

从表格中可以看出，当 $x$ 越来越接近 2 时，$f(x)$ 似乎越来越接近 4，无论 $x$ 从上方还是下方接近 2。因此，我们有理由相信 $x^{2}$ 当 $x$ 趋近于 2 时的极限为 4，或者用极限符号表示为：

$\lim _{x\to 2}x^{2}=4$

我们也可以直接将 2 代入 $x^{2}$ 并计算：$(2)^{2}=4$。然而，这种方法并非适用于所有极限。

现在让我们来看另一个例子。假设我们对函数 $f(x)={\frac {1}{x-2}}$ 当 $x$ 趋近于 2 时的行为感兴趣。以下是用极限符号表示的极限：

$\lim _{x\to 2}{\frac {1}{x-2}}$

与之前一样，我们可以计算函数值，当 $x$ 从下方和上方趋近于 2。以下是一个表格，从下方趋近：

$x$	1.7	1.8	1.9	1.95	1.99	1.999
$f(x)={\frac {1}{x-2}}$	-3.333	-5	-10	-20	-100	-1000

以下是从上方趋近：

$x$	2.3	2.2	2.1	2.05	2.01	2.001
$f(x)={\frac {1}{x-2}}$	3.333	5	10	20	100	1000

在这种情况下，函数似乎没有随着 $x$ 趋近于 2 而趋近于一个单一的值，而是变成了一个极大的正数或负数（取决于趋近的方向）。我们说这样的极限不存在，因为没有一个有限数被趋近。这引出了无穷大的概念：一个未定义的量，极限也称为无穷极限或无界极限。

请注意，我们不能像第一个例子那样，直接将 2 代入 ${\frac {1}{x-2}}$ 并计算，因为我们将被 0 除。

这两个例子看起来可能很琐碎，但请考虑以下函数：

$f(x)={\frac {x^{2}(x-2)}{x-2}}$

此函数与以下函数相同：

$f(x)=\left\{{\begin{matrix}x^{2}&{\text{if }}x\neq 2\\{\mbox{undefined}}&{\text{if }}x=2\end{matrix}}\right.$

请注意，这些函数实际上是完全相同的；不仅仅是“几乎相同”，而是根据函数定义，完全相同；它们对每个输入都给出完全相同的输出。

在初等代数中，一种典型的方法是简单地说，我们可以取消 $(x-2)$ 这一项，然后我们得到了函数 $f(x)=x^{2}$。然而，这是不准确的；我们现在得到的函数并不真正与我们开始的函数相同，因为它在 $x=2$ 时有定义，而我们最初的函数在 $x=2$ 时没有定义。这可能看起来是一个小问题，但从这种假设出发，我们很容易得出荒谬的结果，例如 $0=1$（参见维基百科中关于数学谬误 § 所有数字都等于所有其他数字的完整示例）。即使没有微积分，我们也可以通过以下说法来避免这种错误。

$f(x)={\frac {x^{2}(x-2)}{x-2}}=x^{2}{\text{ when }}x\neq 2$

在微积分中，我们可以引入一种更直观且更正确的方式来看待这种类型的函数。我们希望能够说，尽管函数在 $x=2$ 时没有定义，但它几乎像定义了一样。它可能无法到达那里，但它确实非常非常接近。例如，$f(1.99999)=3.99996$。我们唯一要问的问题是：我们所说的“接近”是什么意思？

极限的非正式定义

由于极限的精确定义有点技术性，所以从非正式定义开始会更容易；我们稍后会解释正式定义。

我们假设函数 $f$ 在 $x$ 接近 $c$ 时有定义（但我们不要求它在 $x=c$ 时有定义）。

极限的非正式定义

我们称$L$ 为当$x$ 趋近于$c$ 时，$f(x)$ 的极限，如果当$x$ 接近（但不等）于$c$ 时，$f(x)$ 变得接近$L$，并且不存在其他具有相同性质的值$L'$。

当这种情况成立时，我们写

$\lim _{x\to c}f(x)=L$

或者

$f(x)\to L\quad {\text{as}}\quad x\to c$

注意，极限的定义与当$x=c$ 时$f(x)$ 的值无关（该值可能存在也可能不存在）。我们只关心当$x$ 接近$c$ 时，$f(x)$ 的值，无论是在左侧还是右侧（即小于或大于）。

极限也可以理解为：$x$ 无限接近于 $c$ 但永远不会等于 $c$，就像函数 $f(x)={\frac {1}{x}}$ 一样，它无限接近于 $0$ 但永远不会等于 $0$.

基础

规则和恒等式

现在我们已经非正式地定义了什么是极限，接下来我们将列出一些对处理和计算极限很有用的规则。一旦我们正式定义了函数极限的基本概念，你就可以证明所有这些规则。

首先，**常数规则**指出，如果 $f(x)=b$（也就是说，$f$ 对所有 $x$ 都是常数）那么当 $x$ 接近于 $c$ 时，极限必须等于 $b$。换句话说

极限的常数规则

如果 $b$ 和 $c$ 是常数，那么 $\lim _{x\to c}b=b$.

**示例**：$\lim _{x\to 6}5=5$

其次，**恒等式规则**指出，如果 $f(x)=x$（也就是说，$f$ 只是返回你输入的任何数字），那么 $f$ 当 $x$ 趋近于 $c$ 的极限等于 $c$。 也就是说，

极限的恒等式规则

如果 $c$ 是一个常数，那么 $\lim _{x\to c}x=c$.

**例子**：$\lim _{x\to 6}x=6$

接下来的几条规则告诉我们，在已知一些极限值的情况下，如何计算其他极限。

极限的运算恒等式
假设 $\lim _{x\to c}f(x)=L$ 且 $\lim _{x\to c}g(x)=M$，并且 $k$ 是一个常数。 那么

• $\lim _{x\to c}k\cdot f(x)=k\cdot \lim _{x\to c}f(x)=k\cdot L$
• $\lim _{x\to c}{\Big [}f(x)+g(x){\Big ]}=\lim _{x\to c}f(x)+\lim _{x\to c}g(x)=L+M$
• $\lim _{x\to c}{\Big [}f(x)-g(x){\Big ]}=\lim _{x\to c}f(x)-\lim _{x\to c}g(x)=L-M$
• $\lim _{x\to c}{\Big [}f(x)\cdot g(x){\Big ]}=\lim _{x\to c}f(x)\cdot \lim _{x\to c}g(x)=L\cdot M$
• $\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {\lim \limits _{x\to c}f(x)}{\lim \limits _{x\to c}g(x)}}={\frac {L}{M}}\quad {\text{ provided }}M\neq 0$

请注意，在最后一个规则中，我们需要要求 $M$ 不等于 0（否则我们将被零除，这是一个未定义的操作）。

这些规则被称为 **恒等式**；它们是极限的标量积、和、差、积和商规则。（标量是常数，当您将函数乘以常数时，我们说您正在执行 **标量乘法**。）

利用这些规则，我们可以推导出另一个规则。即，多次使用乘积规则，我们得到

$\lim _{x\to c}f(x)^{n}=\left(\lim _{x\to c}f(x)\right)^{n}=L^{n}$ 对于正整数 $n$。

这被称为 **幂规则**。

因此，我们可以肯定地说，所有多项式函数的极限都可以推导出满足恒等式规则的几个极限，因此更容易计算。

示例 1

求极限 $\lim _{x\to 2}4x^{3}$.

我们需要简化问题，因为我们没有关于这个表达式本身的规则。我们从上面的恒等式规则知道 $\lim _{x\to 2}x=2$。根据幂规则，$\lim _{x\to 2}x^{3}=\left(\lim _{x\to 2}x\right)^{3}=2^{3}=8$。最后，根据标量乘法规则，我们得到 $\lim _{x\to 2}4x^{3}=4\cdot \lim _{x\to 2}x^{3}=4\cdot 8=32$.

$\blacksquare$

示例 2

求极限 $\lim _{x\to 2}{\Big [}4x^{3}+5x+7{\Big ]}$.

非正式地，我们将表达式再次拆分成它的组成部分。如上所述，$\lim _{x\to 2}4x^{3}=32$.

此外，$\lim _{x\to 2}5x=5\cdot \lim _{x\to 2}x=5\cdot 2=10$ 以及 $\lim _{x\to 2}7=7$。将两者相加得到

$\lim _{x\to 2}{\Big [}4x^{3}+5x+7{\Big ]}=\lim _{x\to 2}4x^{3}+\lim _{x\to 2}5x+\lim _{x\to 2}7=32+10+7=49$.

$\blacksquare$

例 3

求极限$\lim _{x\to 2}{\frac {4x^{3}+5x+7}{(x-4)(x+10)}}$。

根据前面的例子，分子极限为 $\lim _{x\to 2}{\Big [}4x^{3}+5x+7{\Big ]}=49$。分母极限为

$\lim _{x\to 2}(x-4)(x+10)=\lim _{x\to 2}{\big [}x-4{\big ]}\cdot \lim _{x\to 2}{\big [}x+10{\big ]}=(2-4)(2+10)=-24$

由于分母极限不等于零，我们可以进行除法运算。结果为

$\lim _{x\to 2}{\frac {4x^{3}+5x+7}{(x-4)(x+10)}}=-{\frac {49}{24}}$.

$\blacksquare$

例 4

求极限$\lim _{x\to 4}{\frac {x^{4}-16x+7}{4x-5}}$。

我们用与上一组示例相同的过程；

$\lim _{x\to 4}{\frac {x^{4}-16x+7}{4x-5}}={\frac {\lim \limits _{x\to 4}{\Big [}x^{4}-16x+7{\Big ]}}{\lim \limits _{x\to 4}{\Big [}4x-5{\Big ]}}}={\frac {\lim \limits _{x\to 4}x^{4}-\lim \limits _{x\to 4}16x+\lim \limits _{x\to 4}7}{\lim \limits _{x\to 4}4x-\lim \limits _{x\to 4}5}}$.

我们可以计算出这些值；$\lim _{x\to 4}(x^{4})=256\ ,\ \lim _{x\to 4}(16x)=64\ ,\ \lim _{x\to 4}(7)=7\ ,\ \lim _{x\to 4}(4x)=16\ ,\ \lim _{x\to 4}(5)=5.$ 因此，答案是 ${\frac {199}{11}}$.

$\blacksquare$

示例 5

求极限$\lim _{x\to 2}{\frac {x^{2}-3x+2}{x-2}}$.

在这个例子中，直接计算结果会导致除以 0。虽然你可以通过实验确定答案，但也可以使用数学方法来解决。

首先，分子是一个可以因式分解的多项式：$\lim _{x\to 2}{\frac {(x-2)(x-1)}{x-2}}$

现在，我们可以用$(x-2)$同时除分子和分母：$\lim _{x\to 2}(x-1)=(2-1)=1$

请记住，极限是一种确定函数逼近值的方法，而不是函数本身的值。因此，虽然函数在$x=2$处未定义，但当$x\rightarrow 2$时，函数的值正在逼近$1$

$\blacksquare$

示例 6

求极限 $\lim _{x\to 0}\left[{\frac {1-\cos(x)}{x}}\right]$.

为了计算这个看似复杂的极限，我们需要回忆一些正弦和余弦恒等式（参见第 1.3 章）。我们还需要用到两个新的事实。首先，如果 $f(x)$ 是一个三角函数（即正弦、余弦、正切、余切、正割和余割函数之一），并且在 $a$处有定义，则 $\lim _{x\to a}f(x)=f(a)$.

其次，$\lim _{x\to 0}{\frac {\sin(x)}{x}}=1$。这可以用 夹逼定理 证明。注意洛必达法则不能用来计算这个极限，因为它会导致循环推理，

也就是说，求 $\sin x$ 的导数需要这个极限等于 1，而这正是我们要证明的等式。

方法 1（在学习洛必达法则之前）

为了计算极限，认识到 $1-\cos(x)$ 可以乘以 $1+\cos(x)$ 来得到 $1-\cos ^{2}(x)$，根据我们的三角恒等式，它等于 $\sin ^{2}(x)$。所以，分子和分母都乘以 $1+\cos(x)$。（这是允许的，因为它相当于乘以 1。）这是计算分数极限的标准技巧；用一个精心选择的表达式乘以分子和分母，这样表达式就会以某种方式简化。在这种情况下，我们应该得到

$\lim _{x\to 0}\left[{\frac {1-\cos(x)}{x}}\right]$	$=\lim _{x\to 0}\left[{\frac {1-\cos(x)}{x}}\cdot {\frac {1}{1}}\right]$
	$=\lim _{x\to 0}\left[{\frac {1-\cos(x)}{x}}\cdot {\frac {1+\cos(x)}{1+\cos(x)}}\right]$
	$=\lim _{x\to 0}{\frac {{\big (}1-\cos(x){\big )}{\big (}1+\cos(x){\big )}}{x{\big (}1+\cos(x){\big )}}}$
	$=\lim _{x\to 0}{\frac {1-\cos ^{2}(x)}{x{\big (}1+\cos(x){\big )}}}$
	$=\lim _{x\to 0}{\frac {\sin ^{2}(x)}{x{\big (}1+\cos(x){\big )}}}$
	$=\lim _{x\to 0}\left[{\frac {\sin(x)}{x}}\cdot {\frac {\sin(x)}{1+\cos(x)}}\right]$.

下一步是根据乘积法则将它分解成$\lim _{x\to 0}\left[{\frac {\sin(x)}{x}}\right]\cdot \lim _{x\to 0}\left[{\frac {\sin(x)}{1+\cos(x)}}\right]$。如上所述，$\lim _{x\to 0}\left[{\frac {\sin(x)}{x}}\right]=1$。

接下来，$\lim _{x\to 0}\left[{\frac {\sin(x)}{1+\cos(x)}}\right]={\frac {\lim \limits _{x\to 0}{\big [}\sin(x){\big ]}}{\lim \limits _{x\to 0}{\big [}1+\cos(x){\big ]}}}={\frac {0}{1+\cos(0)}}=0$。

因此，将这两个结果相乘，我们得到 0。

$\blacksquare$

注意，我们也不能使用洛必达法则来计算这个极限，因为它会导致循环论证。

现在我们将介绍一个非常有用的结果，尽管我们还无法证明它。只要该有理函数在 $c$ 处定义（因此我们不会除以 0），我们就可以找到任何多项式或有理函数在 $c$ 处的极限。也就是说，$c$ 必须在函数的定义域内。

多项式和有理函数的极限

如果 $f$ 是一个在 $c$ 处定义的多项式或有理函数，那么

$\lim _{x\to c}f(x)=f(c)$

我们已经学习了三角函数的这一特性，因此我们发现，只要多项式、有理函数或三角函数定义在某点，就能很容易地求出它们的极限。事实上，即使对于这些函数的组合，这也适用；因此，例如，$\lim _{x\to 1}{\bigg [}\sin(x^{2})+4\cos ^{3}(3x-1){\bigg ]}=\sin(1^{2})+4\cos ^{3}(3\cdot 1-1)=\sin 1+4\cos ^{3}2$.

夹挤定理

显示 $f$（蓝色）被 $g$（红色）和 $h$（绿色）夹住的图形

夹挤定理在微积分中非常重要，通常用于通过与两个已知极限的函数进行比较来求解函数的极限。

它被称为夹逼定理，因为它指的是一个函数 $f$，它的值被另外两个函数的值 $g$ 和 $h$ 夹住，这两个函数都具有相同的极限 $L$。如果 $f$ 的值被两个函数 $g$ 和 $h$ 的值夹住，那么 $f$ 的值也必须逼近 $L$。

更精确地说

定理：（夹逼定理）

假设 $g(x)\leq f(x)\leq h(x)$ 对所有包含 $c$ 的某个开区间中的所有 $x$ 成立。

如果 $\lim _{x\to c}g(x)=\lim _{x\to c}h(x)=L$，

那么 $\lim _{x\to c}f(x)=L$。

$x\cdot \sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)$ 在 $-0.5<x<0.5$ 范围内的图像

示例：计算 $\lim _{x\to 0}x\cdot \sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)$。

由于我们知道

$-1\leq \sin({\frac {1}{x}})\leq 1$

将 $x$ 乘入不等式，得到

$-|x|\leq x\sin({\frac {1}{x}})\leq |x|$

现在我们应用夹逼定理

$\lim _{x\to 0}-|x|\leq \lim _{x\to 0}x\sin({\frac {1}{x}})\leq \lim _{x\to 0}|x|$

由于 $\lim _{x\to 0}-|x|=\lim _{x\to 0}|x|=0$,

$\lim _{x\to 0}x\cdot \sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)=0$

$\blacksquare$

求极限

现在，我们将讨论在实践中如何求极限。首先，如果函数可以由有理函数、三角函数、对数函数或指数函数构成，那么如果一个数 $c$ 在函数的定义域内，那么在 $c$ 处的极限就是函数在 $c$ 处的函数值。

$\lim _{x\to c}f(x)=f(c)$ 当 $f(x)$ 可以由有理函数、三角函数、对数函数或指数函数构成，且 $c\in$ $f(x)$ 的定义域

如果 $c$ 不在函数的定义域内，那么在许多情况下（例如有理函数），函数的定义域包括 $c$ 附近的所有点，但不包括 $c$ 本身。例如，如果我们想求 $\lim _{x\to 0}{\frac {x}{x}}$ ，其中定义域包括除 0 之外的所有数字。

在这种情况下，为了找到$\lim _{x\to c}f(x)$，我们想要找到一个函数$g(x)$，类似于$f(x)$，只是在$c$处的空洞被填补。$f$ 和 $g$ 的极限将是相同的，从极限的定义可以看出。根据定义，极限只取决于 $f(x)$ 在 $x$ 接近 $c$ 但不等于它时的点，因此在$c$ 处的极限不依赖于函数在 $c$ 处的取值。因此，如果$\lim _{x\to c}g(x)=L$，$\lim _{x\to c}f(x)=L$ 也是。而且由于我们新函数$g$ 的定义域包含 $c$，我们现在就可以（假设 $g$ 仍然是由有理函数、三角函数、对数函数和指数函数构成的）像以前一样在 $c$ 处对其进行求值。因此我们有 $\lim _{x\to c}f(x)=g(c)$.

在我们这个例子中，这很简单；把 $x$ 消掉，得到 $g(x)=1$，这与 $f(x)={\frac {x}{x}}$ 在除 0 以外的所有点上相等。因此，我们有 $\lim _{x\to 0}{\frac {x}{x}}=\lim _{x\to 0}1=1$。一般来说，在计算有理函数的极限时，最好寻找分子和分母的公因式。

特定 DNE 情况

请注意，极限可能根本不存在（DNE 表示“不存在”）。这可以通过多种方式发生。

“间隙”

$f(x)={\sqrt {x^{2}-16}}$

存在一个间隙（不仅仅是一个点），函数在那里没有定义。例如，在

$f(x)={\sqrt {x^{2}-16}}$

$\lim _{x\to c}f(x)$ 不存在时，$-4\leq c\leq 4$。无法“接近”图形的中间。请注意，该函数在生成的两个曲线的端点（在 $c=-4$ 和 $c=4$）也没有极限。为了使极限存在，该点必须能够从左右两侧接近。

还要注意，在图形上的完全孤立的点上不存在极限。

跳跃间断。

“跳跃”

如果图形突然跳到另一个水平，则跳跃点没有极限。例如，设$f(x)$ 是最大整数$\leq x$。那么，如果$c$ 是一个整数，当$x$ 从右边接近$c$ 时$f(x)=c$，而当$x$ 从左边接近$c$ 时$f(x)=c-1$。因此$\lim _{x\to c}f(x)$ 将不存在。

在区间$[-2,2]$ 上，${\frac {1}{x^{2}}}$ 的图形。

垂直渐近线

在$f(x)={\frac {1}{x^{2}}}$

图形随着接近 0 而变得任意高，因此不存在极限。（在这种情况下，我们有时说极限是无限的；参见下一节。）

在区间$(0,{\tfrac {1}{\pi }}]$ 上，$\sin({\tfrac {1}{x}})$ 的图形。

无限振荡

接下来的两个可能难以可视化。在这里，我们指的是图形不断地上升到水平线之上并下降到水平线之下。事实上，随着你接近某个$x$ 值，它会无限次地这样做。这通常意味着不存在极限，因为图形永远不会接近某个特定值。但是，如果每个振荡的高度（和深度）随着图形接近$x$ 值而减小，从而使得振荡变得任意小，那么实际上可能存在极限。

振荡的使用自然会让人联想到三角函数。一个三角函数的例子是，它在$x$ 接近 0 时不存在极限。

$f(x)=\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)$

As $x$ gets closer to 0 the function keeps oscillating between $-1$ and 1. In fact, $\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)$ oscillates an infinite number of times on the interval between 0 and any positive value of $x$. The sine function is equal to 0 whenever $x=k\pi$ , where $k$ is a positive integer. Between every two integers $k$ , $\sin(x)$ goes back and forth between 0 and $-1$ or 0 and 1. Hence, $\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)=0$ for every $x={\tfrac {1}{k\pi }}$. In between consecutive pairs of these values, ${\tfrac {1}{k\pi }}$ and ${\tfrac {1}{(k+1)\pi }}$ , $\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)$ goes back and forth from 0, to either $-1$ or 1 and back to 0. We may also observe that there are an infinite number of such pairs, and they are all between 0 and $1/\pi$. There are a finite number of such pairs between any positive value of $x$ and ${\tfrac {1}{\pi }}$ , so there must be infinitely many between any positive value of $x$ and 0. From our reasoning we may conclude that, as $x$ approaches 0 from the right, the function $\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)$ does not approach any specific value. Thus, $\lim _{x\to 0}\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)$ does not exist.

确定极限

正式确定极限是否存在的方法是找出从下方和上方逼近时极限值是否相同（参见本章开头）。从下方逼近（递增顺序）的极限记号为

$\lim _{x\to c^{-}}f(x)$，注意常数 $c$ 上的负号。

从上方逼近（递减顺序）的极限记号为

$\lim _{x\to c^{+}}f(x)$，注意常数 $c$ 上的正号。

例如，让我们求当 $x$ 逼近 $0$ 时 $f(x)={\frac {1}{x}}$ 的极限。换句话说，求 $\lim _{x\to 0^{-}}{\frac {1}{x}}$ 和 $\lim _{x\to 0^{+}}{\frac {1}{x}}$。

回想一下我们之前尝试直观感受极限时制作的表格。我们可以利用它来帮助我们。但是，如果对倒数函数足够熟悉，我们可以通过想象函数的图像来简单地确定这两个值。下表是在 $x$ 从下方逼近时的情况。

$x$	-0.3	-0.2	-0.1	-0.05	-0.01	-0.001
$f(x)={\frac {1}{x}}$	-3.333	-5	-10	-20	-100	-1000

因此，我们发现当 $x$ 从下方逼近 $0$ 时，函数逼近负无穷。用数学语言表达为

$\lim _{x\to 0^{-}}{\frac {1}{x}}=-\infty$

现在让我们谈谈从上方逼近的情况。

$x$	0.3	0.2	0.1	0.05	0.01	0.001
$f(x)={\frac {1}{x}}$	3.333	5	10	20	100	1000

我们发现 $\lim _{x\to 0^{+}}{\frac {1}{x}}=\infty$

$\blacksquare$

确定极限是否存在的方法比较直观。只要练习几次，就能熟悉这个过程。

确定极限

如果 $\lim _{x\to c^{-}}f(x)=\lim _{x\to c^{+}}f(x)=L$，那么 $\lim _{x\to c}f(x)=L$。如果 $\lim _{x\to c^{-}}f(x)\neq \lim _{x\to c^{+}}f(x)=L$，则极限不存在（DNE）。

让我们使用同一个例子：求 $\lim _{x\to 0}{\frac {1}{x}}$。

由于我们已经发现 $\lim _{x\to 0^{-}}{\frac {1}{x}}=-\infty$ 并且 $\lim _{x\to 0^{+}}{\frac {1}{x}}=\infty$，并且显然，

$\lim _{x\to 0^{-}}{\frac {1}{x}}\neq \lim _{x\to 0^{+}}{\frac {1}{x}}$

我们可以说 $\lim _{x\to 0}{\frac {1}{x}}$ 不存在。

$\blacksquare$

无穷大情况

现在考虑函数

$g(x)={\frac {1}{x^{2}}}$

当 $x$ 趋近于零时，极限是多少？ $g(0)$ 不存在；它没有定义。

请注意，我们可以通过选择一个足够小的 $x$ (只要 $x\neq 0$)，使 $g(x)$ 尽可能大。例如，为了使 $g(x)$ 等于 $10^{12}$ ，我们选择 $x$ 为 $10^{-6}$ 。因此，$\lim _{x\to 0}{\frac {1}{x^{2}}}$ 不存在。

然而，我们确实知道当 $x$ 无限接近 0 但不等于 0 时，$g(x)$ 会发生什么。我们想说，通过使 $x$ 足够接近 0，我们可以使 $g(x)$ 任意大（只要我们愿意）。我们用以下符号来表示：

$\lim _{x\to 0}g(x)=\lim _{x\to 0}{\frac {1}{x^{2}}}=\infty$

请注意，在 $0$ 处极限不存在；对于极限来说，$\infty$ 是一种特殊的不存在形式。一般来说，我们给出以下定义。

定义：极限为 $\pm \infty$ 的非正式定义

当 **$x$ 趋近于 **$c$** 时，我们说 **$f(x)$ 的极限为无穷大**，如果当 **$x$ 接近 (但并不等于) **$c$** 时，**$f(x)$** 会变得非常大 (大到任何我们想要的值)。

在这种情况下，我们写成

$\lim _{x\to c}f(x)=\infty$

或者

$f(x)\to \infty \quad {\text{as}}\quad x\to c$.

类似地，我们说 **$f(x)$ 的极限为负无穷大**，如果当 **$x$ 接近 (但并不等于) **$c$** 时，**$f(x)$** 会变得非常小 (小到任何我们想要的值)。

在这种情况下，我们写成

$\lim _{x\to c}f(x)=-\infty$

或者

$f(x)\to -\infty \quad {\mbox{as}}\quad x\to c$.

第二个定义的一个例子是 **$\lim _{x\to 0}-{\frac {1}{x^{2}}}=-\infty$**。

极限的应用

为了理解极限概念的强大之处，让我们考虑一辆行驶的汽车。假设我们有一辆汽车，其位置相对于时间是线性的 (也就是说，绘制位置与时间关系的图形将显示一条直线)。我们想要找到它的速度。这在代数中很容易做到；我们只需取斜率，那就是速度。

但不幸的是，现实世界中的事物并不总是沿着漂亮的直线运动。汽车会加速、减速，并且通常以难以计算其速度的方式运动。

现在我们真正想做的是找到某个时刻的速度 (瞬时速度)。问题是，为了找到速度，我们需要两个点，而任何给定时间，我们只有一个点。当然，我们总能找到汽车在两个时间点之间的平均速度，但我们想找到汽车在一个精确时刻的速度。

这就是微积分的基本技巧，它是本书两个主要主题中的第一个。我们取两个时间点之间的平均速度，然后让这两个时间点越来越接近。然后我们观察这两个时间点越来越接近时斜率的极限，并称这个极限是单个时刻的斜率。

我们将在本书后面更深入地研究这个过程。然而，首先，我们需要更仔细地研究极限。

外部链接

• 关于极限的在线互动练习
• 为害怕微积分的人准备的教程