微积分/不定积分

定义

现在回想一下 $F$ 被称为 *f* 的反导数，如果 $F'(x)=f(x)$ 。但是， $F$ 不是唯一的反导数。我们可以在 $F$ 上添加任何常数都不会改变导数。有了这个，我们定义 **不定积分** 如下

$\int f(x)dx=F(x)+C$ 其中 $F$ 满足 $F'(x)=f(x)$ 并且 $C$ 是任何常数。

函数 $f(x)$ ，被积分的函数，被称为 **被积函数** 。注意不定积分产生的是一个 *函数族*。

示例

由于 $x^{4}$ 的导数是 $4x^{3}$ ，$4x^{3}$ 的一般反导数是 $x^{4}$ 加上一个常数。因此，

$\int 4x^{3}dx=x^{4}+C$

示例：查找反导数

让我们看看 $6x^{2}$ 。我们如何找到这个函数的积分？回忆一下微积分中的规则，即

${\frac {d}{dx}}x^{n}=nx^{n-1}$

在我们的情况下，我们有

${\frac {d}{dx}}x^{3}=3x^{2}$

这是一个开始！我们现在知道我们正在寻找的函数将包含一个 3 次方。我们如何得到常数 6？嗯，

$2{\frac {d}{dx}}x^{3}=2\times 3x^{2}=6x^{2}$

因此，我们说 $2x^{3}$ 是 $6x^{2}$ 的一个反导数。

练习

1. 评估 $\int {\frac {3x}{2}}dx$

2. 求函数 $f(x)=2x^{4}$ 的一般反导数。

不定积分恒等式

不定积分的基本性质

不定积分的常数规则
如果 $c$ 是一个常数，那么 $\int c\cdot f(x)dx=c\int f(x)dx$

不定积分的和/差规则

$\int {\Big (}f(x)+g(x){\Big )}dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx$

$\int {\Big (}f(x)-g(x){\Big )}dx=\int f(x)dx-\int g(x)dx$

多项式的不定积分

假设我们给定一个形如 $f(x)=x^{n}$ 的函数，并希望确定 $f$ 的反导数。考虑到

${\frac {d}{dx}}{\frac {1}{n+1}}x^{n+1}=x^{n}$

我们有以下不定积分规则

不定积分的幂规则 $\int x^{n}dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C$ 对于所有 $n\neq -1$

反函数的积分

要积分 $f(x)={\frac {1}{x}}$ ，我们应该首先记住

${\frac {d}{dx}}\ln(x)={\frac {1}{x}}$

因此，由于 ${\frac {1}{x}}$ 是 $\ln(x)$ 的导数，我们可以得出结论

$\int {\frac {dx}{x}}=\ln |x|+C$

注意，当指数为 $-1$ 时，多项式积分规则不适用。必须使用这种积分方法。由于自然对数函数的自变量必须为正（在实数线上），所以在其自变量周围添加绝对值符号以确保自变量为正。

指数函数的积分

由于

${\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}$

我们看到 $e^{x}$ 是它自己的反导数。这使得我们可以找到指数函数的积分

$\int e^{x}dx=e^{x}+C$

正弦和余弦的积分

回顾一下

${\frac {d}{dx}}\sin(x)=\cos(x)$

${\frac {d}{dx}}\cos(x)=-\sin(x)$

因此 $\sin(x)$ 是 $\cos(x)$ 的反导数，而 $-\cos(x)$ 是 $\sin(x)$ 的反导数。因此，我们得到以下关于对 $\sin(x)$ 和 $\cos(x)$ 进行积分的规则：

$\int \cos(x)dx=\sin(x)+C$
$\int \sin(x)dx=-\cos(x)+C$

在关于 积分技巧 的章节中，我们将学习如何对更复杂的三角函数进行积分。

示例

假设我们要对函数 $f(x)=x^{4}+1+2\sin(x)$ 进行积分。上面提到的求和法则允许我们使用幂法则和我们关于对 $\sin(x)$ 进行积分的规则，如下所示：

$\int f(x)dx$	$=\int {\Big (}x^{4}+1+2\sin(x){\Big )}dx$
	$=\int x^{4}dx+\int 1\,dx+\int 2\sin(x)dx$
	$={\frac {x^{5}}{5}}+x-2\cos(x)+C$ .

练习

3. 计算 $\int (7x^{2}+3\cos(x)-e^{x})dx$

4. 计算 $\int {\Big (}{\tfrac {2}{5x}}+\sin(x){\Big )}dx$

换元法

换元法是任何积分大师工具箱中的宝贵财富。它本质上是链式法则（你应该熟悉的微分技术）的反向。首先，让我们来看一个例子

初步例子

假设我们要找到 $\int x\cos(x^{2})dx$ . 也就是说，我们要找到一个函数，它的导数等于 $x\cos(x^{2})$ . 换句话说，我们要找到 $f(x)=x\cos(x^{2})$ 的一个反导数。由于 $\sin(x)$ 的导数为 $\cos(x)$ ，作为第一个猜测，我们可能会尝试函数 $\sin(x^{2})$ 。但根据链式法则，

${\frac {d}{dx}}\sin(x^{2})=\cos(x^{2})\cdot {\frac {d}{dx}}x^{2}=\cos(x^{2})\cdot 2x=2x\cos(x^{2})$

这几乎是我们想要的，除了前面有一个额外的因子 2。但这是很容易处理的，因为我们可以除以一个常数（在本例中为 2）。所以，

${\frac {d}{dx}}{\frac {\sin(x^{2})}{2}}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {d}{dx}}\sin(x^{2})={\frac {1}{2}}\cdot 2\cos(x^{2})x=x\cos(x^{2})=f(x)$

因此，我们发现了一个函数 $F(x)={\frac {\sin(x^{2})}{2}}$，它的导数是 $x\cos(x^{2})$。也就是说，$F$ 是 $f(x)=x\cos(x^{2})$ 的一个原函数。这给了我们

$\int x\cos(x^{2})dx={\frac {\sin(x^{2})}{2}}+C$

推广

事实上，这种方法适用于更一般的被积函数。假设 $u$ 是一个可微函数。那么为了计算 $\int u'(x)\cos {\bigl (}u(x){\bigr )}dx$，我们只需要注意到根据链式法则

${\frac {d}{dx}}\sin {\bigl (}u(x){\bigr )}=\cos {\bigl (}u(x){\bigr )}{\frac {du}{dx}}=u'(x)\cos {\bigl (}u(x){\bigr )}$

只要 $u'$ 是连续的，我们有

$\int \cos {\bigl (}u(x){\bigr )}u'(x)dx=\sin {\bigl (}u(x){\bigr )}+C$

现在，这个等式的右边只是 $\cos(u)$ 的积分，但关于 $u$ 。如果我们将 $u$ 写成 $u(x)$ ，它就变成了 $\int \cos(u(x))u'(x)dx=\sin(u)+C=\int \cos(u)du$

例如，如果 $u(x)=x^{3}$ ，我们已经计算出

$\int {\bigl (}\cos(x^{3})\cdot 3x^{2}{\bigr )}dx=\sin(x^{3})+C$

一般替换规则

以上讨论中，使用余弦函数并没有什么特别之处，可以将其替换为任何其他函数。这样做就得到了不定积分的替换规则

不定积分的替换规则
假设 $u$ 可微且导数连续，并且 $f$ 在 $u$ 的取值范围内是连续的。那么 $\int f{\bigl (}u(x){\bigr )}{\frac {du}{dx}}dx=\int f(u)du$

注意，看起来你可以在表达式 ${\frac {du}{dx}}dx$ 中“抵消”，只剩下一个 $du$ 。这其实没什么意义，因为 ${\frac {du}{dx}}$ **不是一个分数**。但它是一个记住替换规则的好方法。

示例

下面的示例展示了替换技术是多么强大。乍一看，下面的积分似乎无法解决，但是经过一些简化，可以使用替换来解决。

示例

我们将证明

$\int {\frac {dx}{(x^{2}+a^{2}){\sqrt {x^{2}+a^{2}}}}}={\frac {x}{a^{2}{\sqrt {x^{2}+a^{2}}}}}+C$

首先，我们将积分重新写成

$\int {\frac {dx}{(x^{2}+a^{2}){\sqrt {x^{2}+a^{2}}}}}$	$=\int (x^{2}+a^{2})^{-{\frac {3}{2}}}dx$
	$=\int \left(x^{2}\left(1+{\tfrac {a^{2}}{x^{2}}}\right)\right)^{-{\frac {3}{2}}}dx$
	$=\int x^{-3}\left(1+{\tfrac {a^{2}}{x^{2}}}\right)^{-{\frac {3}{2}}}dx$
	$=\int \left(1+{\tfrac {a^{2}}{x^{2}}}\right)^{-{\frac {3}{2}}}\left(x^{-3}dx\right)$

现在我们进行以下替换

$u=1+{\frac {a^{2}}{x^{2}}}$

${\frac {du}{dx}}=-2a^{2}x^{-3}\ \implies \ x^{-3}dx=-{\frac {du}{2a^{2}}}$

这产生了

$\int \left(1+{\tfrac {a^{2}}{x^{2}}}\right)^{-{\frac {3}{2}}}\left(x^{-3}dx\right)=$

$=\int u^{-{\frac {3}{2}}}\left(-{\frac {du}{2a^{2}}}\right)$

$=-{\frac {1}{2a^{2}}}\int u^{-{\frac {3}{2}}}du$

$=-{\frac {1}{2a^{2}}}\left(-{\frac {2}{\sqrt {u}}}\right)+C$

$={\frac {1}{a^{2}{\sqrt {1+{\frac {a^{2}}{x^{2}}}}}}}+C$

$=\left({\frac {x}{x}}\right){\frac {1}{a^{2}{\sqrt {1+{\frac {a^{2}}{x^{2}}}}}}}+C$

$={\frac {x}{a^{2}{\sqrt {x^{2}+a^{2}}}}}+C$

练习

5. 通过代入 $u=2x^{2}$ 来计算 $\int x\sin(2x^{2})dx$

6. 计算 $\int -3\cos(x)e^{\sin(x)}dx$

分部积分

分部积分是另一个用于积分的强大工具。上面提到过可以将积分代换看作是链式法则的逆应用。类似地，可以将分部积分看作是乘积法则的逆应用。

一般分部积分

不定积分的分部积分
假设 $f$ 和 $g$ 是可微分的，并且它们的导数是连续的。那么

$\int f(x)g(x)dx=f(x)\int g(x)dx-\int \left(f'(x)\int g(x)dx\right)dx$

同样重要的是要注意
$\int f(x)g(x)dx=f(x)\int g(x)dx-\int \left(f'(x)\int g(x)dx\right)dx$
不等于
$\int f(x)g(x)dx=g(x)\int f(x)dx-\int \left(g'(x)\int f(x)dx\right)dx$

为了设置 $f(x)$ 和 $g(x)$，我们需要遵循名为 I.L.A.T.E. 的规则。

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ILATE 定义了我们必须设置 $f(x)$ 的顺序。

• I 代表反三角函数
• L 代表对数函数
• A 代表代数函数
• T 代表三角函数
• E 代表指数函数

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f(x) 和 g(x) 必须按照 ILATE 的顺序排列，否则最终答案将与主密钥不符。

示例

示例

求 $\int x\cos(x)dx$

这里我们令

$u=x$ ，使得 $du=dx$ ，

$dv=\cos(x)dx$ ，使得 $v=\sin(x)$ 。

那么

$\int x\cos(x)dx$	$=\int u\,dv$
	$=uv-\int v\,du$
	$=x\sin(x)-\int \sin(x)dx$
	$=x\sin(x)+\cos(x)+C$

示例

求 $\int x^{2}e^{x}dx$

在这个例子中，我们将不得不使用分部积分法两次。

这里我们令

$u=x^{2}$ ，使得 $du=2xdx$ ，

$dv=e^{x}dx$ ，使得 $v=e^{x}$ 。

那么

$\int x^{2}e^{x}dx$	$=\int u\,dv$
	$=uv-\int v\,du$
	$=x^{2}e^{x}-\int 2xe^{x}dx$
	$=x^{2}e^{x}-2\int xe^{x}dx$

现在，为了计算最后一个积分，我们再次使用分部积分法。令

$u=x$ ，使得 $du=dx$ ，

$dv=e^{x}dx$，因此$v=e^{x}$

并用分部积分法，得到

$\int xe^{x}dx=xe^{x}-\int e^{x}dx=e^{x}(x-1)$

最终得到

$\int x^{2}e^{x}dx=x^{2}e^{x}-2e^{x}(x-1)+C=e^{x}(x^{2}-2x+2)+C$

示例

求$\int \ln(x)dx$

技巧是将此积分写成

$\int \ln(x)\cdot 1\,dx$

令

$u=\ln(x)$ 因此 $du={\frac {dx}{x}}$ ，

$v=x$ 因此 $dv=1\,dx$ 。

然后使用分部积分法，

$\int \ln(x)dx$	$=x\ln(x)-\int {\frac {x}{x}}dx$
	$=x\ln(x)-\int 1\,dx$
	$=x\ln(x)-x+C$
	$=x{\bigl (}\ln(x)-1{\bigr )}+C$

示例

求$\int \arctan(x)dx$

同样，技巧是将被积函数写成$\arctan(x)=\arctan(x)\cdot 1$ 。然后令

$u=\arctan(x)$ 因此 $du={\frac {dx}{1+x^{2}}}$

$v=x$ 所以 $dv=1\,dx$

所以用分部积分法，

$\int \arctan(x)dx$	$=x\arctan(x)-\int {\frac {x}{1+x^{2}}}dx$
	$=x\arctan(x)-{\tfrac {1}{2}}\ln(1+x^{2})+C$

示例

求 $\int e^{x}\cos(x)dx$

这个例子两次使用分部积分法。首先令，

$u=e^{x}$ 所以 $du=e^{x}dx$

$dv=\cos(x)dx$ 所以 $v=\sin(x)$

所以

$\int e^{x}\cos(x)dx=e^{x}\sin(x)-\int e^{x}\sin(x)dx$

现在，为了计算剩下的积分，我们再次使用分部积分法，令

$u=e^{x}$ 所以 $du=e^{x}dx$

$v=-\cos(x)$ 所以 $dv=\sin(x)dx$

那么

$\int e^{x}\sin(x)dx$	$=-e^{x}\cos(x)-\int -e^{x}\cos(x)dx$
	$=-e^{x}\cos(x)+\int e^{x}\cos(x)dx$

把这些加起来，我们有

$\int e^{x}\cos(x)dx=e^{x}\sin(x)+e^{x}\cos(x)-\int e^{x}\cos(x)dx$

请注意，相同的积分出现在该等式的两边，但符号相反。积分并没有抵消；当我们将积分加到两边以得到以下结果时，它会翻倍。

$2\int e^{x}\cos(x)dx=e^{x}{\bigl (}\sin(x)+\cos(x){\bigr )}$

$\int e^{x}\cos(x)dx={\frac {e^{x}{\bigl (}\sin(x)+\cos(x){\bigr )}}{2}}$

练习

7. 使用分部积分法，其中 $u=2x-5$ 且 $dv={\frac {dx}{x^{3}}}$，求解 $\int {\frac {2x-5}{x^{3}}}dx$。

8. 求解 $\int (2x-1)e^{-3x+1}dx$。