微积分/微积分基本定理

微积分基本定理是微积分的关键部分，因为它将导数的概念与积分的概念联系起来。因此，我们可以利用我们对导数的知识来求曲线下的面积，这通常比使用积分的定义更快、更简单。

作为示例，参见§ 1.8 以了解自然对数和 1/x 之间的联系。

积分中值定理

在讨论微积分基本定理时，我们将需要以下定理。

积分中值定理 假设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上是连续的。 那么对于某个 $c\in [a,b]$，有 ${\frac {1}{b-a}}\int \limits _{a}^{b}f(x)dx=f(c)$。

积分中值定理的证明

$f(x)$ 满足极值定理的要求，因此它在$[a,b]$ 中有最小值 $m$ 和最大值 $M$。 由于

$\int \limits _{a}^{b}f(x)dx=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}f(x_{k}^{*})\cdot {\frac {b-a}{n}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {b-a}{n}}\cdot \sum _{k=1}^{n}f(x_{k}^{*})$

以及由于

$m\leq f(x_{k}^{*})\leq M$ 对所有 $x_{k}^{*}\in [a,b]$

我们有

${\begin{aligned}&\lim _{n\to \infty }{\frac {b-a}{n}}\cdot \sum _{k=1}^{n}m\leq \lim _{n\to \infty }{\frac {b-a}{n}}\cdot \sum _{k=1}^{n}f(x_{k}^{*})\leq \lim _{n\to \infty }{\frac {b-a}{n}}\cdot \sum _{k=1}^{n}M\\&\lim _{n\to \infty }mn\cdot {\frac {b-a}{n}}\leq \int \limits _{a}^{b}f(x)dx\leq \lim _{n\to \infty }Mn\cdot {\frac {b-a}{n}}\\&\lim _{n\to \infty }m(b-a)\leq \int \limits _{a}^{b}f(x)dx\leq \lim _{n\to \infty }M(b-a)\\&m(b-a)\leq \int \limits _{a}^{b}f(x)dx\leq M(b-a)\\&m\leq {\frac {1}{b-a}}\int \limits _{a}^{b}f(x)dx\leq M\end{aligned}}$

由于 $f$ 是连续的，根据 中间值定理，存在某个 $f(c)$ 且 $c\in [a,b]$，使得

${\frac {1}{b-a}}\int \limits _{a}^{b}f(x)dx=f(c)$

微积分基本定理

微积分基本定理的表述

假设 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续。我们可以定义一个函数 $F$ 为

$F(x)=\int \limits _{a}^{x}f(t)dt\quad {\text{for }}x\in [a,b]$

微积分基本定理第一部分 假设 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续，并且 $F$ 定义为

$F(x)=\int \limits _{a}^{x}f(t)dt$

那么 $F$ 在 $(a,b)$ 上可微，并且对于所有 $x\in (a,b)$，

$F'(x)=f(x)$

当我们有这样的函数 $F$ 和 $f$，其中 $F'(x)=f(x)$ 对于某个区间 $I$ 内的每个 $x$ 成立，我们说 $F$ 是 $f$ 在 $I$ 上的 **原函数**。

微积分基本定理第二部分 假设 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续，并且 $F$ 是 $f$ 的任何原函数。那么

$\int \limits _{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$

图 1

注意：少数数学家将第一部分称为第二部分，将第二部分称为第一部分。所有数学家都将这里所说的第二部分称为微积分基本定理。

证明

微积分基本定理第一部分的证明

假设 $x\in (a,b)$ 。 选择 $\Delta x$ 使得 $x+\Delta x\in (a,b)$ 。 那么

$F(x)=\int \limits _{a}^{x}f(t)dt$

和

$F(x+\Delta x)=\int \limits _{a}^{x+\Delta x}f(t)dt$

将两个等式相减得到

$F(x+\Delta x)-F(x)=\int \limits _{a}^{x+\Delta x}f(t)dt-\int \limits _{a}^{x}f(t)dt$

现在

$\int \limits _{a}^{x+\Delta x}f(t)dt=\int \limits _{a}^{x}f(t)dt+\int \limits _{x}^{x+\Delta x}f(t)dt$

因此，重新整理得到

$F(x+\Delta x)-F(x)=\int \limits _{x}^{x+\Delta x}f(t)dt$

根据积分中值定理，存在一个 $c\in [x,x+\Delta x]$ 使得

$\int \limits _{x}^{x+\Delta x}f(t)dt=f(c)\cdot \Delta x$

注意， $c$ 取决于 $\Delta x$ 。 无论如何，我们已经证明

$F(x+\Delta x)-F(x)=f(c)\cdot \Delta x$

两边除以 $\Delta x$ 得到

${\frac {F(x+\Delta x)-F(x)}{\Delta x}}=f(c)$

当 $\Delta x\to 0$ 时，我们得到 $F$ 在 $x$ 处的导数的定义，所以我们有

$F'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {F(x+\Delta x)-F(x)}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}f(c)$

为了找到另一个极限，我们将使用 **夹逼定理**。 $c\in [x,x+\Delta x]$ ，所以 $x\leq c\leq x+\Delta x$ 。因此，

$\lim _{\Delta x\to 0}{\Big [}x+\Delta x{\Big ]}=x\quad \Rightarrow \quad \lim _{\Delta x\to 0}c=x$

由于 $f$ 是连续的，我们有

$F'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}f(c)=f\left(\lim _{\Delta x\to 0}c\right)=f(x)$

这完成了证明。

$\blacksquare$

微积分基本定理第二部分的证明

定义 $P(x)=\int \limits _{a}^{x}f(t)dt$ 。然后根据微积分基本定理第一部分，我们知道 $P$ 在 $(a,b)$ 上可微，并且对于所有 $x\in (a,b)$

$P'(x)=f(x)$

因此， $P$ 是 $f$ 的一个原函数。由于我们假设 $F$ 也是 $f$ 的一个原函数，对于所有 $x\in (a,b)$，

${\begin{aligned}&P'(x)=F'(x)\\&P'(x)-F'(x)=0\\&{\Big (}P(x)-F(x){\Big )}'=0\end{aligned}}$

令 $g(x)=P(x)-F(x)$ 。将 均值定理 应用于 $g(x)$ 在 $[a,\xi ]$ 上，其中 $a<\xi <b$，表明

${\frac {g(\xi )-g(a)}{\xi -a}}=g'(c)$

对于 $c$ 在 $(a,\xi )$ 中，$g'(x)=0$ 对于所有 $x$ 在 $[a,b]$ 中都成立。由于 $g(\xi )$ 必须等于 $g(a)$ 对于所有 $\xi$ 在 $(a,b)$ 中都成立，也就是说，g(x) 在 $(a,b)$ 上是常数。

这意味着存在一个常数 $C=g(a)=P(a)-F(a)=-F(a)$ 使得对于所有 $x\in (a,b)$ ，

$P(x)=F(x)+C$

并且，由于 $g$ 是连续的，我们看到这在 $x=a$ 和 $x=b$ 时也成立。当 $x=b$ 时，我们得到

$\int \limits _{a}^{b}f(t)dx=P(b)=F(b)+C=F(b)-F(a)$

$\blacksquare$

定积分求值的符号

微积分基本定理的第二部分为我们提供了一种计算定积分的方法。只需找到被积函数的反导数，然后用反导数在上界的取值减去反导数在下界的取值即可。即

$\int \limits _{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$

其中 $F'(x)=f(x)$ 。为了方便起见，我们使用符号

$F(x){\bigg |}_{a}^{b}$

来表示 $F(b)-F(a)$

多项式的积分

使用微分的幂法则，我们可以利用微积分基本定理找到幂函数积分的公式。令 $f(x)=x^{n}$ 。我们想找到 $f$ 的反导数。由于幂函数的微分规则将幂降低1，因此我们有

${\frac {d}{dx}}x^{n+1}=(n+1)x^{n}$

只要 $n+1\neq 0$ ，我们可以除以 $n+1$ 得到

${\frac {d}{dx}}\left({\frac {x^{n+1}}{n+1}}\right)=x^{n}=f(x)$

因此函数 $F(x)={\frac {x^{n+1}}{n+1}}$ 是 $f$ 的反导数。如果 $0\notin [a,b]$ ，则 $F$ 在 $[a,b]$ 上是连续的，应用微积分基本定理，我们可以计算 $f$ 的积分，得到以下规则。

积分的幂法则 I $\int \limits _{a}^{b}x^{n}dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}{\Bigg |}_{a}^{b}={\frac {b^{n+1}-a^{n+1}}{n+1}}$ 只要 $n\neq -1$ 并且 $0\notin [a,b]$ 。

注意，我们允许 $n$ 的任何值，包括负数或分数。如果 $n>0$ ，即使 $[a,b]$ 包含 $0$ ，它也适用。

积分的幂法则 II $\int \limits _{a}^{b}x^{n}dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}{\Bigg |}_{a}^{b}={\frac {b^{n+1}-a^{n+1}}{n+1}}$ 只要 $n>0$ 。

例子

• 要找到 $\int \limits _{1}^{2}x^{3}dx$ ，我们将幂次加1，然后除以4。所以

$\int \limits _{1}^{2}x^{3}dx={\frac {x^{4}}{4}}{\Bigg |}_{1}^{2}={\frac {2^{4}}{4}}-{\frac {1^{4}}{4}}={\frac {15}{4}}$

• 幂法则也适用于负幂。例如

$\int \limits _{1}^{3}{\frac {dx}{x^{3}}}=\int \limits _{1}^{3}x^{-3}dx={\frac {x^{-2}}{-2}}{\Bigg |}_{1}^{3}={\frac {1}{-2}}\left(3^{-2}-1^{-2}\right)=-{\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{3^{2}}}-1\right)=-{\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{9}}-1\right)={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {8}{9}}={\frac {4}{9}}$

• 我们也可以对分数幂使用幂法则。例如

$\int \limits _{0}^{5}{\sqrt {x}}dx=\int \limits _{0}^{5}x^{\frac {1}{2}}dx={\frac {x{\sqrt {x}}}{\frac {3}{2}}}{\Bigg |}_{0}^{5}={\frac {2}{3}}\left(5^{\frac {3}{2}}-0^{\frac {3}{2}}\right)={\frac {10{\sqrt {5}}}{3}}$

• 使用线性，幂法则也可以被认为适用于常数。例如，

$=\int \limits _{3}^{11}7dx=\int \limits _{3}^{11}7x^{0}dx=7\int \limits _{3}^{11}x^{0}dx=7x{\Bigg |}_{3}^{11}=7(11-3)=56$

• 使用线性法则，我们现在可以积分任何多项式。例如

$\int \limits _{0}^{3}(3x^{2}+4x+2)dx=(x^{3}+2x^{2}+2x){\Bigg |}_{0}^{3}=3^{3}+2\cdot 3^{2}+2\cdot 3-0=27+18+6=51$

练习

1. 求值 $\int \limits _{0}^{1}x^{6}dx$。将你的答案与你在第4.1节练习1中得到的答案进行比较。

2. 求值 $\int \limits _{1}^{2}x^{6}dx$。将你的答案与你在第4.1节练习2中得到的答案进行比较。

3. 计算 $\int \limits _{0}^{2}x^{6}dx$ 。将你的答案与你在第 4.1 节练习 4 中得到的答案进行比较。

4. 计算 $\int \limits _{2}^{3}{\frac {x^{3}+3x^{2}-4}{x^{2}}}dx$

5. 计算 $\int \limits _{1}^{4}2x^{3}+{\frac {1}{3x^{2}}}-4{\sqrt {x}}+5dx$.

6. 给定 $f(x)={\begin{cases}x^{3}&,&x>1\\2x+1&,&x\leq 1\end{cases}}$，然后找到 $\int \limits _{0}^{6}f(x)dx$.

7. 令 $f(x)=\int \limits _{1}^{x}t^{2}dt$。然后找到 $f'(x)$.

8. 给定 $A(\theta )=\int \limits _{1}^{\theta ^{2}}2x\cos \left(4x^{2}\right)dx$。然后找到 $A'(\theta )$.

9. 如果 $M(x)=\int \limits _{x^{3}}^{x}\cos ^{4}(t)-\sin ^{2}(t)dt$。然后找到 $M'(x)$。

10. 对于给定闭区间上的函数 $f(x)={\sqrt {x}}$，$[4,9]$，求定积分中值定理保证的 $c$ 的值。